兩級(jí)漸開線齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-擺-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)建模與試驗(yàn)驗(yàn)證

劉 輝， 張 晨， 王 成

(1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛工程學(xué)院，北京 100081；2. 中國(guó)北方車輛研究所，北京 100072)

兩級(jí)漸開線齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-擺-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)建模與試驗(yàn)驗(yàn)證

劉 輝1， 張 晨1， 王 成2

(1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛工程學(xué)院，北京 100081；2. 中國(guó)北方車輛研究所，北京 100072)

以兩級(jí)漸開線齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了幾何偏心、中心距安裝誤差以及齒輪中心支撐彎曲變形引起中心距的變化對(duì)嚙合角和間隙的影響，引入非線性動(dòng)態(tài)嚙合剛度模型，得到了各級(jí)齒輪傳動(dòng)的非線性動(dòng)態(tài)嚙合力。采用拉格朗日方法建立了考慮偏心、間隙、時(shí)變嚙合角以及非線性動(dòng)態(tài)嚙合剛度模型的兩級(jí)齒輪傳統(tǒng)系統(tǒng)橫-擺-扭非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用4階定步長(zhǎng)龍哥庫(kù)塔法求解非線性動(dòng)力方程。針對(duì)一個(gè)兩級(jí)齒輪傳統(tǒng)系統(tǒng)試驗(yàn)裝置進(jìn)行理論計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試，安裝在齒輪圓周對(duì)稱位置的角加速度傳感器，測(cè)試結(jié)果顯示各工況下齒輪角加速度仿真值與實(shí)驗(yàn)值最大誤差為23.51%；固定安裝在箱體上的位移傳感器測(cè)得振動(dòng)位移仿真值與實(shí)驗(yàn)值最大誤差為21.21%；粘貼在軸上的應(yīng)變片測(cè)得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力仿真值與實(shí)驗(yàn)值最大誤差為17.9%。研究結(jié)果表明：仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)基本吻合，且誤差在可接受范圍內(nèi)。分析了可能導(dǎo)致仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的原因，驗(yàn)證了漸開線直齒輪傳動(dòng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型和非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型的正確性。

齒輪；非線性；試驗(yàn)驗(yàn)證；間隙；嚙合角

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是應(yīng)用最為廣泛的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)形式之一，隨著齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)向著高速、重載方向發(fā)展，在內(nèi)、外激勵(lì)共同作用下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的振動(dòng)和噪聲，嚴(yán)重影響其使用性能。建立精確的動(dòng)力學(xué)模型研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能已成為了重要的研究課題[1]。國(guó)內(nèi)、外學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型以及齒輪動(dòng)態(tài)特性做了廣泛和深入的研究。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型經(jīng)歷了由線性到非線性，由定常到時(shí)變的發(fā)展過(guò)程[2]，間隙和時(shí)變剛度也成為了重要的非線性因素。在齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型中，間隙多為定值，時(shí)變剛度采用準(zhǔn)靜態(tài)的方法獲得，兩者作為齒輪非線性動(dòng)力學(xué)方程的輸入條件。Kahraman等[3]考慮定常間隙和周期剛度的時(shí)變性，建立了三自由度齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了時(shí)變剛度與間隙之間的耦合作用。Lassaad等[4]建立了兩級(jí)齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮定常間隙和周期時(shí)變剛度。崔亞輝等[5]考慮定常間隙、時(shí)變周期剛度，建立了齒輪—轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)，并研究了動(dòng)態(tài)響應(yīng)及齒側(cè)間隙對(duì)振幅跳躍特性的影響。近期，Skrickij等[6]對(duì)嚙合剛度的計(jì)算方法進(jìn)行了研究，考慮中心距偏差對(duì)嚙合剛度的影響，在此基礎(chǔ)上研究了齒輪的非線性動(dòng)力學(xué)特性。Kim等[7]考慮了齒面、齒背嚙合相位差造成非對(duì)稱嚙合剛度模型，分析了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的空載敲擊特性。Chen等[8]忽略間隙，考慮中心彎曲變形對(duì)嚙合角的影響并采用矩形波形式的嚙合剛度，建立了齒輪6自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，并研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)此輪動(dòng)態(tài)特性的影響。Chen等[9]考慮了中心距變化對(duì)間隙的影響，研究了動(dòng)態(tài)間隙對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響。Zhang等[10]考慮了幾何偏心的影響，建立了齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了幾何偏心對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響。

齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，齒輪的間隙和時(shí)變剛度與齒輪的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)。為了能夠更加準(zhǔn)確的描述齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的嚙合狀態(tài)，需要建立與齒輪實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)的齒輪非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型。本文基于漸開線齒輪的嚙合原理，首先，考慮幾何偏心、中心距偏差分析了齒輪中心距變化對(duì)嚙合角和間隙的影響，隨后，分析了齒輪的轉(zhuǎn)速波動(dòng)、齒輪中心距變化以及齒面、齒背嚙合相位差對(duì)嚙合點(diǎn)的影響，結(jié)合單、雙齒嚙合邊界條件并采用解析法計(jì)算嚙合剛度，最后，提出了齒輪傳動(dòng)的非線性動(dòng)態(tài)嚙合反饋模型?？紤]幾何偏心、陀螺力矩、嚙合偏載力矩和非線性動(dòng)態(tài)嚙合反饋模型，建立了10自由度單級(jí)齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，并采用數(shù)值法求解非線性動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)比研究了不同模型下齒輪動(dòng)態(tài)特性隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)，最后，研究了中心距偏差對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響。針對(duì)一個(gè)兩級(jí)齒輪傳統(tǒng)系統(tǒng)試驗(yàn)裝置進(jìn)行理論計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試，通過(guò)安裝在箱內(nèi)的傳感器分別采集了各工況下齒輪的角加速度、振動(dòng)位移以及軸的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力值。對(duì)比分析了各仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)，且誤差在可接受范圍內(nèi)。最后分析了可能導(dǎo)致仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的原因。

1 齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)態(tài)嚙合力

兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，絕對(duì)坐標(biāo)系OXY中心位于齒輪1旋轉(zhuǎn)中心位置，Ci、為齒輪i的質(zhì)心位置，ei為齒輪i的幾何偏心。齒輪輪體簡(jiǎn)化為剛體，每個(gè)齒輪存在5個(gè)自由度，包含兩個(gè)平移自由度x，y以及三個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度θx，θy，θz。zi為齒輪i的齒數(shù)，rbi為齒輪i的基圓半徑,mi為齒輪i的質(zhì)量，Ixi，Iyi，Izi為齒輪i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,i=1,2,3,4。

圖1 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)三維動(dòng)力學(xué)模型

齒輪1和齒輪2作用力始終沿著嚙合面方向A1A2-B1B2，齒輪2和齒輪3作用力始終沿著嚙合面方向E1E2-F1F2。各級(jí)齒輪副間通過(guò)沿嚙合面方向上的平面力系相互作用，如圖2所示。由于齒向誤差以及軸或軸承變形引起嚙合偏差，輪此間的相互作用為沿齒寬方向?yàn)榉蔷驾d荷，該平面力系可簡(jiǎn)化為合力Fm和垂直于嚙合面上的偏擺扭矩T，其中，F(xiàn)m采用非線性動(dòng)態(tài)嚙合反饋模型計(jì)算，定義嚙合力的偏置距τ，可得偏擺扭矩T兩級(jí)齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型在Z軸上的二維投影模型如圖3所示，圖中，α12和α34分別為齒輪副的嚙合角，γ12和γ34分別為齒輪副的位置角，φ為齒輪3相對(duì)于坐標(biāo)系OXY的初始位置角。虛線為初始時(shí)刻齒輪的相對(duì)位置，實(shí)線為任意時(shí)刻齒輪的相對(duì)位置。

T=Fmτ

(1)

圖2 外嚙合齒輪副平面力系示意圖

圖3 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Z軸二維投影模型

由圖可知，任意時(shí)刻齒輪1、齒輪2和齒輪3的質(zhì)心位置矢量R1、R2、R3和R4分別為：

R1=(x1+e1cos(φ1))i+(y1+e1sin(φ2))j

(2)

R2=(x2+e2cos(φ2)+l1)i+(y2+e2sin(φ2))j

(3)

R3=(x3+e3cos(φ3)+l1)i+(y3+e3sin(φ3))j

(4)

R4=(x4+e4cos(φ4)+l1+l2cos(φ))i+

(y4+e4sin(φ4)+l2sin(φ))j

(5)

式中：i，j分別為絕對(duì)坐標(biāo)系X，Y坐標(biāo)上的單位矢量；φ1，φ2，φ3和φ4分別為齒輪1、齒輪2、齒輪3和齒輪4的轉(zhuǎn)角。

令

Δx1=x2-x1+e2cos(φ2)-e1cos(φ1)

(6)

Δy1=y2-y1+e2sin(φ2)-e1sin(φ1)

(7)

Δx2=x4-x3+e4cos(φ4)-e3cos(φ3)

(8)

Δy2=y4-y3+e4sin(φ4)-e3sin(φ3)

(9)

可得，任意時(shí)刻各級(jí)齒輪傳動(dòng)的中心距L1，L2

(10)

(11)

式中，l1、l2分別為齒輪傳動(dòng)初始安裝中心距，表示為

(12)

(13)

式中，ea1和ea2分別為各級(jí)齒輪傳動(dòng)的中心距偏差。

由幾何關(guān)系可得各級(jí)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)嚙合角α1和α2

(14)

(15)

各級(jí)齒輪傳動(dòng)任意時(shí)刻位置角γ1和γ2

(16)

(17)

(18)

bi=bti+Δbi

(19)

式中：bti齒厚消減形成的齒側(cè)間隙；Δbi為中心距變化引起的齒側(cè)間隙變化。由幾何關(guān)系可得，中心距變化引起的齒側(cè)間隙變化量

(20)

(21)

f(b,Δ1,Δ2)為嚙合線變化量，f1(b,Δ1,Δ2)為嚙合線變化量的速度函數(shù)，表達(dá)式分別為

(22)

(23)

(24)

(25)

2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程

兩級(jí)齒輪傳動(dòng)的動(dòng)能函數(shù)、勢(shì)能函數(shù)、耗能函數(shù)分別為

(26)

(27)

(28)

式中，z=[q1,q2,q3,q4]T，z=[q1,q2,q3,q4]T，i=1,2,3,4，Ki，Ci分別為齒輪中心支撐剛度和阻尼矩陣，其中阻尼矩陣采用瑞利比例阻尼。

將動(dòng)能、勢(shì)能、耗能函數(shù)代入到拉格朗日函數(shù)

(29)

式中，Qi為非線性嚙合力、力矩和外激勵(lì)組成的廣義力列向量。

由于在不同嚙合線上嚙合力的方向發(fā)生變化，對(duì)各級(jí)齒輪副分別定義角度φ和分段函數(shù)g

(30)

(31)

(32)

(33)

考慮陀螺力矩的影響，可得兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程。

齒輪1的動(dòng)力學(xué)方程為：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

齒輪2的動(dòng)力學(xué)方程為：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

齒輪3的動(dòng)力學(xué)方程為：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

齒輪4的動(dòng)力學(xué)方程為：

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

式中，Kj代表支撐剛度矩陣的第j行，j=1,2,…,20。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)方程與齒輪嚙合動(dòng)態(tài)反饋模型仿真流程，如圖4所示。

3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)數(shù)值仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)所示兩級(jí)齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)裝置分別進(jìn)行數(shù)值仿真和試驗(yàn)測(cè)試，各級(jí)齒輪副參數(shù)如表1和表2所示。

圖4 反饋計(jì)算流程

參數(shù)數(shù)值齒數(shù)z1=93,z2=58模數(shù)/mm3間隙/mm0.3理論壓力角/(°)20中心距偏差/mm0.05幾何偏心/mme1=0.02,e2=0.02

表2 第2級(jí)齒輪副參數(shù)

3.1 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)裝置與測(cè)試方法

兩級(jí)齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)布置示意圖及實(shí)物圖分別如圖5和圖6所示。

利用泵馬達(dá)加載試驗(yàn)裝置，為了測(cè)試旋轉(zhuǎn)部件的應(yīng)力和加速度等信號(hào)實(shí)現(xiàn)從旋轉(zhuǎn)位置到固定位置傳送信號(hào)，必須通過(guò)集流環(huán)或采用近程遙測(cè)裝置，本實(shí)驗(yàn)在軸端安裝了集流環(huán)將旋轉(zhuǎn)測(cè)試信號(hào)引入到數(shù)據(jù)采集前端。

圖5 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)布置示意圖

圖6 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖

(54)

(55)

(56)

加速度均方根值定義為

(57)

圖7 加速度傳感器安裝示意圖

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)位移信號(hào)通過(guò)試驗(yàn)箱的輸入、輸出軸中間截面的水平和豎直方向各安裝的電渦流位移傳感器測(cè)試。電渦流位移傳感器的信號(hào)線通過(guò)箱蓋上預(yù)留的導(dǎo)線孔伸出與控制器相聯(lián)，從控制器出來(lái)的信號(hào)線直接與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)相連。軸的平移位移測(cè)試原理如圖8所示,點(diǎn)O為電渦流位移傳感器的安裝位置，A′為軸靜止時(shí)的圓心位置，A為軸變形后圓心位置，軸的半徑為R，電渦流測(cè)試方向上軸的位移為c′c。設(shè)A′的初始偏移測(cè)量方向的距離為y0，即A′B′=y0，軸相對(duì)于初始位置的位移為(x,y)，即B′B=x,AB=y0+y，電渦流測(cè)試方向上軸的位移C′C為

C′C=x+C′B′-CB=

(58)

橫向振動(dòng)位移峰峰值dp-p定義為

(59)

圖8 軸橫向振動(dòng)位移測(cè)量原理

在試驗(yàn)箱中間軸的中間部位，按照全橋測(cè)量法在軸兩端對(duì)稱位置貼有四個(gè)電阻式應(yīng)變片，用來(lái)測(cè)試軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)變。應(yīng)變片的信號(hào)線經(jīng)集流環(huán)、應(yīng)變橋盒與動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀連接，再由應(yīng)變儀輸出端與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)連接。由應(yīng)變儀的讀數(shù)εd可得軸段扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τ

(60)

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力峰峰值τp-p定義為

τp-p=max(τ(t))-min(τ(t))

(61)

為了驗(yàn)證兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，分別針對(duì)空載條件和受載條件的穩(wěn)態(tài)工況，測(cè)試兩級(jí)定軸齒輪試驗(yàn)裝置的振動(dòng)特性。測(cè)試工況為：泵馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)矩分別為0 Nm和320 Nm,分別在400 r/min,600 r/min,1 000 r/min,1 200 r/min,1 400 r/min轉(zhuǎn)速下進(jìn)行測(cè)試。由于泵馬達(dá)后增速箱的作用，受載條件下兩級(jí)齒輪傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)際輸入扭矩為150 Nm，輸入轉(zhuǎn)速依次為850 r/min,1 275 r/min，2 125 r/min，2 550 r/min和2 975 r/min。

3.2 加速度對(duì)比分析

采用4階定步長(zhǎng)龍格庫(kù)塔法求解非線性動(dòng)力學(xué)方程。數(shù)值求解時(shí)，兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速與各工況下試驗(yàn)裝置實(shí)際輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速相同。齒輪1和齒輪4的扭轉(zhuǎn)角加速度，計(jì)算它的均方根值，將其與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。各工況下，齒輪1和齒輪4的扭轉(zhuǎn)角加速度均方根值的試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果及兩者之間的誤差分別如表3和表4所示。由表可知，隨著轉(zhuǎn)速的增加，齒輪1和齒輪4的扭轉(zhuǎn)角加速度均方根值逐漸增加，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致。且各工況下仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的最大相對(duì)誤差為23.51%。

表3 齒輪1角加速度均方根值

表4 齒輪4角加速度均方根值

兩級(jí)定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速為850 r/min時(shí)，齒輪1扭轉(zhuǎn)角加速度的試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的頻譜如圖9。由圖可知，仿真結(jié)果的扭轉(zhuǎn)角加速度在低頻區(qū)[0，500 Hz]內(nèi)以三個(gè)軸的轉(zhuǎn)頻為主，其他頻率成份的幅值很小。相比而言，試驗(yàn)結(jié)果在低頻區(qū)不僅包含各軸的轉(zhuǎn)頻，還包含一些無(wú)法分析出產(chǎn)生原因的頻率成份。同時(shí)仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果在各轉(zhuǎn)頻對(duì)應(yīng)的幅值上大小略有不同。高頻區(qū)[500 Hz，10 000 Hz]內(nèi)，齒輪1的扭轉(zhuǎn)角加速度的仿真結(jié)果以嚙頻及其倍頻為主，同時(shí)出現(xiàn)了第二級(jí)齒輪傳動(dòng)的嚙合頻率。相比而言，試驗(yàn)結(jié)果在高頻區(qū)內(nèi)不僅存在嚙頻及其倍頻，還出現(xiàn)了第二級(jí)齒輪傳動(dòng)的嚙頻及其2倍頻，同時(shí)在嚙合頻及其倍頻附近出現(xiàn)了一些組合頻率。其中，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果在各嚙頻及其倍頻對(duì)應(yīng)的幅值上大小略有不同。輸入轉(zhuǎn)速為850 r/min時(shí)，齒輪4的試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的扭轉(zhuǎn)角加速度頻譜對(duì)比如圖 10所示。由圖可知，齒輪4的扭轉(zhuǎn)角加速度試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果均以各軸轉(zhuǎn)頻、嚙頻及其倍頻為主。同樣，試驗(yàn)結(jié)果所包含的頻率成份更為豐富。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果在各轉(zhuǎn)頻、嚙頻及其倍頻對(duì)應(yīng)的幅值上大小略有不同。

(a)

(b)

(a)

(b)

3.3 振動(dòng)位移對(duì)比分析

由于位移測(cè)點(diǎn)均在傳動(dòng)軸中間位置，結(jié)合材料力學(xué)法分別計(jì)算出齒輪1和齒輪4所在位置的振動(dòng)位移并計(jì)算峰峰值，將其與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。不同工況下，齒輪1和齒輪4的橫向振動(dòng)位移峰峰值的試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果及兩者之間的誤差分別如表5和表6所示，試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果對(duì)比圖如圖 11所示。可以看出，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致。且各工況下仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的最大相對(duì)誤差為21.21%。

表5 齒輪1橫向振動(dòng)位移峰峰值

表6 齒輪4橫向振動(dòng)位移峰峰值

(a) 齒輪1

(b) 齒輪4

3.4 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力對(duì)比分析

計(jì)算扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并計(jì)算它的峰峰值作為試驗(yàn)結(jié)果。將仿真所得的齒輪2和齒輪3的扭轉(zhuǎn)角度作為邊界條件施加到它們之間軸段上得到扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，并計(jì)算扭轉(zhuǎn)應(yīng)力峰峰值。不同工況下，齒輪2與齒輪3之間軸段扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力峰峰值的試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果及兩者之間的誤差如表7所示，試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果的對(duì)比圖如圖12所示。可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，齒輪2與齒輪3之間軸段的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力近似呈線性增加，仿真結(jié)果與測(cè)試結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致。且各工況下仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的最大相對(duì)誤差為17.9%。

表7 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力峰峰值

圖12 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力峰峰值對(duì)比結(jié)果

3.5 誤差分析

對(duì)于加速度，造成仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的主要原因有以下幾個(gè)方面：

1) 模型中的質(zhì)量、慣量、剛度、阻尼、偏心和偏載力矩等參數(shù)是真實(shí)系統(tǒng)的一種等效，這種等效在很大程度上取決于建模經(jīng)驗(yàn)，尤其是系統(tǒng)的彎曲阻尼、扭轉(zhuǎn)阻尼和嚙合阻尼等阻尼參數(shù)一般很難確定，與系統(tǒng)真實(shí)參數(shù)存在一定差距；

2) 由于齒輪實(shí)際加工和安裝誤差，齒面摩擦和磨損，輪齒間的油膜潤(rùn)滑等的作用，導(dǎo)致嚙合剛度和齒形誤差等與嚙合頻相關(guān)的參數(shù)激勵(lì)不斷變化，造成仿真結(jié)果在高頻振動(dòng)成份及其對(duì)應(yīng)幅值上與試驗(yàn)結(jié)果之間存在誤差；

3) 模型中僅對(duì)兩級(jí)定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，忽略了前、后傳動(dòng)箱和被試件箱體等部件的影響，而試驗(yàn)過(guò)程中上述部件的振動(dòng)必然會(huì)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生影響，從而產(chǎn)生一些無(wú)法分析出原因的低頻成份；

4) 數(shù)值仿真中的輸入扭矩和轉(zhuǎn)速均取為定值，而試驗(yàn)過(guò)程中泵馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速無(wú)法始終保持恒定，同時(shí)輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速要經(jīng)過(guò)聯(lián)軸器和前傳動(dòng)箱等部件，上述因素對(duì)兩級(jí)定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際輸入存在一定影響；

5) 加速度傳感器的安裝位置和方向與理論安裝位置和方向存在一定的偏差，同時(shí)實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)中存在白噪聲以及多個(gè)軸承旋轉(zhuǎn)形成的干擾噪聲，上述因素均會(huì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

對(duì)于振動(dòng)位移，造成仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的主要原因除了與加速度誤差分析中的前四項(xiàng)相同外，還包括以下幾個(gè)方面：電渦流傳感器并非嚴(yán)格對(duì)準(zhǔn)軸心位置；在將傳動(dòng)軸中間處位移向各齒輪處位移等效時(shí)，并未考慮軸承變形和箱體變形等因素的影響；在測(cè)量過(guò)程中安裝在箱體上的電渦流傳感器會(huì)隨著箱體的振動(dòng)而振動(dòng)。

對(duì)于扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，造成仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的主要原因除了與加速度誤差分析中的前四項(xiàng)相同外，還包括以下幾個(gè)方面：實(shí)際系統(tǒng)的傳動(dòng)軸上存在油孔和傳感器線導(dǎo)出空等，從而導(dǎo)致局部應(yīng)力集中，而仿真中將軸簡(jiǎn)化為規(guī)則的圓軸，造成各工況下試驗(yàn)結(jié)果始終大于仿真結(jié)果；由于數(shù)據(jù)采集前端的采樣頻率高于動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀的采樣頻率，造成大量系統(tǒng)噪聲混入有效數(shù)據(jù)；應(yīng)變片的粘貼工藝、連接導(dǎo)線的阻抗和應(yīng)變儀自身測(cè)量誤差都會(huì)對(duì)測(cè)試信號(hào)形成干擾。

4 結(jié) 論

(1) 本文考慮了齒輪副的彎曲位移引起的嚙合角的時(shí)變性，基于漸開線齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn)分析了瞬時(shí)嚙合點(diǎn)壓力角與齒輪轉(zhuǎn)速的關(guān)系，并采用壓力角確定單雙齒嚙合邊界條件，結(jié)合為weber材料力學(xué)法建立了是齒輪嚙合時(shí)變剛度反饋模型，并編寫了計(jì)算程序，該程序可實(shí)現(xiàn)與動(dòng)力學(xué)方程的實(shí)時(shí)反饋，精確的描述了齒輪傳動(dòng)過(guò)程中接觸狀態(tài)。

(2) 研究了試驗(yàn)裝置的加速度信號(hào)、位移信號(hào)和應(yīng)變信號(hào)的測(cè)試方法、測(cè)試原理和數(shù)據(jù)處理方法。對(duì)比分析了多個(gè)穩(wěn)態(tài)工況下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的角加速度、振動(dòng)位移和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力數(shù)值仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果，并分析了可能導(dǎo)致仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的原因。結(jié)果表明，各工況下角加速度、振動(dòng)位移和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果最大誤差分別為23.51%、21.21%和17.9%。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)基本吻合，且誤差在可接受范圍內(nèi)。驗(yàn)證了本文提出的漸開線直齒輪傳動(dòng)橫-扭-擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型和非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型的正確性。

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Nonlinear dynamic modeling and test validation for a two-stage involute gear system

LIU Hui1, ZHANG Chen1, WANG Cheng2

(1. School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2. Chinese North Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China)

Here, a two-stage involute gear system was taken as a study object, the effects of variation of distances between centers due to geometric eccentricity, installation errors of distances between centers and bending displacement of gear center bearings on pressure angle and backlash were analyzed, a nonlinear dynamic meshing stiffness model was introduced, nonlinear dynamic meshing forces of each gear pair were obtained. Adopting Lagrange method, the nonlinear lateral-shimmy-torsional coupled dynamic model of the two-stage involute gear system was established considering the effects of eccentricity, backlash, time-varying pressure angle and the nonlinear dynamic meshing stiffness model. The nonlinear dynamic equations were solved with the 4th order fixed step Runge-Kutta algorithm. The theoretical calculation and tests were performed for a test device of a two-stage gear system. The test results showed that the maximum error between simulated values of angular acceleration under various conditions and tested ones obtained with angular acceleration sensors installed at symmetric positions around gear circumference is 23.51%; the maximum error between simulated values of vibration displacements and tested ones obtained with displacement sensors installed at positions of the gear box is 21.21%; the maximum error between simulated values of torsional shear stresses and tested ones obtained with strain gauges pasted on the gear shaft is 17.9%. The study results indicated that the varying trend of simulated results agrees well with that of test ones, and errors are within an acceptable range, the reasons causing errors between simulated results and tested ones are analyzed; the correctness of the proposed dynamic model and the meshing stiffness model of the gear system is verified.

two-stage involute gear system; nonlinear; backlash; test validation; pressure angle

國(guó)家自然科學(xué)基金(51375047)；教育部新世紀(jì)人才支持計(jì)劃資助(NCET-12-0043)

2016-02-29 修改稿收到日期：2016-06-03

劉輝 女，博士，教授，1975年生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.019