溫度變化對懸索主共振響應影響分析

趙珧冰， 彭 劍

(1. 華僑大學 土木工程學院， 福建 廈門 361021； 2. 湖南科技大學 土木工程學院， 湖南 湘潭 411201；3. 湖南大學 土木工程學院， 長沙 410082)

溫度變化對懸索主共振響應影響分析

趙珧冰1， 彭 劍2, 3

(1. 華僑大學 土木工程學院， 福建 廈門 361021； 2. 湖南科技大學 土木工程學院， 湖南 湘潭 411201；3. 湖南大學 土木工程學院， 長沙 410082)

基于增量熱場理論，推導考慮均勻溫度變化影響下受諧波激勵的懸索非線性運動微分方程，利用Galerkin法將方程離散，并對離散后的方程進行線性分析。以懸索主共振響應為例，利用多尺度法求解其高階近似解及幅頻響應方程，通過算例研究溫度變化對不同Irvine參數(shù)的懸索前四階模態(tài)頻率以及幅頻響應曲線的影響。研究結(jié)果表明：懸索模態(tài)振型、頻率和主共振響應受溫度變化影響明顯，且與其Irvine參數(shù)密切相關；溫度變化有可能定性和定量地改變懸索非線性振動特性，其取決于線性項、平方和立方非線性項系數(shù)受溫度變化的影響程度；相同程度的升溫和降溫對懸索振動特性的影響不對稱。

懸索； 溫度變化； 多尺度法； 主共振

索結(jié)構(gòu)是大跨度斜拉橋以及懸索橋重要的基本單元，在實際工程中，由于索承受的荷載極其復雜，周圍環(huán)境變化劇烈，因此不可避免會遭受損傷或性能退化，屬于易損結(jié)構(gòu)[1]。為了保證橋梁結(jié)構(gòu)運營安全，需要及時、正確地識別索結(jié)構(gòu)的損傷特性，并采取有效的措施保證結(jié)構(gòu)安全可靠[2]。而這些損傷特征信息往往淹沒在各種環(huán)境因素的影響中，其中以溫度變化影響較為突出[3]。為此研究索結(jié)構(gòu)在溫度變化時的振動特性就變得非常重要。

無論是理論研究[4-10]還是工程實踐[11-12]，研究人員非常關注溫度效應和損傷效應對頻率、振型和張拉力等振動特征的影響。一方面，研究人員建立了考慮溫度效應影響下拉索靜、動力學分析模型；另一方面，基于拉索損傷程度、位置和范圍三個參數(shù)，建立了拉索損傷狀態(tài)下分析模型。然而懸索作為一類同時包含二次和三次非線性項的柔性結(jié)構(gòu)，在荷載激勵下會產(chǎn)生豐富的非線性動力學現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明[13]：溫度變化對懸索非線性振動中的分叉現(xiàn)象有顯著影響。因此基于考慮溫度效應影響下的非線性動力學模型，深入研究溫度變化對懸索非線性振動特性影響，既可以豐富拉索非線性動力學理論研究，還可以為結(jié)構(gòu)損傷識別提供參考和依據(jù)。

本文以懸索為例，基于增量熱場理論，建立考慮溫度變化影響的動力學模型，推導非線性運動微分方程。采用多尺度法，求解其非線性主共振響應的高階近似解及幅頻響應方程。通過算例研究溫度變化對不同垂跨比懸索的非線性主共振響應影響。

1 數(shù)學模型

圖1 懸索構(gòu)形及特性

1.1 運動微分方程

基于懸索靜平衡和熱應力平衡狀態(tài)時的平衡方程，受外激勵作用下懸索的運動方程可以表示為：

(1)

(2)

其中：cu和cv分別表示懸索在u和v方向阻尼系數(shù)。

根據(jù)鏈式法則，結(jié)合熱應力狀態(tài)時的平衡方程，可得[5]：

(3)

(4)

式中：Ξ和Ξd分別表示在熱應力平衡狀態(tài)下的靜拉力及在運動狀態(tài)下增大的動拉力沿懸索弦向分量，其表達式分別為：

和

由于溫度變化會影響懸索垂度和張拉力，因此引入了兩個無量綱參數(shù)κ2和χ2。基于擬靜態(tài)假設，懸索面內(nèi)振動的運動方程為：

(5)

式中：Ω為外激勵的頻率。

為研究簡便，引入以下無量綱參數(shù)：

(6)

將式(6)代入式(5)中，略去表達式的上標星號，則相應的無量綱運動方程為：

(7)

式中：y(x)=4fx(1-x)和f=b/L。

1.2 Galerkin離散

假設懸索是由正對稱和反對稱模態(tài)組成的多自由度系統(tǒng)，利用Galerkin法對式(7)進行無窮維離散，面內(nèi)運動的位移函數(shù)表示為：

φ(x)

(8)

式中：N為模態(tài)離散的數(shù)目；qn(t)是廣義坐標函數(shù)；φ(x)為n階模態(tài)函數(shù)。

將式(8)代入式(7)中，可得：

(9)

由此可見溫度變化并沒有改變懸索運動微分方程的形式，而是通過引入的兩個無量綱參數(shù)(χ2和κ2)來體現(xiàn)溫度變化的影響。

2 主共振響應分析

對于有阻尼系統(tǒng)，多尺度法處理起來更加方便，而且由于低階的多尺度近似解有可能產(chǎn)生定性的誤差，因此本文采用高階的多尺度法求解懸索非線性主共振響應的近似解[14]。

此時外激勵頻率表示為：

Ωn=ωn+ε2σn1+ε4σn2

(10)

式中：ωn為線性分析得到的模態(tài)頻率；ε為無量綱小參數(shù)；σn1和σn2為前兩階調(diào)諧參數(shù)。

利用多尺度法可得系統(tǒng)的幅頻響應方程：

(11)

(12)

而總的調(diào)諧參數(shù)參數(shù)表示為：

σn=σn1+σn2

(13)

因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應解為：

(14)

3 算例分析

假設懸索彈性模量和阻尼系數(shù)均與溫度變化無關，其各項物理參數(shù)為：L=200 m、A=7.069×10-2m2、E=200 GPa、ρ=7 800 kg/m3、α=1.2×10-5℃以及g=9.81 m/s2。無量綱化后的激勵幅值以及阻尼系數(shù)分別為0.003和0.002 5。

圖2描繪了在整體均勻溫度變化影響下，懸索前四階模態(tài)頻率(前兩階正/反對稱模態(tài))與Irvine參數(shù)λ2的關系曲線。由圖可知，前四階模態(tài)頻率受溫度變化的影響明顯，尤其是第一階正對稱模態(tài)頻率[15]。反對稱模態(tài)頻率雖與溫度變化呈現(xiàn)反比例關系，但是其模態(tài)振型不受溫度變化的影響。一階正/反對稱模態(tài)頻率之間存在交點，在交點附近容易發(fā)生模態(tài)間的內(nèi)共振以及能量傳遞現(xiàn)象。然而在溫度變化的影響下，交點的位置發(fā)生了漂移，表明懸索內(nèi)共振響應受溫度變化影響明顯。

圖2 溫度變化對Irvine參數(shù)與無量綱模態(tài)頻率關系曲線影響

Fig.2 Temperature effects on relationship curves between Irvine parameter and non-dimensional mode frequencies

圖3描繪了溫度變化對四種垂跨比懸索主共振幅頻響應曲線的影響。溫度變化和線性頻率之間的正、反比例關系與初始張拉力密切相關[6]。而懸索平方和立方非線性項系數(shù)的大小則和溫度變化呈現(xiàn)出明顯的正比例關系，即溫度上升，非線性項系數(shù)增大，反之則減小。

對于圖3(a)，此時懸索垂跨比約為0.006，對應Irvine參數(shù)約為1.45，從線性結(jié)果分析來看，溫度上升，線性頻率下降，溫度下降，線性頻率上升。此時從定性角度而言，懸索均表現(xiàn)出明顯的“硬”彈簧特性(曲線向右偏轉(zhuǎn))；從定量角度來看，溫度變化對主共振響應影響比較有限。由此推斷，當懸索垂跨比非常小時，溫度變化對其非線性振動特性影響不明顯。

圖3(b)中，懸索的垂跨比為0.01，Irvine參數(shù)約為6.72。線性分析結(jié)果表明：無論溫度上升還是下降，線性頻率均會增大。而從非線性分析結(jié)果來看，在不考慮溫度變化(Δt=0 ℃)和溫度下降(Δt=-40 ℃)兩種情況下，懸索的幅頻響應曲線均向右偏轉(zhuǎn)。而當溫度上升時(Δt=+40 ℃)，懸索會表現(xiàn)出先偏“軟”再偏“硬”的振動特性，即曲線先向左然后向右偏轉(zhuǎn)。這一現(xiàn)象的原因在于當溫度上升時，懸索平方非線性項系數(shù)受溫度變化影響最為明顯，此時平方非線性在振動中占主導地位，從而使得曲線向左偏轉(zhuǎn)。

懸索的垂跨比進一步增大(f=0.015)，對應的Irvine參數(shù)也進一步增加(λ2=21.92)，此時溫度變化影響下的幅頻響應曲線如圖3(c)所示。當溫度上升時，懸索線性頻率也隨之增大。而對于主共振響應而言，無論溫度是上升還是下降，懸索均表現(xiàn)出先“軟”后“硬”的振動特性。但是從定量角度而言，當溫度上升時，升溫對立方非線性項系數(shù)的影響程度明顯大于降溫，因此隨著溫度上升，曲線向右偏轉(zhuǎn)程度明顯加劇。

最后懸索垂跨比進一步增大至0.02，對應的Irvine參數(shù)為60.04。由圖3(d)所示，溫度變化明顯改變了懸索主共振響應的振動特性。特別是當溫度上升時，此時懸索的“軟”彈簧特性幾乎消失。盡管平方非線性項的系數(shù)隨著溫度上升而增加，但是此時立方非線性項的系數(shù)隨著溫度的上升增大約為3倍。因此“硬”彈簧特性占據(jù)主導地位，此時曲線迅速向右偏轉(zhuǎn)。

(a)f=0.006

(b)f=0.01

(c)f=0.015

(d)f=0.02

圖3 溫度變化對懸索幅頻響應曲線影響：

Fig.3 Temperature effects on frequency response curves of the suspended cable

4 結(jié) 論

平方和立方非線性項的系數(shù)與溫度變化呈現(xiàn)出明顯的正比例關系，而線性項系數(shù)與溫度變化之間的比例關系則和懸索垂跨比密切相關；懸索非線性主共振響應受溫度變化影響較為明顯，與其垂跨比密切相關，但當垂跨比很小(初始張拉力很大)，溫度變化對懸索振動特性影響明顯減弱；懸索主共振響應特性在溫度變化影響下，有可能發(fā)生定性和定量地改變，取決于線性項、平方和立方非線性項受溫度變化的影響程度；相同程度的升溫和降溫對懸索振動特性影響不對稱。

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Effects of temperature changes on primary resonances of suspended cables

ZHAO Yaobing1, PENG Jian2,3

(1. College of Civil Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, China;2. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;3. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on the incremental thermal field theory, the nonlinear vibration equations of a suspended cable under harmonic excitation considering uniform temperature variation were derived. Galerkin method was used to discretize the nonlinear vibration equations and the discretized equations were analyzed linearly. The higher order approximate solution and the amplitude-frequency response equation were obtained with the multi-scale method. The effects of temperature changes on the first 4 orders modal frequencies and amplitude-frequency response curves of the suspended cable with different Irvine parameters were studied with numerical examples. The results showed that modal shapes, modal frequencies and primary resonance responses of the suspended cable are obviously affected by temperature changes, and they are closely related to Irvine parameters of the suspended cable; the suspended cable’s nonlinear vibration characteristics may be changed quantitatively and qualitatively by temperature effects, they are dependent on the effects of temperature changes on coefficients of the linear term, the square one and the cubic one; the effects of temperature increase and its decrease at the same level on the vibration characteristics of the suspended cable are not symmetric.

suspended cable; temperature variations; multi-scale method; primary resonance

國家自然科學基金(11602089; 11402085); 福建省自然科學基金青年創(chuàng)新(2016J05011); 福建省中青年教師教育科研項目(JAT160025)；華僑大學高層次人才科研啟動費(15BS409)

2015-12-30 修改稿收到日期：2016-06-16

趙珧冰 男，博士，講師，1988年9月生

TH1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.036