基于增廣SVM的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法研究

陳 喆， 何 歡， 陳國(guó)平

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016)

基于增廣SVM的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法研究

陳 喆， 何 歡， 陳國(guó)平

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016)

研究了基于代理模型的有限元模型修正方法，針對(duì)支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)在處理非線性程度不高函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)過(guò)擬合，提出了一種采用混合基函數(shù)形式的增廣SVM方法。該方法首先是在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)結(jié)果和結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)設(shè)計(jì)要求、靈敏度計(jì)算或工程經(jīng)驗(yàn)選擇適合的待修正參數(shù)、修正范圍來(lái)確定修正樣本空間，并給出樣本點(diǎn)，其次采用增廣SVM方法構(gòu)造每組樣本點(diǎn)和與之對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)之間的代理模型，采用基于Pareto最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化方法，以代理模型輸出為目標(biāo)，樣本空間為變量，尋找待修正參數(shù)在修正區(qū)間內(nèi)的全局最優(yōu)解。用代理模型代替原有的有限元模型進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算分析，避免在模型修正過(guò)程中反復(fù)調(diào)用原有限元模型進(jìn)行計(jì)算帶來(lái)的高昂計(jì)算成本。通過(guò)算例一表明，增廣SVM的預(yù)測(cè)結(jié)果較傳統(tǒng)SVM方法精度更高，而算例二、三則說(shuō)明所提出的基于增廣SVM方法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)計(jì)算結(jié)果具有很高的精度。

代理模型； 多目標(biāo)優(yōu)化； 增廣SVM； 模型修正

由于有限元建模過(guò)程中會(huì)根據(jù)建模要求、工程經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算規(guī)模限制等對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，再加上結(jié)構(gòu)幾何尺寸、材料特性、以及邊界條件等因素的影響，使有限元模型與真實(shí)結(jié)構(gòu)之間不可避免的存在誤差[1-2]，在某些情況下，有限元模型無(wú)法滿足實(shí)際問(wèn)題的精度要求。為了提高有限元模型計(jì)算精度，Rodden等[3]提出了模型修正的觀點(diǎn)，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，使修正后的有限元模型擁有更高精度，并且能夠更加真實(shí)的反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性[5-6]。本文針對(duì)當(dāng)前主流的基于代理模型的有限元模型修正問(wèn)題進(jìn)行討論。

代理模型的實(shí)質(zhì)是以擬合精度或預(yù)測(cè)能力為約束，利用近似技術(shù)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸或插值的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)有限的已知點(diǎn)響應(yīng)構(gòu)造近似函數(shù)表達(dá)式對(duì)未知區(qū)域進(jìn)行預(yù)測(cè)[7-8]。目前常用構(gòu)造代理模型的方法有：經(jīng)典響應(yīng)面法(Response Surface Method, RSM)[9]、移動(dòng)最小二乘法(Moving Least Squares, MLS)[10]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]、徑向核函數(shù)法(Radial Basis Function, RBF)[12]、Kriging差值[13-14]以及支持向量機(jī)(SVM)[15]等，其中SVM在解決小樣本、非線性及高維模式識(shí)別問(wèn)題中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)得到廣泛應(yīng)用。

SVM是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的通用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其思想源于Vapnik等[16]在1963年提出的用于解決模式識(shí)別問(wèn)題的支持向量方法。Clarke等[17]采用支持向量機(jī)作為代理模型，通過(guò)典型的工程實(shí)例與響應(yīng)面、徑向核函數(shù)、多變量回歸和Kriging模型的性能進(jìn)行比較，結(jié)果表明支持向量回歸機(jī)代理模型的準(zhǔn)確性和魯棒性均優(yōu)于其他四種模型；Ayestaran等[18]采用支持向量回歸機(jī)完成了陣列天線設(shè)計(jì)；Yun等[19]利用支持向量回歸機(jī)模型成功用于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化中Pareto解的求??；Saqlain等[20]將支持向量回歸機(jī)代理模型引入的多學(xué)科領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)了考慮節(jié)流效應(yīng)時(shí)運(yùn)載火箭的多學(xué)科優(yōu)化；Wang等[20]采用smooth-支持向量機(jī)代理模型，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化；Qazi等[22]研究了不同樣本策略對(duì)支持向量回歸機(jī)性能的影響，提出了一種新的樣本策略，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)載火箭的優(yōu)化；Wang等[23]采用最小二乘支持向量機(jī)，實(shí)現(xiàn)了鈑金結(jié)構(gòu)有優(yōu)化；朱躍等[24-25]針對(duì)模型確認(rèn)中有限元模型的不確定性建模問(wèn)題，提出了一種基于支持向量回歸機(jī)的不確定性建模方法;費(fèi)慶國(guó)等[26]提出了一種基于方差分析的參數(shù)篩選、基于回歸分析的響應(yīng)面擬合以及利用響應(yīng)面的模型修正方法，該方法適用于線性、低頻情況，且易于推廣到非線性、沖擊等領(lǐng)域，同時(shí)具有計(jì)算量小，適合工程應(yīng)用等特點(diǎn)；張冬冬等[27]結(jié)合Kriging理論構(gòu)造響應(yīng)面代理模型和有限元模型確認(rèn)思想，以Garteur benchmark飛機(jī)結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)分析為例，證明了Kriging響應(yīng)面能準(zhǔn)確對(duì)有限元模型響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)；此外，Ren等[28]將基于響應(yīng)面的模型修正方法運(yùn)用到以簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問(wèn)題上，結(jié)果表明，該方法具有良好的精度和預(yù)測(cè)效果。

本文將對(duì)基于SVM的代理模型在模型修正中的應(yīng)用展開討論，并在此基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的SVM方法。

1 一種改進(jìn)的SVM方法

1.1 SVM回歸基本原理

支持向量機(jī)(SVM)方法的基本思想是：定義最優(yōu)線性超平面，并把尋找最優(yōu)線性超平面的算法歸結(jié)為求解一個(gè)最優(yōu)化的問(wèn)題。進(jìn)而基于Mercer展開定理，通過(guò)非線性映射φ，把樣本空間映射到一個(gè)高維乃至于無(wú)窮維的特征空間，使在特征空間中可以應(yīng)用線性學(xué)習(xí)機(jī)的方法解決樣本空間中的高度非線性分類和回歸等問(wèn)題。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是實(shí)現(xiàn)升維和線性化。

y=f(x)

(1)

可以用來(lái)模擬樣本輸入與輸出之間的關(guān)系，輸入樣本如圖1所示。

圖1 支持向量機(jī)線性可分模型

引入ε-不敏感損失函數(shù)[29]

(2)

則支持向量機(jī)回歸問(wèn)題可以用如下的優(yōu)化問(wèn)題表達(dá)

(3)

可以通過(guò)構(gòu)造Lagrange函數(shù)解決上述的優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

(5)

式(4)和(5)的求解問(wèn)題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸二次優(yōu)化問(wèn)題

(6)

(7)

1.2 增廣SVM

考慮到允許擬合誤差存在的情況，引入松弛變量ξ≥0和ξ*≥0來(lái)改善其泛化性能，納入松弛變量的支持向量回歸機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

(8)

式中，C>0為正則化參數(shù)，通常稱為懲罰因子，用來(lái)平衡回歸函數(shù)的平滑程度和偏差大于ε的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。

求解上述形式的支持向量機(jī)問(wèn)題一般采用對(duì)偶理論，將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題。建立Lagrange方程

(9)

(10)

根據(jù)KKT條件，在最優(yōu)解處存在

(11)

和

(12)

(13)

當(dāng)0

(14)

如果樣本是線性不可分的，那么在求解回歸問(wèn)題時(shí)會(huì)陷入無(wú)限循環(huán)而導(dǎo)致問(wèn)題不可解，一般采用的方法是引入非線性映射φ，將原始樣本輸入空間映射到高維的特征空間，然后在特征空間中進(jìn)行線性逼近。則式(10)可以改寫為

(15)

為了簡(jiǎn)化回歸問(wèn)題的求解過(guò)程，引入核函數(shù)(Kernel function)，核函數(shù)滿足

k(x,x′)=<φ(xi),φ(xi)>

(16)

則式(15)變?yōu)?/p>

(17)

式中：k(x,x′)為實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足Mercer條件。

(18)

式中，ur=[1,…,1]1×r。

基函數(shù)的選取對(duì)SVM的泛化能力有很大影響。采用Quad基和Gauss基的SVM適用于構(gòu)造具有強(qiáng)非線性特征的代理模型問(wèn)題。若真實(shí)函數(shù)非線性程度較低，或表現(xiàn)出較為顯著的線性特征，考慮到ε的影響，采用這兩類基函數(shù)的SVM會(huì)出現(xiàn)明顯的過(guò)擬合現(xiàn)象。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，采用多項(xiàng)式基函數(shù)的SVM會(huì)獲得更好的擬合效果。由于不同基函數(shù)的選取對(duì)待擬合函數(shù)自身的非線性特征有關(guān)，僅僅采用單一的基函數(shù)對(duì)一般性函數(shù)的擬合存在困難。針對(duì)這一問(wèn)題，本文將Gauss基函數(shù)或Quad基函數(shù)與常規(guī)的多項(xiàng)式基函數(shù)相混合，采用這種新的混合基函數(shù)來(lái)對(duì)傳統(tǒng)SVM進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的SVM模型的增廣形式表達(dá)式為

(19)

由于待求的參數(shù)數(shù)目要多余方程數(shù)目，因此式(19)無(wú)法定解，為此可引入正交性條件：

(20)

值得注意的是，增廣形式的SVM基函數(shù)矩陣是非正定矩陣。而在SVM構(gòu)造代理模型的過(guò)程中采用二次規(guī)劃求解最優(yōu)系數(shù)時(shí)要求核函數(shù)矩陣必須是正定矩陣，因此，需要構(gòu)造適合的響應(yīng)函數(shù)用于二次規(guī)劃求解問(wèn)題。

定義新的響應(yīng)函數(shù)表示為：

g(x)=(k(x)-f)T(k(x)-f)

(21)

式中：k(x)表示核函數(shù)，f表示原始響應(yīng)值。因此，新的二次規(guī)劃問(wèn)題描述為：

(22)

2 基于增廣SVM的模型修正

對(duì)于模型修正問(wèn)題，可以利用增廣SVM構(gòu)造修正目標(biāo)的代理模型。假設(shè)x為修正變量，y為修正目標(biāo)函數(shù)。設(shè)修正變量與修正目標(biāo)函數(shù)之間的真實(shí)映射關(guān)系可表示為：

y=f(x)

(23)

表達(dá)式(14)的反函數(shù)為：

x=f-1(y)

(24)

由于目標(biāo)函數(shù)y可以通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型試驗(yàn)實(shí)際之間或者間接得到，將y作為增廣SVM的輸入，用增廣SVM來(lái)描述函數(shù)關(guān)系式f-1，則結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)x將作為增廣SVM的輸出，從而達(dá)到模型修正的目的。

利用增廣SVM構(gòu)造代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正的具體步驟如下：

(1) 目標(biāo)函數(shù)的選取?？梢愿鶕?jù)試驗(yàn)結(jié)果或者實(shí)際需求選擇目標(biāo)函數(shù)，通?？梢赃x擇模態(tài)頻率、頻響函數(shù)、模態(tài)頻率殘差或者頻響函數(shù)殘差等作為增廣SVM的輸入。本文以模態(tài)頻率殘差作為目標(biāo)函數(shù)。

(25)

則模型修正問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

(26)

(2) 樣本空間的選擇。樣本點(diǎn)的選取需要采用合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法實(shí)際上就是有關(guān)如何合理安排試驗(yàn)的數(shù)學(xué)方法，它是代理模型的取樣策略，決定了構(gòu)造代理模型所需樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和樣本點(diǎn)的空間分布情況?，F(xiàn)階段常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括：全面析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)、中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)、隨機(jī)投點(diǎn)設(shè)計(jì)和拉丁方方法等。本文主根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)量的不同，分別采用全面析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)和中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)造樣本點(diǎn)。

(3) 代理模型精度檢驗(yàn)。對(duì)代理模型采用R2判定系數(shù)和相對(duì)均方差(RMSE)檢驗(yàn)其精度，其計(jì)算式分別為

R2=1-SSE/SST

(27)

(28)

式中:p為代理模型中非常數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù);SSE是誤差平方和;SST是總誤差平方和。SSE與SST的計(jì)算公式分別如下

(29)

(30)

(4) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正。當(dāng)有限元模型參數(shù)和試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)完全一致時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值在理論上為零。因此，可以通過(guò)優(yōu)化計(jì)算，得到修正區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)解，即為修正后的設(shè)計(jì)參數(shù)值。將修正后的設(shè)計(jì)參數(shù)值代入有限元模型進(jìn)行計(jì)算和精度檢驗(yàn)，若精度滿足要求，則可以通過(guò)有限元模型進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算分析。

模型修正過(guò)程的流程圖如圖2所示。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

3.1 兩參數(shù)數(shù)值算例

以一個(gè)非線性數(shù)學(xué)函數(shù)——Branin rcos函數(shù)來(lái)比較由SVM-Quad、SVM-Gauss和SVM-Multi構(gòu)造的全局近似函數(shù)的精度。Branin rcos函數(shù)有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量，形式如下：

(31)

定義x1∈[-5,10]，x2∈[0,15]。

采用不同的代理模型構(gòu)造得到的代理模型及真實(shí)函數(shù)曲面的對(duì)比如圖3所示，其中SVM-Gauss表示Gauss基SVM，SVM-Polynomial表示多項(xiàng)式基SVM，SVM-Multi表示增廣SVM。

圖2 基于代理模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法流程圖

編號(hào)x1x2f編號(hào)x1x2f1-1-1308.11400.560.572-1-0.580.12150122.173-1010.31160.5-147.984-10.520.8170.5-0.522.385-1110.96180.5073.236-0.5-1193.3190.50.5122.67-0.5-0.532.75200.5169.968-0.503.156211-117.519-0.50.526.62221-0.559.3910-0.512.5012310150.5110-1106.62410.5212.8120-0.513.512511145.9130024.13

對(duì)比上圖可以明顯發(fā)現(xiàn)，基于不同基函數(shù)的SVM都可以根據(jù)樣本點(diǎn)對(duì)真實(shí)函數(shù)進(jìn)行擬合。但不同的是， 基于SVM-Polynomial的構(gòu)造函數(shù)的擬合結(jié)果和精度都相對(duì)較差，存在嚴(yán)重的過(guò)擬合現(xiàn)象?；赟VM-Gauss的構(gòu)造函數(shù)雖然在一定程度上可以比較準(zhǔn)確的對(duì)真實(shí)函數(shù)進(jìn)行描述，但從圖3(c)中可以看出，在某些區(qū)域，構(gòu)造函數(shù)與真實(shí)函數(shù)之間仍存在明顯偏差。而基于SVM-Multi的構(gòu)造函數(shù)則可以最準(zhǔn)確的描述真實(shí)函數(shù)，精度最高。為了更加直觀的說(shuō)明這一問(wèn)題，同樣采用全面析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)造一系列的檢驗(yàn)樣本點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)構(gòu)造函數(shù)的精度，檢驗(yàn)樣本點(diǎn)如表2所示。

(a)真實(shí)函數(shù)(b)SVM-Polynomial構(gòu)造函數(shù)

(c)SVM-Gauss構(gòu)造函數(shù)(d)SVM-Multi構(gòu)造函數(shù)

圖3 基于不同基函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)與真實(shí)函數(shù)對(duì)比情況

Fig.3 The contraction between the constructor function and the real function based on different basis function

表2 檢驗(yàn)樣本點(diǎn)

根據(jù)式(27)和(28)計(jì)算得到R2和RMSE，如表3所示。

表3 R2和RMSE

從表3中可以明確看出，在SVM-Quad、SVM-Gauss和SVM-Multi三種方法中，SVM-Multi的R2值最大，RMSE值最小，這進(jìn)一步說(shuō)明在這三種代理模型構(gòu)造方法中，增廣SVM方法在處理一般函數(shù)問(wèn)題中，其構(gòu)造函數(shù)的精度比傳統(tǒng)SVM方法更高，對(duì)真實(shí)函數(shù)的描述更準(zhǔn)確。

3.2 某機(jī)翼模型結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正

本算例選用某機(jī)翼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，機(jī)翼有限元模型如圖4所示。

圖4 機(jī)翼整體結(jié)構(gòu)有限元模型

試驗(yàn)結(jié)果和初始有限元計(jì)算結(jié)果列于表6中，其中誤差和MAC(Modal Assurance Criteria)可以分別由下式得到

(32)

(33)

將機(jī)翼蒙皮和翼肋的彈性模量、厚度作為待修正參數(shù)，其修正區(qū)間取值范圍見表4。

表4 機(jī)翼有限元模型修正參數(shù)的修正區(qū)間

通過(guò)MSC.NASTRAN對(duì)表5中每組樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有限元模型進(jìn)行固有振動(dòng)頻率計(jì)算，定義F為結(jié)構(gòu)前五階固有頻率測(cè)量值和計(jì)算值之間殘差的絕對(duì)值與對(duì)應(yīng)權(quán)系數(shù)乘積的總和：

(34)

(35)

表5 基于中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)的機(jī)翼模型計(jì)算樣本點(diǎn)和目標(biāo)函數(shù)值

Tab.5 The calculate sample points and objective function values of wing model based on central composite experimental design

編號(hào)E1t-1E2t-2F1-1-1-1-134.42-1-0.33-0.33-0.3322.163-10.330.330.3311.24-11113.15-0.33-1-0.330.3333.526-0.33-0.330.33121.97-0.330.331-198-0.331-1-0.333.0490.33-1-0.330.3332.88100.33-0.330.33120.56110.330.331-18.74120.331-1-0.333.44131-1-0.330.3331.62141-0.330.33119.261510.331-17.31611-1-0.334.461711113.961810.330.330.338.14191-0.33-0.33-0.3318.28201-1-1-146.56210.3310.33-0.333.6220.330.33-0.33-18.66230.33-0.33-1121.16240.33-110.3332.4825-0.3310.33-0.333.226-0.330.33-0.33-19.5227-0.33-0.33-1122.4428-0.33-110.3333.7429-110.33-0.333.0230-10.33-0.33-110.3831-1-0.33-1123.7632-1-110.3335.02

最終得到的修正參數(shù)需要滿足

(36)

根據(jù)式(19)構(gòu)造代理模型，采用高斯基，并且增加一組多項(xiàng)式函數(shù)作為SVM-Multi的基函數(shù)，然后通過(guò)遺傳算法計(jì)算獲得最優(yōu)解。由于權(quán)系數(shù)的大小會(huì)對(duì)修正結(jié)果產(chǎn)生直接影響，因此定義wi=1/n，使各階固有頻率對(duì)結(jié)果的影響是均勻的。修正前后有限元計(jì)算固有頻率和試驗(yàn)測(cè)量固有頻率的對(duì)比情況如表6所示。

表6 機(jī)翼結(jié)構(gòu)前五階固有頻率試驗(yàn)值與計(jì)算值的相關(guān)性分析

Tab.6 The Correlation Analysis of experimental and calculated values of the first five natural frequencies

模態(tài)階數(shù)固有頻率/Hz試驗(yàn)修正前誤差MAC修正后誤差MAC1102.297.15.00.85100.02.150.992192.7181.94.00.82196.31.870.973237.9202.814.80.61236.20.710.964271.2228.915.60.09271.70.180.975302.1242.719.70.04301.40.230.98

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，修正后結(jié)構(gòu)的前五階固有頻率誤差明顯降低，特別是第三、四、五階固有頻率誤差變化尤為明顯，對(duì)應(yīng)的MAC值也明顯增大。

(a)修正前的MAC矩陣(b)修正后的MAC矩陣

圖5 修正前后MAC矩陣對(duì)比圖

Fig.5 The modal assurance criteria before and after model updating

圖5為試驗(yàn)?zāi)Ｐ头謩e與修正前后的有限元模型前5階振型的MAC圖，從圖中可以看出，修正前的MAC矩陣對(duì)角元數(shù)值不大，某些非對(duì)角元數(shù)值較大，說(shuō)明修正前的有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嚓P(guān)性不好；而修正后的MAC矩陣對(duì)角元幾乎為1，非對(duì)角元也相對(duì)較小，說(shuō)明修正后的有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嚓P(guān)性比較好。

3.3 典型連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正

本算例選取一種典型的螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)——板搭接件作為研究對(duì)象進(jìn)行研究，試驗(yàn)裝置如圖6(a)所示，采用bush單元模擬螺栓，有限元模型如圖6(b)所示。

(a) 搭接板錘擊試驗(yàn)

(b) 搭接板有限元模型

圖6 搭接板錘擊試驗(yàn)與搭接板有限元模型

Fig.6 The lap board hammer test and finite element model of lap board

將 bush單元的軸向平動(dòng)剛度k作為模型修正參數(shù)之一，將材料的彈性模型E作為另一個(gè)修正參數(shù)。表7給出了修正參數(shù)的修正區(qū)間。

表7 搭接板結(jié)構(gòu)修正參數(shù)的修正區(qū)間

本算例采用全面析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)造樣本點(diǎn)，將各階試驗(yàn)測(cè)量固有頻率與有限元計(jì)算固有頻率之間的殘差fi作為目標(biāo)函數(shù)

(37)

本算例采用Pareto優(yōu)化算法，將結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)優(yōu)化問(wèn)題(38)的求解過(guò)程

(38)

通過(guò)SVM-Multi構(gòu)造代理模型，搭接板前四階彎曲模態(tài)頻率殘差絕對(duì)值的代理模型，如圖7所示。

通過(guò)MATLAB優(yōu)化工具箱計(jì)算可以得到一組的最優(yōu)解集，這些最優(yōu)解構(gòu)成的Pareto前緣,如圖8所示。

通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化得到一組最優(yōu)解集，根據(jù)各個(gè)解計(jì)算得到的固有頻率與測(cè)量值之間的偏差列于表9中，可以看出，固有頻率的最大偏差不超過(guò)0.76%，最小偏差僅有0.002%，這表示修正后搭接板有限元模型的動(dòng)力學(xué)特性與真實(shí)結(jié)構(gòu)具有良好的一致性。

表8 基于全面析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)的搭接板計(jì)算樣本點(diǎn)和目標(biāo)函數(shù)值

Tab.8 The calculate sample points and objective function values of lap board based on central composite experimental design

樣本點(diǎn)kEf1f2f3f41-1-13.811.4828.436.162-1-0.333.340.2225.920.163-10.332.871.8923.455.934-112.423.5521.0111.645-0.33-10.341.458.075.876-0.33-0.330.230.245.040.147-0.330.330.801.922.056.088-0.3311.363.580.9111.9690.33-10.231.454.275.82100.33-0.330.810.251.130.19110.330.331.401.931.986.13120.3311.983.585.0512.01131-10.471.452.645.80141-0.331.070.250.560.211510.331.661.933.716.1516112.253.596.8312.04

(a)代理模型f1(b)代理模型f2

(c)代理模型f3(d)代理模型f4

圖7 前四階代理模型

Fig.7 The first four agent model

4 結(jié) 論

本文對(duì)傳統(tǒng)SVM進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種基于混合基函數(shù)的增廣SVM方法，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)造代理模型來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正。通過(guò)Branin rcos函數(shù)的數(shù)值算例來(lái)對(duì)比驗(yàn)證增廣SVM的預(yù)測(cè)精度，并通過(guò)機(jī)翼模型仿真算例和搭接板動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)算例來(lái)證明基于增廣SVM的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法的實(shí)用性，算例結(jié)果表明：

圖8 Pareto前緣

最優(yōu)解集頻率誤差/%第一階第二階第三階第四階10.7550.1290.5050.00220.6850.0520.3390.07630.6470.0130.3720.11640.5910.0520.4250.18450.5310.1290.4820.26060.4840.2000.5220.32770.4640.2320.5390.36080.4490.2840.5420.41190.4430.2970.5490.427100.4490.3160.5350.447110.4560.3480.5180.480120.4730.3740.4950.500130.4980.3870.4590.517140.5130.3940.4390.522150.5310.4000.4150.526160.5450.3360.3950.531170.5730.4070.3620.525180.5960.4070.3320.537190.6100.4130.3180.538200.6270.4130.2920.538

(1) 本文提出的混合基增廣SVM有效解決了傳統(tǒng)SVM存在的過(guò)擬合或者擬合精度不足的問(wèn)題，可用于構(gòu)造具有良好預(yù)測(cè)精度的代理模型；

(2) 算例分析結(jié)果表明，在增廣SVM的基礎(chǔ)上提出的模型修正方法對(duì)試驗(yàn)樣本數(shù)的需求較少，可以在少量試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本的條件下獲得具有高計(jì)算精度的修正模型；

(3) 由于增廣SVM具有很好的泛化能力，可以準(zhǔn)確逼近含有顯著非線性特征的真實(shí)響應(yīng)，因此本文提出的模型修正方法也適用于具有較高非線性特征的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正問(wèn)題。

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Structural dynamic model updating based on augmented SVM

CHEN Zhe， HE Huan， CHEN Guoping

(The State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016, China)

Here, the FE model updating method based on surrogate model was studied. An augmented support vector machine (SVM) based on hybrid basis functions was proposed for solving over-fitting results when SVM was used to deal with weak nonlinear functions. Based on dynamic test results measured and calculated results with a structural finite element model, according to design requirements, sensitivity analysis or engineering experience, appropriate parameters to be modified and modification ranges were chosen to determine the modification sample space and sample points. Then, the surrogate model for each group of sample points and corresponding objective function was constructed adopting the augmented SVM. The multi-objective optimization algorithm based on Pareto optimal solution was introduced to find the global optimal solution to parameters to be modified within the modification interval taking the output of the surrogate model as the objective and the sample space as variables. Example 1 showed that the prediction results with the augmented SVM have a higher accuracy than those with the traditional SVM do. Example 2 and 3 showed that the structural dynamic model updating based on the proposed augmented SVM is valuable in actual application and its results have a higher precision.

surrogate model； multi-objective optimization； augmented SVM; model updating

國(guó)家自然科學(xué)基金(11472132); 江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程(KYLX_0223);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助(NS2014002); 江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程

2015-11-30 修改稿收到日期：2016-06-16

陳喆 女，博士生，1989年6月生

何歡 男，博士，副教授，1978年2月生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.029