高層建筑風振分析中的模態(tài)組合問題

湯昱薇， 謝霽明

(浙江大學 建筑工程學院，杭州 310058)

高層建筑風振分析中的模態(tài)組合問題

湯昱薇， 謝霽明

(浙江大學 建筑工程學院，杭州 310058)

大多數(shù)超高層建筑具有兩個側移振動固有頻率非常接近的特點，使得風振響應分析中不能忽略其模態(tài)相關性。但目前普遍采用的SRSS(Square Root Squares)與CQC(Complete Quadratic Combination)模態(tài)組合方法存在理論上的不足，在實際工程應用中不能正確把握風致結構響應特點，對結構的抗風優(yōu)化設計帶來一定的困惑甚至誤導。理論分析與數(shù)值計算證實了這兩種方法的缺陷。SRSS方法完全忽略了模態(tài)相關性。CQC方法雖然在一定程度上考慮了模態(tài)相關性，但未能反映模態(tài)相關性中的相位關系，導致過于保守的計算結果。根據(jù)隨機振動的基本理論，可建立基于風荷載互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合新方法(稱為“CS模態(tài)組合法”)。這一方法能夠完整考慮相鄰模態(tài)之間的幅值相關性與相位相關性，原理清晰，計算簡單，具有實際可操作性。與時域模擬結果的比較驗證了這一新方法的可靠性與精確性。

高層建筑抗風設計；結構風效應；模態(tài)相關性；模態(tài)組合法；CQC法；基于互譜密度函數(shù)的CS(Cross Spectrum)法

大多數(shù)超高層建筑采用幾乎正交對稱的抗側結構系統(tǒng)，如圖1所示。這類結構的動力特性具有一個共同特點：兩個水平正交方向的振動頻率非常接近，使得在結構風振響應計算中必須考慮振動模態(tài)之間的相關性。在不少工程實例中兩個水平正交模態(tài)的頻率比幾乎為1。

圖1 具有對稱結構體系的高層建筑示例

以圖2為例。模態(tài)1的振型位移方向與X軸成θ角，模態(tài)2的振型位移方向與Y軸也成θ角。這樣在計算沿結構坐標軸X方向的風振響應(例如加速度)時就必須考慮這兩個模態(tài)各自的貢獻以及這兩個模態(tài)之間的相關性。當兩個模態(tài)的固有頻率相差很大時，模態(tài)相關性可忽略不計，于是可以采用對平方和取平方根的方法(簡稱SRSS方法)計算隨機響應的統(tǒng)計值。但當這兩個模態(tài)的固有頻率相差不大以至模態(tài)相關性不可忽略時，SRSS方法會低估實際的動力響應。類似問題在求解沿X方向與Y方向的風荷載組合(即考慮X-Y兩個方向同時作用的最大荷載)時也會遇到。

圖2 對稱結構的典型模態(tài)

計算沿結構坐標軸X方向的風振響應(例如加速度)時必須考慮這兩個模態(tài)各自的貢獻以及這兩個模態(tài)之間的相關性。在實際的工程實踐中，這一模態(tài)相關性問題曾造成很大的困惑。設計人員在進行結構的抗風抗震設計時，通常采用一些商業(yè)軟件(例如ETABS)計算結構的動力特性，包括固有頻率與模態(tài)振型。但將這些計算軟件應用于上述對稱的結構體系時，實際得到的振型主軸方向卻帶有一定的不確定性。這是因為當兩個側移模態(tài)的固有頻率完全一致時，振型主軸方向實際上可沿任意水平方向(類似圓桿懸臂梁)。但按目前通常采用的風振響應模態(tài)分析法，則是首先計算各模態(tài)的風振響應，然后進行模態(tài)組合。當振型主軸方向與結構坐標方向不一致時，各振型中就出現(xiàn)X與Y方向的耦合。這樣在計算沿結構坐標的風振響應(包括動力風荷載與風振加速度)時就涉及到各模態(tài)響應中X分量或Y分量的組合。事實表明，采用傳統(tǒng)的SRSS組合方法或CQC(完全二次振型組合)方法得到的結果將受到各參與模態(tài)中X與Y分量的耦合程度影響，這顯然有悖于前述的對振型主軸方向任意性的理解。在實際工程中，初步設計的結構體系與設計深化后的結構體系可能只有微小的調(diào)整，反映在結構固有頻率上也只有微小的變化，但由計算軟件得到的X-Y模態(tài)耦合程度卻可能有明顯改變。從而按一般的風振響應計算方法得到的設計風荷載與風振加速度也會有明顯改變，給設計人員帶來極大的困惑。

本文作者在實際工程實踐中較早注意到了這一問題。并意識到造成這一問題的根源在于缺乏對模態(tài)相關性的正確估計。為了考察模態(tài)相關性的影響，Xie等[1]對這類對稱結構體系采用SRSS與CQC兩種方法進行了比較計算，發(fā)現(xiàn)兩種方法所得結果不但差異很大，而且所得結果都是振型耦合程度的函數(shù)。這在理論上是不合理的。根據(jù)對實際物理現(xiàn)象的研究，Xie等建議采用風向坐標對這類結構進行風振分析。按風向坐標分解得到的順風向荷載與橫風向荷載之間的相關性很小，從而可以弱化對模態(tài)相關性估計的要求。但之后的工程實踐證明這一改進方法在實際應用中是有困難的。在城市中心復雜的場地情況下，高層建筑受鄰近建筑物的氣動干擾，風向坐標不一定完全對應順風向與橫風向激勵。因此上述對稱結構體系風振響應分析的問題并沒有完全得到解決。

本文從基本理論出發(fā)，分析了SRSS方法與CQC方法應用于高層建筑風振分析的局限性，提出了采用互譜密度函數(shù)計算模態(tài)相關性的新方法。并以一棟超高層建筑為例，通過時域模擬驗證了這一新方法的準確性。

本文中將這一基于互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合方法簡稱為CS方法。

1 高層建筑風振響應分析方法

迄今為止，確定高層建筑風振響應最常用也是最可靠的方法是風洞試驗與隨機振動分析相結合的方法。

抗風設計中僅考慮線性彈性階段，因此允許采用模態(tài)分解法將結構風致響應以廣義坐標的形式表達，即結構風致響應可通過求解下列運動方程得到。

(1)

式(1)中與結構特性有關的參數(shù)(如質(zhì)量、頻率、振型等)可以通過結構動力特性分析得到，而與氣動力有關的參數(shù)(即廣義氣動力)的數(shù)值求解非常困難，目前還沒有成熟可靠的方法，所以需要通過風洞模型試驗直接測定。

1.1 廣義氣動力的確定

風洞試驗的高頻測力天平方法HFFB(High Frequency Force Balance)是在20世紀80年代初建立的[2]。該方法巧妙地利用線性振型的廣義氣動力與基底傾覆力矩之間僅差一個常數(shù)倍的特點，通過高頻天平量測基底傾覆力矩后直接求出廣義氣動力。這一方法適用于當時廣泛采用的剪切型結構體系。在之后全球性的超高層建設熱潮中，框架核心筒結構體系成為主流。對于這類彎曲型高層建筑，風工程師很快意識到由于非線性振型使得廣義氣動力與基底彎矩之間的關系偏離了高頻測力天平方法的初始假定，從而使得高頻測力天平方法的精度會大打折扣[3]。

隨著電子掃描技術的成熟，20世紀90年代中期在風洞試驗中已經(jīng)可以做到幾乎同步地對幾百個壓力傳感器信號進行快速采樣。這一技術被迅速地用于對整個建筑外表面風壓的幾乎同步采樣，并通過對采樣數(shù)據(jù)按振型函數(shù)進行加權積分的方法得到廣義氣動力[4]。這一方法被稱為高頻壓力積分法HFPI(High Frequency Pressure Integration)。在某些文獻中，這一方法也被不完全嚴格地稱之為“同步測壓法”。由于高頻壓力積分法不需要對振型函數(shù)作線性假定，理論上可以測定任意高階模態(tài)的廣義氣動力，這一方法曾一度被認為在精度方面優(yōu)于高頻測力天平方法。但實踐證明高頻壓力積分法的精度不一定高于高頻測力天平方法。這是因為高頻壓力積分法蘊含了一個基本假定：即假定每個測壓點的從屬面積內(nèi)的壓力是相同的。而大多數(shù)高層建筑覆面上都會有一些非結構構件，這些非結構構件產(chǎn)生的局部氣流擾動使上述假定無法被真正滿足。此外，這一方法中的測壓點布置需要結合測試人員對建筑表面風壓變化梯度的估計與經(jīng)驗，不適當?shù)臏y點布置也會明顯影響試驗結果。這些使得高頻壓力積分法的精度比高頻測力天平方法更易受到人為因素的不利影響。對某些復雜外形建筑物的高頻壓力積分試驗，往往還不得不增加基底天平試驗。通過測試總的平均荷載達到驗證高頻壓力積分試驗可靠性的目的[5]。

考慮到絕大多數(shù)超高層建筑的風振響應是由其基本模態(tài)響應決定的，風工程研究人員再次將注意力放到高頻測力天平方法上，試圖在該方法中加入對非線性振型的修正，拓展其可適用的范圍[6]。在諸多的修正方法中，Xie等[7]建立的高頻測力多天平技術具有較好的實用性。這一方法不但解決了復雜連體結構的風振響應問題，而且建立了精度與適用性較好的非線性振型處理方法，對扭轉廣義氣動力也能得到合理的估計[8]，因而被很快應用于包括臺北101大樓、迪拜塔以及上海中心大廈等一系列重要工程項目的抗風設計。這一方法不需要對陣風剖面作任何假定，而是在廣義氣動力測定時增加基底剪力的信息，由此得到氣動中心變化的時程，然后通過對陣風壓剖面的瞬態(tài)擬合由以下公式計算廣義氣動力。

(2)

目前高頻測力天平方法與高頻壓力積分方法已成為兩個互為補充的基本方法，用于測定高層建筑的外部風荷載。

1.2 風振響應計算

在確定氣動力之后，可采用時域分析方法或頻域分析方法求解式(1)的運動方程。

時域方法采用逐步數(shù)值積分直接給出結構響應的某一時程樣本，然后依據(jù)各態(tài)歷經(jīng)假定，對時程樣本進行統(tǒng)計分析得到響應的統(tǒng)計量，包括平均值、均方差、峰值等等。時域方法對模態(tài)疊加也是在時域內(nèi)完成的，所以不需要對模態(tài)相關性作任何假定。例如加速度的均分差可由下式得到：

(3)

時域方法的不足之處在于缺乏對結構動力特性和結構響應之間物理關系的清晰描述，因而一般不適合用于指導抗風優(yōu)化設計。此外時域方法的計算時間也比較長。

頻域方法能清晰直觀地描述結構動力特性和結構響應之間的物理關系，計算量較小，是目前風工程研究與結構抗風設計中普遍采用的方法。

但頻域方法中的模態(tài)疊加是對統(tǒng)計量直接實施的，所以就需要估計各模態(tài)統(tǒng)計量之間的相關性。以加速度的均方差為例，其一般表達式可寫為：

(4)

如果兩個模態(tài)頻率相差較大，則模態(tài)相關性可以忽略，即認為當j≠k時，Cjk≈0。式(4)可由此簡化為：

(5)

式(5)稱為SRSS模態(tài)組合法。

如果兩個模態(tài)頻率相差較小(例如小于10%)，則模態(tài)相關性一般不可以忽略。目前風工程中主要衍用Wilson等[9]針對地震反應譜分析提出的完全二次型組合法(CQC方法)，其中相關系數(shù)由下列近似表達式求出：

(6)

式中：ζj與ζk分別為j模態(tài)與k模態(tài)的結構阻尼比；γjk為j模態(tài)與k模態(tài)的頻率比。

可以看出，ρjk是一個介于0和2之間的正值，因此蘊含了模態(tài)相關性的同相位假定。但這樣就帶來一個問題：如果j與k模態(tài)振型為同號，則CQC組合結果將大于SRSS組合；反之若j與k模態(tài)振型為異號，則CQC組合結果將小于SRSS組合。根據(jù)模態(tài)分解法原理，不難證明j與k模態(tài)振型取同號或異號不改變實際加速度的方差?？紤]到這一點，CQC在風響應計算中往往將式(4)寫為：

(7)

這一處理雖然保證了對結構風振響應的估計偏于安全，但卻是本文引言中所述問題的根源。

2 基于互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合法

描述結構的模態(tài)響應應當包括幅值和相位兩個方面，但傳統(tǒng)的CQC方法和SRSS方法在計算時缺省其中之一或兩者的相關信息。由于正交同性建筑的結構特點，這一缺省將帶來可觀的誤差。

為了在頻域分析中完整保留兩個相鄰模態(tài)之間相關性的信息，本文從基本關系推導合適的模態(tài)組合方法。

對基本方程(1)兩邊進行傅里葉變換，可以得到加速度的傅里葉變換為

(8)

式中：Hj為j模態(tài)加速度響應的傳遞函數(shù)，其中實部與虛部分別為：

不難證明，j模態(tài)加速度的自譜為：

(9)

式中:

j模態(tài)與k模態(tài)加速度的互譜可表示為：

(10)

假設j模態(tài)與k模態(tài)的阻尼比相同，式(10)右端第二項中與傳遞函數(shù)有關的系數(shù)可展開為：

(11)

由于模態(tài)相關性只有在模態(tài)頻率比較接近時才有考慮的必要，這里近似假定ωj≈ωk。式(11)表明實虛部交叉項對互譜的貢獻可以近似忽略。這樣式(10)就可以簡化為：

(12)

式中:

對式(12)兩邊求積分，可以得到j模態(tài)與k模態(tài)加速度的協(xié)方差。

(13)

其中

(14)

由此得到模態(tài)組合的一般表達式：

(15)

由于這里的相關系數(shù)由廣義風荷載的互功率譜求得，不但能反映模態(tài)響應的幅值相關性，而且包含與模態(tài)振型一致的相位相關性。從而能夠在模態(tài)組合計算中完整地考慮模態(tài)相關性影響。

3 模態(tài)組合法的實例研究

以圖3所示超高層建筑的高頻測力天平試驗為例，模型幾何比例1∶500，風速比3∶1，采樣頻率為足尺情況下2 Hz，采樣時長為足尺情況下4小時。分別采用SRSS方法、CQC方法、本文提出的基于互譜密度函數(shù)的CS方法計算了該建筑的風振加速度。然后與時域計算結果進行比對。時域方法是在時域內(nèi)完成模態(tài)疊加的，不需要對模態(tài)相關性作任何假定，所以在這里被作為檢驗方法。

所考慮的大樓在建筑外形與結構體系兩方面都有著很好的對稱性，存在引言中所述的振型位移方向任意性的問題。

圖3 超高層建筑實例及風向角示意

風洞試驗中，風向角的定義以正北向為零度，順時針計算，風向角與結構坐標系統(tǒng)的關系見圖3。

實例分析中，考慮了以下三種工況。

(1) 工況1：假設兩個水平側移模態(tài)的自振頻率完全相同，但振型主軸方向偏離結構坐標30°(θ=30°)，參見圖2。

(2) 工況2：假設兩個水平側移模態(tài)的自振頻率完全相同，但振型主軸方向偏離結構坐標45°(θ=45°)。

(3) 工況3：假設兩個水平側移模態(tài)的振型主軸方向仍偏離結構坐標30°(θ=30°)，但自振頻率比減至0.95。

圖4為工況1的計算結果?？煽闯霾捎帽疚奶岢龅腃S方法與時域方法得到的加速度均方根值完全相同，但采用SRSS方法與CQC方法得到的加速度數(shù)值則存在較大的誤差。

CS方法與時域方法所得結果表明最大加速度是由橫風向風振引起的。X方向的最大加速度出現(xiàn)在350°與170°附近，而Y方向的最大加速度則出現(xiàn)在80°與260°附近。然而采用SRSS方法與CQC方法計算后，這四個風向在X與Y方向都會產(chǎn)生較大的加速度。這一錯誤的計算結果源于在處理振型耦合時對模態(tài)相關性的不正確考慮造成的。

在兩個水平側移模態(tài)的自振頻率完全相同的情況下，將振型主軸方向繼續(xù)轉動至45°(工況2)。所得結果如圖5所示?？梢钥闯觯捎帽疚牡腃S方法與時域分析方法得到的加速度值和工況1完全相同，表明當兩個水平側移模態(tài)的自振頻率完全相同時，結構響應與振型主軸方向的選取無關，這是符合實際情況的。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

但采用SRSS方法與CQC方法計算時，所得到的加速度值則錯誤地受到振型主軸方向選取的影響。圖4與圖5的結果還表明，由于CQC方法考慮了幅值的相關性，所得到的加速度雖然偏保守，但與SRSS方法相比較為接近正確值。其主要問題在于CQC方法沒能夠正確考慮相位相關性，造成對出現(xiàn)加速度峰值的風向角估計錯誤。在實際工程應用中，圖4或圖5的結果還需要結合表征風速風向聯(lián)合概率分布的風氣候模型進行統(tǒng)計分析后才能得到不同設計回歸期的最大加速度。對出現(xiàn)最大加速度的風向角估計錯誤，會導致過于保守的結構設計風荷載與不切實際的風振舒適度評估。與此相比，采用SRSS組合方法則有可能得到過小的加速度值，導致不安全的結構設計風荷載。

圖6給出工況3的計算結果，其中第二模態(tài)的固有頻率提高了5%，使得兩個水平側移模態(tài)的自振頻率比減至0.95。可以看出隨著頻率比的減小，模態(tài)相關性的影響得以降低，從而SRSS方法與CQC方法產(chǎn)生的誤差也明顯減小。同時還可以看出CS方法與時域分析方法兩者之間開始出現(xiàn)微小的差別。這是因為隨著頻率比偏離1，式(11)描述的荷載互譜中的實虛部交叉項不再為零，而在目前的CS方法中，為簡化計算起見這一交叉項被省略了。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

本實例的進一步計算結果表明，當頻率比減至0.90時，各種組合方法的計算結果趨于一致，模態(tài)相關性的影響可以基本忽略。

以上討論了模態(tài)組合法在風振加速度計算中的應用，在結構風荷載計算也同樣需要考慮模態(tài)組合法，其結論是類似的。本文不再贅述。

雖然以上分析的對象是水平正交方向具有非常接近甚至完全相同結構特性的建筑物，所提出的CS模態(tài)組合方法也適用于處理一般的模態(tài)相關性問題。例如圖7所示結構體系。這類結構的模態(tài)中通常存在側移與扭轉振動耦合現(xiàn)象，其中側移為主的固有頻率和扭轉為主的固有頻率之間可能非常接近。因而可以采用本文方法正確計算其模態(tài)相關性與耦合風致結構響應。

圖7 側移與扭轉頻率接近的結構示例

Fig.7 Example of a structure with similar frequencies in sway and rotating motions

4 結 語

大部分已建和待建的超高層建筑在兩個水平正交方向具有非常接近甚至完全相同的結構特性，由此造成前兩階側移振動的固有頻率非常接近。對這類結構體系的結構風荷載與風振計算，必須考慮其模態(tài)相關性。

傳統(tǒng)的SRSS模態(tài)組合方法忽略相鄰模態(tài)之間的相關性，導致對風致結構響應的估計偏低，在應用于實際工程項目時存在安全隱患。CQC模態(tài)組合方法考慮了相鄰模態(tài)之間的幅值相關性，但未能正確計入相鄰模態(tài)之間的相位相關性，造成對風致結構響應的估計過于保守，在應用于實際工程項目時會帶來不必要的浪費。對水平正交方向結構特性完全相同的高層建筑，應用SRSS或CQC方法時還可能忽略振型位移主軸方向任意性的基本事實，造成風致結構響應依賴于振型位移主軸方向的錯誤結論。這不但帶來結構抗風設計優(yōu)化中的困惑，更可能對優(yōu)化設計產(chǎn)生誤導。

本文從基本理論出發(fā)，建立了基于風荷載互譜密度函數(shù)的模態(tài)組合新方法(CS模態(tài)組合方法)，這一方法完整考慮了相鄰模態(tài)之間的幅值相關性與相位相關性，原理清晰，計算簡單，具有實際可操作性。與時域模擬結果比較證實了這一方法的可靠性與精確性。

所提出的CS模態(tài)組合方法也適用于處理一般的模態(tài)相關性問題。

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Mode combinations in wind-induced vibration analysis of tall buildings

TANG Yuwei, XIE Jiming

(School of Civil Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

Most super-tall buildings have a feature of their first two sway modes’ natural frequencies being very close to each other，so in their wind-induced vibration analysis their mode correlations cannot be ignored. However, the current adopted mode combination methods of SRSS and CQC have shortcomings in theory and can’t handle correctly the features of wind-induced structural responses in actual applications to bring structural anti-wind optimization design a certain confusion even misleading. Here, the shortcomings of these two methods were verified through theoretical analysis and numerical computation. SRSS method fully neglected mode correlations. Although CQC method considered mode correlations to a certain extent, it couldn’t reflect the phase relation in mode correlations to cause too conservative computation results. Based on the fundamental principles of random vibration, a new method of mode combinations named the CS method based on cross spectral density function was proposed here. It was shown that the new method can fully consider amplitude correlations and phase correlations between adjacent modes; its principle is clear, and it is easy to calculate. The reliability and correctness of this method were verified through comparing its results with those of simulation in time domain.

tall buildings; anti-wind design; wind effect of structure; mode correlations; mode combinations; CQC method; CS method based on cross spectral density function

國家自然科學基金面上項目(51578505)

2016-02-23 修改稿收到日期：2016-07-04

湯昱薇 女，碩士生，1993年生

謝霽明 男，教授，博士生導師,1955年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.003