有限潛深狀態(tài)下圓柱殼固有振動(dòng)特性分析

王 鵬， 李天勻， 朱 翔， 繆宇躍， 張冠軍

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074)

有限潛深狀態(tài)下圓柱殼固有振動(dòng)特性分析

王 鵬1,2， 李天勻1,2， 朱 翔1,2， 繆宇躍1,2， 張冠軍1,2

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074； 2. 船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074)

基于波傳播法和虛源法，建立有限潛深狀態(tài)下圓柱殼-聲場(chǎng)耦合數(shù)學(xué)模型，并考慮了自由液面和流體靜壓的影響。采用數(shù)值方法求解耦合系統(tǒng)特征方程，得到了有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的模態(tài)頻率。數(shù)值分析表明：較無(wú)限域中圓柱殼模態(tài)頻率特性而言，自由液面的存在致使結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相應(yīng)增大，而流體靜壓則使得結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相應(yīng)減小；當(dāng)潛深較小時(shí)，自由液面的影響相對(duì)較顯著，而當(dāng)潛深較大時(shí)，流體靜壓的影響相對(duì)較顯著；流體靜壓對(duì)有限潛深狀態(tài)下圓柱殼各階模態(tài)頻率特性的影響程度不盡相同，從而導(dǎo)致在一定潛深條件下，圓柱殼模態(tài)頻率階次出現(xiàn)變化；當(dāng)潛深較大時(shí)，圓柱殼面臨失穩(wěn)。

有限潛深;自由液面;流體靜壓;圓柱殼;虛源法;波傳播方法

水下航行器在實(shí)驗(yàn)測(cè)試和正常工作時(shí)受水域限制，處于有限潛深狀態(tài)。有限潛深狀態(tài)定義為，結(jié)構(gòu)浸沒(méi)在自由液面以下有限深度，且結(jié)構(gòu)軸線與自由液面平行。在該工況下，流場(chǎng)受自由液面限制為半無(wú)限域，結(jié)構(gòu)的聲振特性受到自由液面和流體靜壓的影響。研究有限潛深狀態(tài)圓柱殼的聲振特性將為水下航行器的聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)半無(wú)限域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲輻射特性進(jìn)行了許多研究，主要針對(duì)二維圓柱殼結(jié)構(gòu)。Bulter[1]基于正交模態(tài)展開(kāi)法和虛源法分析了半無(wú)限域中圓柱殼的振動(dòng)特性，并探討了流體邊界對(duì)呼吸模態(tài)(n=0)和剛體模態(tài)(n=1)條件下圓柱殼模態(tài)頻率的影響。Chang等[2]基于近似輻射條件，將半無(wú)限域內(nèi)圓柱殼-聲場(chǎng)耦合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊界值問(wèn)題，通過(guò)雙極子坐標(biāo)變換求解得到了耦合系統(tǒng)的輻射聲壓表達(dá)式，并探討了自由液面或剛性壁面邊界的影響。Skidan等[3]采用邊界積分法和模態(tài)分析方法分析了半無(wú)限域中圓柱殼的聲輻射特性，并探討了自由液面和剛性壁面的影響。李天勻等[4-5]基于波傳播方法和虛源法，分析了存在自由液面或剛性壁面邊界的半無(wú)限域內(nèi)圓柱殼的聲輻射特性。

針對(duì)半無(wú)限域中有限長(zhǎng)圓柱殼的自由振動(dòng)特性，國(guó)內(nèi)外專家也開(kāi)展了研究工作，但主要側(cè)重于實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值方法研究。Ergin等[6]基于實(shí)驗(yàn)研究探討了自由液面和剛性壁面對(duì)水下圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響，并采用三維水動(dòng)力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)單的理論分析驗(yàn)證。王宗利等[7]基于有限元方法分析了潛水深度對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響，并考慮了流體靜壓的影響。劉佩等[8-9]基于Ansys軟件分析了半無(wú)限域內(nèi)圓柱殼的自由振動(dòng)特性，并考慮了流體邊界(自由液面或剛性壁面)和流體靜壓的影響。

本文從理論分析著手，結(jié)合波傳播方法和虛源法建立了有限潛深狀態(tài)圓柱殼-聲場(chǎng)耦合模型，進(jìn)而分析了有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的固有振動(dòng)特性，并探討了自由液面和流體靜壓的影響。本文的研究可為水下航行器的聲學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)測(cè)量提供參考。

1 理論分析

1.1 研究對(duì)象

有限潛深狀態(tài)下有限長(zhǎng)圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。圓柱殼長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面平均半徑為R，殼體厚度為h。殼體材料的密度為ρs,彈性模量為E，泊松比為μ。圓柱殼軸線與流體自由液面平行，距離為H，定義為潛深。流體密度為ρf。選取柱坐標(biāo)系，z,r,θ分別表示圓柱殼的軸向，徑向和周向。

圖1 有限潛深狀態(tài)圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 殼體振動(dòng)方程

基于Flügge殼體理論，考慮流體靜壓的影響，可以得到有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的振動(dòng)方程[10]：

(1)

研究表明[11]：波傳播方法應(yīng)用于求解流場(chǎng)-圓柱殼耦合問(wèn)題具有簡(jiǎn)單、非迭代、精度較高等優(yōu)點(diǎn)。基于波傳播方法，可以假設(shè)殼體位移：

(2)

式中：Umn，Vmn,Wmn為三向位移的幅值系數(shù)；m，n分別是軸向和周向模態(tài)階數(shù)；km為軸向波數(shù)。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，略去所有變量中的時(shí)間簡(jiǎn)諧項(xiàng)exp(iωt)，ω為圓頻率。

1.3 流體聲壓

本文采用虛源法處理自由液面對(duì)聲場(chǎng)的影響，如圖2所示。在有限潛深狀態(tài)下圓柱殼-流場(chǎng)耦合系統(tǒng)中，流體聲壓主要包括兩部分：一部分是由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲；另一部分是由于自由液面對(duì)聲波反射租用所產(chǎn)生的反射聲，即虛源的輻射聲。因而，流體聲壓可以表述為：

p(r,θ,z)=pr+pi

(3)

在流體區(qū)域內(nèi)，聲壓應(yīng)滿足Helmholtz方程：

(4)

式中，cf表示聲波在流體介質(zhì)中的傳播速度。

采用分離變量法求解方程，可以得到流體聲壓：

(5)

(6)

忽略流體表面波動(dòng)效應(yīng)，則流體聲壓在自由液面邊界處應(yīng)該滿足聲壓釋放條件：

(7)

對(duì)自由液面上任意一點(diǎn)B，滿足如下幾何關(guān)系：

r=r′,θ′=π-θ

(8)

將式(5)，(6)代入式(7)，并進(jìn)行正交化，可以得到：

(9)

基于graf加法定理[12]，可以將虛源的聲壓映射到本體坐標(biāo)系中：

(10)

圖2 虛源法示意圖

流體聲壓中的輻射聲是由殼體自身振動(dòng)引起的，其與殼體位移在耦合交界面處滿足連續(xù)性條件：

(11)

1.4 耦合振動(dòng)方程

將式(2)，(3)，(5)，(6)代入殼體振動(dòng)方程，正交化，可得有限潛深狀態(tài)下聲場(chǎng)-圓柱殼耦合振動(dòng)方程：

(12)

式中：[T]3×3是(m,n)號(hào)模態(tài)下的系數(shù)矩陣，其各元素如下所示：

T11=Ω2-(1+F1)λ2-n2[F2+(1+K)(1-μ)/2]，

T12=-iλn(1+μ)/2，T21=-T12，

T13=-i[(μ-F2)λ+Kλ3-n2Kλ(1-μ)/2]，

T22=[F1+(1+3K)(1-μ)/2]λ2+(1+F2)n2-Ω2，

T23=n[1+F2+Kλ2(3-μ)/2]，T31=TT13，T32=-T23，

T33=1+K-(F2-2K)n2+F1λ2+K(λ2+n2)2-Ω2+FL，λ=kmR，

方程必有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式值為零：

(13)

方程也被稱為耦合系統(tǒng)的特征方程。

當(dāng)給定周向波數(shù)km時(shí)，方程僅包含變量無(wú)量綱頻率Ω，因而通過(guò)數(shù)值方法求解該方程可以獲得有限潛深狀態(tài)下圓柱殼-流場(chǎng)耦合系統(tǒng)的固有頻率。軸向波數(shù)km可以根據(jù)殼體兩端的邊界條件確定，Lam等[13]采用梁函數(shù)來(lái)模擬有限長(zhǎng)圓柱殼的邊界條件。為簡(jiǎn)化研究，假設(shè)圓柱殼兩端簡(jiǎn)支，則有：

kmL=mπ

(14)

2 方法驗(yàn)證

2.1 流場(chǎng)-圓柱殼耦合系統(tǒng)參數(shù)

本文選取的數(shù)值計(jì)算模型參數(shù)如表1所示,該模型與文獻(xiàn)[9]中的數(shù)值分析模型一致。

2.2 收斂性分析

本文針對(duì)流體聲載荷項(xiàng)FL中對(duì)下標(biāo)a的無(wú)限項(xiàng)求和進(jìn)行截?cái)嗵幚?，并選取有限潛深狀態(tài)下圓柱殼模態(tài)頻率為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以檢驗(yàn)理論方法的收斂性。假定下標(biāo)a的最大取值為A，即a=0,1,2，…，A，收斂性分析結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)A≥10時(shí)，有限潛深狀態(tài)圓柱殼各階模態(tài)頻率均收斂。因此，在后續(xù)計(jì)算過(guò)程中取截?cái)囗?xiàng)數(shù)A=10。此外，本文主要關(guān)注

表1 圓柱殼-流場(chǎng)耦合模型參數(shù)

圖3 圓柱殼模態(tài)頻率收斂性分析

圓柱殼模型的低階模態(tài)頻率特性(當(dāng)潛深較大時(shí)，本文結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)優(yōu)先失穩(wěn))，對(duì)高階模態(tài)頻率應(yīng)酌情增加截?cái)囗?xiàng)數(shù)以保證計(jì)算結(jié)果收斂。

2.3 理論方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論方法的有效性，本文將計(jì)算結(jié)果與劉佩的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，并給出了相對(duì)偏差值，結(jié)果如表2所示。相對(duì)偏差定義為：

(15)

式中，fT和fF分別模態(tài)頻率的理論計(jì)算值和有限元仿真值。

對(duì)比分析表2中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率隨潛深的增加而逐漸減小，并且模態(tài)頻率階次出現(xiàn)了變化，如(1,2)和(1,3)號(hào)模態(tài)頻率，這與劉佩的數(shù)據(jù)的變化規(guī)律基本一致；本文理論計(jì)算結(jié)果與劉佩的數(shù)據(jù)吻合良好，相對(duì)偏差值較小，最大偏差值在6.1%以內(nèi)。因此，本文提出的理論分析方法是有效的。

2.4 有限潛深狀態(tài)下圓柱殼模態(tài)頻率特性

在有限潛深狀態(tài)下，流體對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響主要包含自由液面和流體靜壓，并且與潛深密切相關(guān)?；谇懊娴睦碚摲治龊湍Ｐ蛥?shù)，本文探討了有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的模態(tài)頻率特性，并分別分析了自由液面和流體靜壓的影響。

為了研究自由液面和流體靜壓對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響，本文給出了分別忽略自由液面和流體靜壓的有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率隨潛深的變化規(guī)律，并與對(duì)應(yīng)模態(tài)下有限潛深狀態(tài)和無(wú)限域中圓柱殼模態(tài)頻率進(jìn)行對(duì)比分析，如圖4所示。

(a) (1,2)

(b) (1,3)

(c) (1,4)

(d) (2,3)

(e) (2,4)

從圖4可以看出，當(dāng)潛深相對(duì)較小時(shí)，是否考慮自由液面效應(yīng)的圓柱殼模態(tài)頻率特性差異明顯，而是否考慮流體靜壓的圓柱殼模態(tài)頻率特性則差異較小。隨著潛深的增大，有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率逐漸減小并收斂于對(duì)應(yīng)模態(tài)下忽略自由液面效應(yīng)的有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率，而忽略流體靜壓的有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率與對(duì)應(yīng)模態(tài)下有限潛深狀態(tài)下結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率之間的差異則逐漸增大。忽略自由液面效應(yīng)的有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率普遍小于對(duì)應(yīng)模態(tài)下無(wú)限域中圓柱殼模態(tài)頻率。

上述現(xiàn)象說(shuō)明，自由液面的存在會(huì)致使圓柱殼模態(tài)頻率相應(yīng)增大，而流體靜壓會(huì)致使結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相應(yīng)減小。自由液面對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響主要集中在流體邊界附近區(qū)域，而流體靜壓對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響主要集中在潛深較大區(qū)域。當(dāng)潛深H≥5R時(shí)，忽略自由液面效應(yīng)的有限潛深狀態(tài)下圓柱殼模態(tài)頻率與對(duì)應(yīng)模態(tài)下有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率重合，此時(shí)自由液面的影響可以忽略。

表2 有限潛深狀態(tài)圓柱殼模態(tài)頻率對(duì)比驗(yàn)證

由流體靜壓的定義可知，流體靜壓與潛深成正比。當(dāng)潛深增大時(shí)，自由液面效應(yīng)減弱，而流體靜壓的影響增強(qiáng)。為更深入的了解流體靜壓對(duì)有限潛深狀態(tài)下圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響，本文給出了圓柱殼前五階模態(tài)頻率隨潛深的連續(xù)變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率隨潛深的變化

從圖5可以看出，隨著潛深的增大，圓柱殼各階模態(tài)頻率均減小。因?yàn)榱黧w靜壓會(huì)隨潛深的增大而增大，且流體靜壓力屬于外壓，圓柱殼-流場(chǎng)耦合系統(tǒng)的等效抗彎剛度減小，從而導(dǎo)致各階耦合模態(tài)頻率均減小。當(dāng)潛深很小時(shí)，圓柱殼各階模態(tài)頻率隨著潛深的增大急劇減小，這主要是受流體自由液面的影響。隨著潛深的增大，圓柱殼的模態(tài)頻率階次(按由小到大排列的次序)會(huì)出現(xiàn)變化，如(1,2)模態(tài)頻率與(1,3)號(hào)模態(tài)頻率在H/R≈128時(shí)會(huì)次序變化，這也說(shuō)明在該條件下耦合系統(tǒng)基頻所對(duì)應(yīng)的振型發(fā)生了變化。同時(shí)，(2,3)號(hào)模態(tài)頻率與(2,4)號(hào)模態(tài)頻率在H/R≈368時(shí)會(huì)次序變化。該現(xiàn)象說(shuō)明，流體靜壓對(duì)有限潛深狀態(tài)下圓柱殼各階模態(tài)頻率特性的影響程度不盡相同。當(dāng)潛深H/R達(dá)到480時(shí)，圓柱殼(1,3)號(hào)模態(tài)頻率急劇減小并趨于0，結(jié)構(gòu)即將面臨失穩(wěn)。根據(jù)理論計(jì)算，當(dāng)潛深Hcr=506R時(shí)，耦合系統(tǒng)模態(tài)頻率由實(shí)數(shù)變?yōu)?，即結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，此時(shí)圓柱殼的失穩(wěn)臨界載荷為，pcr1=0.915 MPa。工程中一般采用希曼斯基公式估算受流體靜壓作用的圓柱殼臨界失穩(wěn)載荷(m=1)：

(16)

式中，α=πR/L。將耦合系統(tǒng)參數(shù)以及模態(tài)(1,3)代入式(16)，可以得到臨界失穩(wěn)載荷，pcr2=0.935 MPa。對(duì)比兩種方法得到的圓柱殼受流體靜壓作用的臨界失穩(wěn)載荷，可以知道二者的結(jié)果吻合良好，相對(duì)誤差約為2%，這也從側(cè)面說(shuō)明了本文的理論分析是有效的。

3 結(jié) 論

本文基于波傳播法和鏡像法，分析有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的固有振動(dòng)特性，并考慮了自由液面以及流體靜壓的影響。通過(guò)將理論計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文理論方法的有效性。通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算，得到以下結(jié)論：

(1) 當(dāng)潛深較小時(shí)，流體靜壓對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率特性的影響較小，而自由液面的影響相對(duì)顯著，自由液面的存在致使圓柱殼模態(tài)頻率相應(yīng)增大；

(2) 隨著潛深的增加，流體自由液面的影響逐漸減小，而流體靜壓的影響則逐漸增大，計(jì)及流體靜壓將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相應(yīng)減??；

(3) 流體靜壓對(duì)流場(chǎng)中圓柱殼各階模態(tài)頻率特性的影響程度不盡相同，隨著潛深的增加，圓柱殼模態(tài)頻率階次會(huì)出現(xiàn)變化；

(4) 當(dāng)潛深較大時(shí)，圓柱殼結(jié)構(gòu)面臨失穩(wěn)。

本文將靜壓以均勻分布方式施加于殼體外表面上，這種處理方式在潛深較小時(shí)存在一定的偏差，作者將在今后的工作中對(duì)此展開(kāi)進(jìn)一步研究。

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Natural vibration characteristics analysis for an immersed cylindrical shell with a limited diving depth

WANG Peng1,2, LI Tianyun1,2, ZHU Xiang1,2, MIAO Yuyue1,2, ZHANG Guanjun1,2

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan430074, China；2. Hubei Key Laboratory of Naval architecture & Ocean Engineering Hydrodynamics (HUST), Wuhan 430074)

Based on the wave propagation approach and the image source method, the dynamic model of a cylindrical shell with a limited diving depth coupled with a sound field was established considering both effects of free surface and hydrostatic pressure. The coupled system’s characteristic equation was solved with the numerical method and the modal frequencies of the cylindrical shell with a limited diving depth were obtained. The numerical analysis showed that comparing with modal frequency features of a cylindrical shell in an unlimited field, free surface makes the structure’s modal frequencies increase, while hydrostatic pressure makes them decrease; when the diving depth is smaller, the effects of free surface are more significant; when the diving depth is larger, the effects of hydrostatic pressure are more significant; the effects of hydrostatic pressure on the structure’s various modal frequencies are different to cause the order of modal frequencies to change under the condition of a certain diving depth; when the diving depth is larger, the shell may be unstable.

limited diving depth; free surface; hydrostatic pressure; cylindrical shell; image source method; wave propagation approach

國(guó)家自然科學(xué)基金(51379083；51479079；51579109)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20120142110051)

2015-12-08 修改稿收到日期：2016-06-13

王鵬 男，博士生，1989年11日生

李天勻 男，博士，教授，1969年2日生

U663.2；O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.022