熱沖擊下帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的分析

彭亦鵬， 陳愛軍

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

熱沖擊下帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的分析

彭亦鵬， 陳愛軍

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

針對功能梯度材料熱沖擊下的斷裂問題，對功能梯度材料的材料參數(shù)分類進(jìn)行加權(quán)處理，建立帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的模型；給出熱量平衡方程與邊界條件，建立相關(guān)問題的有限元分析格式；改進(jìn)Calahan算法以適用于帶狀稀疏矩陣的一階非齊次常微分方程組，完善溫度場的求解過程，計(jì)算了裂紋尖端的溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子，并且分析功能梯度材料組分構(gòu)成對溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。以上研究為帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的可靠性分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。

功能梯度材料；厚壁圓筒；熱沖擊；溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子；有限元分析；裂紋

功能梯度材料最早是作為熱格柵提出的，故而此類結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境中的響應(yīng)分析一直是研究的重點(diǎn)。過去數(shù)年內(nèi)，各國學(xué)者開展了大量的研究工作，Hui等[1]用無網(wǎng)格法對功能梯度材料進(jìn)行了熱力學(xué)分析；陳健橋等[2]將無網(wǎng)格Petrov-Galerkin方法應(yīng)用于功能梯度材料的三維熱傳導(dǎo)問題；Shen等[3]分析了功能梯度材料板在熱環(huán)境中和橫向壓力作用下的非線性彎曲；Sutradhar等[4]用邊界元法分析了功能梯度材料的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題；Sladek等[5]利用無網(wǎng)格局部邊界元法，分析了功能梯度材料的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題； Chen等[6]用精細(xì)積分法對功能梯度材料的熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行了靈敏度分析。Liu等[7]基于二維各向異性熱彈性理論，給出了均勻熱流下帶裂紋功能梯度材料的應(yīng)力強(qiáng)度因子的解決辦法。Lee等[8]采用有限單元法分析了梯度板在熱彈性加載下的非線性響應(yīng)問題。田建輝等[9]采用混合數(shù)值法分析了功能梯度材料板中瞬態(tài)熱響應(yīng)問題。曹蕾蕾等[10]針對功能梯度材料物性參數(shù)隨坐標(biāo)變化的特點(diǎn)，基于Trefftz完備解提出了求解功能梯度材料熱傳導(dǎo)問題的有限梯度元方法。針對功能梯度材料的二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，藍(lán)林華等[11]提出了一種有效的降維精細(xì)積分法。李世榮等[12]基于Timoshenko梁理論研究了功能梯度材料梁在一維熱沖擊載荷作用下的瞬態(tài)動力響應(yīng)。高效偉等[13]采用徑向積分邊界元法分析了功能梯度材料動態(tài)斷裂力學(xué)問題。唐雪松[14]研究了含中心裂紋的正交各向異性板，在遠(yuǎn)場均勻熱流作用下溫度場的分布。Wang等[15]通過FE/FD方法計(jì)算了功能梯度材料的瞬態(tài)溫度場和相關(guān)的熱應(yīng)力。趙軍等[16]采用攝動法推導(dǎo)出無限大對稱型梯度功能材料平板的一維非定常溫度場及非定常熱應(yīng)力場的解析解，并計(jì)算了瞬態(tài)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子。Zhang等[17]通過DQM對功能梯度殼在瞬態(tài)溫度場中的熱應(yīng)力進(jìn)行分析。同樣采用DQM數(shù)值解法，蒲育等[18]得到了功能梯度梁自由振動的二維彈性解。杜長城等[19]研究了熱環(huán)境中功能梯度圓柱殼的內(nèi)共振非線性模態(tài)。

基于現(xiàn)有的文獻(xiàn)的不足，本文首先希望能將關(guān)于功能梯度材料研究由解析解引入到試件的數(shù)值分析當(dāng)中，建立一種相對自由的功能梯度厚壁圓筒力學(xué)性能參數(shù)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上的編寫相應(yīng)模塊的程序。與此同時，參考了呂和祥等[20]對一階齊次常微分方程組的解法，改進(jìn)了Calahan算法，提供了一種行之有效的算法來計(jì)算有限元離散后的熱沖擊下功能梯度厚壁圓筒微分方程。

本文的研究首先建立功能梯度厚壁圓筒的微分方程；然后推導(dǎo)了改進(jìn)的Calahan算法以求解一階非齊次常微分方程；之后進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過計(jì)算熱沖擊下帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子，驗(yàn)證了算法的有效性與適用性；提出熱沖擊下帶裂紋功能梯度厚壁圓筒相關(guān)問題的結(jié)論。

1 熱沖擊下功能梯度厚壁圓筒的微分方程

1.1 均勻材料瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題的微分方程

首先，瞬態(tài)溫度場的溫度變量φ在直角坐標(biāo)系中應(yīng)滿足微分方程

(1)

即熱量平衡方程，式中的第一項(xiàng)是微體升溫需要的熱量；第2,3,4項(xiàng)是由x,y和z方向傳入微體的熱量；最后一項(xiàng)是微體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量。微分方程表明，微體升溫所需的熱量應(yīng)與傳入微體的熱量以及微體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量相平衡。

邊界條件如下：

(2)

q(在Γ2邊界上)

(3)

h(φa-φ)(在Γ3邊界上)

(4)

1.2 功能梯度厚壁圓筒的材料特性

對于如圖1功能梯度厚壁圓筒模型的功能梯度厚壁圓筒，長度為L，中心半徑為r，厚度為2h，建立坐標(biāo)系(x,θ,z)，其中，坐標(biāo)原點(diǎn)于圓心，θ軸在圓周方向，z軸在圓筒中心方向?？紤]圓筒的內(nèi)表面承受熱沖擊載荷，外表面與環(huán)境做熱對流的邊界條件。

圖1 功能梯度厚壁圓筒模型

復(fù)合材料的材料特性是用混合物的線性規(guī)則來描述的。引入?yún)?shù)c(x)∈[0,1]。基于圖1給出的模型，可令

(5)

式中：x是半徑，c0、k和n是材料參數(shù)。在式(5)的描述下，通過選取適當(dāng)?shù)膎和k，可以實(shí)現(xiàn)功能梯度材料特性范圍較大的非線性連續(xù)變化。

對于材料的溫度特性，即熱傳導(dǎo)系數(shù)kx、kθ，比熱容Cx、Cθ，密度ρx、ρθ，用P來表示。以兩種材料為例，P可以表示為

P=Pic(r)+Pj[1-c(r)]

(6)

式中，Pi、Pj表示這兩種材料的溫度特性。

在小變形假設(shè)下，應(yīng)變與位移的關(guān)系是

(7)

式中：u是徑向位移；εx,εθ是應(yīng)變。

依據(jù)混合物的線性規(guī)則以及兩種線彈性材料的均勻假設(shè)，功能梯度厚壁圓筒的應(yīng)力由下式給出

(8)

其中，

(9)

下標(biāo)0,1表示兩種不同的材料，λi、μi是拉梅系數(shù)。式(8)表示混合物的線性規(guī)則應(yīng)用于拉梅系數(shù)得出的結(jié)果。

由Xin[21]可以得出，如此描述功能梯度材料的等效性能，對試件模型的計(jì)算精度有很大提升，也更加符合實(shí)際情況。

1.3 邊界條件的形成

在如圖1所示模型中，假設(shè)厚壁圓筒的外部與外界熱傳導(dǎo)，內(nèi)部受到熱沖擊荷載。

溫度的初始條件和外部、內(nèi)部邊界條件是

(10)

(11)

式中：ΔT是熱載荷振幅;a是載荷變化的常數(shù);hr是厚壁圓筒與外界的換熱系數(shù)。

1.4 有限元格式的建立

由于功能梯度材料斷裂問題十分復(fù)雜，從理論上給出問題的解析解耗時耗力，不具有通用的意義。而實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，功能梯度材料制備的多樣性，使材料模型與荷載的形成各式各樣，增加了理論分析的難度。通過運(yùn)用有限單元法編寫程序，求解功能梯度材料的斷裂問題，能夠在工程中得到廣泛的應(yīng)用。厚壁圓筒模型可以簡化為平面問題，在程序的編寫過程當(dāng)中應(yīng)用四邊形八節(jié)點(diǎn)等參單元。

對于形如式(1)的微分方程，建立等效積分形式

(12)

w=w2=w3=δφ

(13)

將式(13)代入式(12)，并對其中第1個域Ω內(nèi)積分的第2-4項(xiàng)進(jìn)行分布積分，則可得到

(14)

利用式(12)可以建立瞬態(tài)溫度場有限元的一般格式，首先將空間域Ω離散為有限個單元體，在典型單元內(nèi)溫度φ仍可以近似地用節(jié)點(diǎn)溫度φi插值得到，但要注意此時的結(jié)點(diǎn)溫度是時間的函數(shù)，即

(15)

插值函數(shù)Ni只是空間域的函數(shù)，應(yīng)具有插值函數(shù)的基本性質(zhì)，將式(15)代入式(14)，并考慮到dφi的任意性，就可以得到用來確定n個結(jié)點(diǎn)溫度φi的有限元求解方程

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

至此，已將時間域和空間域的偏微分問題在空間域內(nèi)離散為N個結(jié)點(diǎn)溫度φi(t)的常微分方程的初值問題，對于給定溫度值的邊界Γ1上n1個結(jié)點(diǎn)，方程組始終的相應(yīng)項(xiàng)應(yīng)引入的條件是

(24)

式中，i是Γ1上ni個結(jié)點(diǎn)的編號。

2 一階非齊次常微分方程組具有三階精度的無條件穩(wěn)定的隱式算法

將式(6)所確定的材料系數(shù)代入式(16)中，可以得到以時間為變量的一階非齊次常微分方程組

(25)

本節(jié)中提出一個新算法，使Calahan算法適用于矩陣K為稀疏帶狀矩陣，也就是對一般的非齊次常微分方程組提出一個具有三階精度，無條件穩(wěn)定自起步的算法，并且能夠不破壞原稀疏矩陣的存儲方式及其運(yùn)算規(guī)則。

當(dāng)C是非奇異矩陣時，可分解為

C=LU

(26)

其中L是下三角陣，U是上三角陣。當(dāng)C是對稱矩陣時U=LT。將式(26)代入式(25)，并前乘L-1，同時令

ψ=Uφ

(27)

則方程(25)化為標(biāo)準(zhǔn)形式

(28)

其中

(29)

2.1 自起步、三階精度的逐步積分法

令ψ1=ψ(tk+f),ψ0=ψ(tk)，由(28)有

(30)

其中，

(31)

將式(31)代入(29)，有

(32)

由式(32)解出ψ1，有

(33)

調(diào)整T使得式(33)左端的系數(shù)為平方的形式，因此令

(34)

由式(34)，可以求得

(35)

由式(35)，式(34)變?yōu)?/p>

(36)

通過移項(xiàng)與化簡，得到在原來帶狀陣上運(yùn)算的遞推公式

φ1=(C+fUK)-1C(C+fUK)-1×

(37)

式(37)所有的運(yùn)算都可以在稀疏矩陣存儲的方式上運(yùn)行，其中所有的逆矩陣只是一個形式上的寫法，因?yàn)樗蟮牟⒉皇悄婢仃嚤旧?，而是它與列向量的乘積，即可以用稀疏矩陣和列向量想成運(yùn)算規(guī)則，用解線性方程組的方法得到。

2.2 穩(wěn)定性分析

把方程(37)用于單自由度方程

則有

x1=Hx0

(38)

其中

(39)

顯然只有

(40)

由式(39)計(jì)算得

3 熱沖擊下帶裂紋功能梯度厚壁圓筒的數(shù)值分析

3.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子

應(yīng)力強(qiáng)度因子作為斷裂力學(xué)的重要參量，其量綱是[力]×[長度]-3/2,是表征裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度的物理量，一般以符號K表示。由于非均質(zhì)線彈性體裂紋尖端漸進(jìn)場與均質(zhì)線彈性體裂紋尖端漸進(jìn)場相同，因此由裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋張開位移之間的關(guān)系可以得出應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式，為

(41)

(42)

式(41)中，KI，KII和KIII分別稱為Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，μtip為裂紋尖端剪切模量，r為裂紋面上考慮的點(diǎn)到裂紋尖端的距離，Δui(r),i=1,2,3為局部坐標(biāo)系下裂紋張開位移，其表達(dá)式為

(43)

3.2 程序的設(shè)計(jì)

對于程序的設(shè)計(jì)，旨在通過有限元的工具，對模型進(jìn)行計(jì)算，從而得出較為精確的結(jié)果。

首先是通過商業(yè)軟件Ansys進(jìn)行建模，劃分網(wǎng)格。導(dǎo)出單元信息Elements.txt和單元信息Nodes.txt。模型不考慮機(jī)械荷載。Materials計(jì)算功能梯度材料中的材料參數(shù)，并編入與單元等容的數(shù)組中。Boundary TemperatureConditions用以輸入溫度邊界條件，并離散為列陣。Ske和Stiff函數(shù)用以計(jì)算單元熱傳導(dǎo)矩陣與總體熱傳導(dǎo)矩陣。在單元剛度矩陣的計(jì)算中，通過InverseMatrix來計(jì)算Jacobi矩陣的逆陣。CaMatrix用以計(jì)算熱容矩陣。在形成熱容矩陣C，熱傳導(dǎo)矩陣K和溫度載荷列陣P之后，用如Caption2的方法計(jì)算結(jié)點(diǎn)溫度列陣φ。隨后，設(shè)計(jì)Strain函數(shù)來計(jì)算結(jié)點(diǎn)應(yīng)變，StressFactorsIntense函數(shù)以計(jì)算溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子，輸出為Result.txt。并用線性擬合方法進(jìn)行后處理，并在Matlab得到圖形形式的結(jié)果。程序設(shè)計(jì)框圖,見圖2。

3.3 溫度場的計(jì)算

在下文中，考慮由SiC和Ni構(gòu)成的功能梯度厚壁圓筒。成分的材料參數(shù)在表1中給出，泊松比為0.2。

在這一節(jié)中，功能梯度厚壁圓筒內(nèi)部邊界為全陶瓷，外部邊界為全金屬，組分比N1/N2=k，功能梯度厚壁圓筒的長度L=10 m，R=6 m，r=2 m。熱沖擊載荷為T0=300 K，ΔT=100 K以及a=10，熱交換系數(shù)是hr=100。

使用ANSYS劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格與裂紋尖端顯示于圖3。圖4中是功能梯度厚壁圓筒的內(nèi)壁，外壁與中心的溫度場。

表1 材料參數(shù)

圖2 程序框圖

圖3 模型網(wǎng)格

圖4 功能梯度厚壁圓筒內(nèi)壁、外壁與中心溫度

顯然，內(nèi)壁溫度隨著熱載荷而迅速增加。系統(tǒng)溫度隨響應(yīng)時間而趨于穩(wěn)態(tài)，這與李世榮等[12]的研究保持一致。

3.5 應(yīng)力與應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

由上節(jié)求得的溫度場求得應(yīng)變，依照彈性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)一步可以得到功能梯度厚壁圓筒的應(yīng)力。

為了驗(yàn)證上一部分中改進(jìn)的Calahan算法(Improved Calahan Method,ICM)的可靠性，先做一組對比分析。分析各向同性的均勻材料Cu作為厚壁圓筒材料，模型尺寸、溫度荷載與上一節(jié)相同。

從圖5和圖6中可以看出，對于以Cu為材料的厚壁圓筒，ICM求得的結(jié)果與有限元分析軟件Ansys得出的結(jié)果相近。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，誤差在0.03%以內(nèi)。改進(jìn)的Calahan算法也將應(yīng)用到接下來的計(jì)算中。

圖5 Cu為材料的厚壁圓筒瞬態(tài)熱應(yīng)力σxx

圖6 Cu為材料的厚壁圓筒瞬態(tài)熱應(yīng)力σθθ

圖7和圖8展示了上節(jié)所示的功能梯度厚壁圓筒的徑向和切向應(yīng)力。可以看出，隨著厚壁圓筒的溫度場趨于穩(wěn)態(tài)，不同位置的應(yīng)力也趨于定值。

圖7 不同表面的瞬態(tài)熱應(yīng)力σxx

圖8 不同表面的瞬態(tài)熱應(yīng)力σθθ

圖9展示了在熱載荷變化時候的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖9 T=0.25ΔT,0.5ΔT,ΔT時應(yīng)力強(qiáng)度因子

在T=0.5ΔT時，變化式(5)中n的值，通過運(yùn)算得到了不同組分下，溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時間變化的結(jié)果展示于圖10。

圖10 不同組分下的溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子

4 結(jié) 論

本文基于線彈性理論，對內(nèi)壁受熱沖擊載荷的厚壁圓筒進(jìn)行了分析。首先，基于微分方程等效積分形式的伽遼金提法在空間域進(jìn)行有限元離散，得到一階常微分方程組，并引入改進(jìn)的Calahan算法進(jìn)行溫度場的求解。研究的主要結(jié)論是：

(1) 熱應(yīng)力隨著熱沖擊激增，峰值熱應(yīng)力發(fā)生在功能梯度厚壁圓筒的內(nèi)、外表面。與溫度場不同的是，應(yīng)力在不同表面收斂到不同的定值。

(2) 當(dāng)功能梯度厚壁圓筒受到熱沖擊時，功能梯度材料組分連續(xù)變化的特性使其在很短的時間內(nèi)緩和溫度場的峰值。然而，當(dāng)溫度趨于穩(wěn)定時，由于功能梯度材料不均勻的特性，殘余環(huán)向應(yīng)力仍較大。因此殘余環(huán)向應(yīng)力不能忽略。

(3) 隨著熱沖擊溫度的變化，即ΔT/T逐漸增大，溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子依次變大，并逐漸趨于穩(wěn)定，在達(dá)到穩(wěn)定時比較接近。

(4) 組分變化對溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子也有影響，隨著組分變化，溫度應(yīng)力強(qiáng)度因子也隨之變化。

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Numerical simulation for a functionally graded thick-walled cylinder with cracks under thermal shock

PENG Yipeng, CHEN Aijun

(School of Sciences, Nanjing University of Science & Technology, Nanjing 210094, China)

Aiming at the fracture problem of functionally graded materials under thermal shock, physical parameters of functionally graded materials were classified and weighted to establish a model of a functionally graded thick-walled cylinder with cracks. Its heat balance equations and boundary conditions were deduced to build the relevant problem’s finite element analysis procedure. Calahan algorithm was improved to solve the first order inhomogeneous ordinary differential equations of the corresponding banded sparse matrix and obtain the cylinder’s temperature field and stress field. Then the thermal stress intensity factor of the crack tip was calculated, the effects of functionally graded material’s components on the thermal stress intensity factor were analyzed. The results provided a reference for reliability analysis and structural optimal design of a functionally graded thick-walled cylinder with cracks under thermal shock.

functionally graded materials; thick-walled cylinder; thermal shock; thermal stress intensity factor; finite element analysis; crack

江蘇省自然科學(xué)基金(BK20150766)

2016-02-19 修改稿收到日期：2016-06-11

彭亦鵬 男，碩士生，1991年3月生

陳愛軍 男，博士，副教授，1972年12月生

O316

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.010