縱深體驗，動態(tài)生成

房華

高中數(shù)學(xué)人教B版教材自使用以來，廣受好評。在教學(xué)實踐中，部分教師也會跟據(jù)對教材和學(xué)生的分析，將教材例習(xí)題進(jìn)行必要調(diào)整或適當(dāng)補(bǔ)充，以便在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)更好地讓學(xué)生自主構(gòu)建新知，提高教學(xué)效率。下面就人教B版必修二2.2.2節(jié)《點到直線的距離》一節(jié)的例習(xí)題教學(xué)設(shè)計，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。

一、教材分析

點到直線的距離，是“直線的方程”的最后一節(jié)內(nèi)容，它是在學(xué)習(xí)了直線相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，探索如何用代數(shù)方法研究距離問題，實現(xiàn)了由平面幾何的幾何度量過渡到解析幾何的代數(shù)計算。它既是前面所學(xué)知識方法的延續(xù)，又為后面直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。同時，教材通過讓學(xué)生經(jīng)歷點到直線的距離公式的探究與應(yīng)用過程，進(jìn)一步體會解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法解決幾何問題。

二、例習(xí)題設(shè)計

本節(jié)課分公式推導(dǎo)和公式的簡單應(yīng)用兩個環(huán)節(jié)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)教材的處理是直接給出求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式的推導(dǎo)過程，一方面推導(dǎo)的思路方法單一，不利于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。另一方面運(yùn)算化簡技巧較強(qiáng)，學(xué)生不容易想到，也不易于學(xué)生理解和接受。為了分散難點，提高學(xué)生思維的參與性，通過對引例調(diào)整充實，將公式的推導(dǎo)過程分三個階段完成，教學(xué)設(shè)計如下：

第一階段：解決特例，啟發(fā)思維

首先回顧初中“點到直線的距離”的定義，然后教師提出：

問題1：求點P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離。

先讓學(xué)生獨立思考，然后小組討論交流，最后小組代表展示、講解解決問題的方法和步驟，教師點評，簡要板書。

【設(shè)計意圖】B版教材直接呈現(xiàn)的是問題：求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離。但高一學(xué)生的抽象思維能力和對代數(shù)式的化簡能力不足以直接解決此問題。因此通過問題1為學(xué)生搭建“墊腳石”。

第二階段：小組合作，推導(dǎo)公式

問題2：求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C

=0（A2+B2≠0）的距離。

在學(xué)生得出了幾種不同的思路后，提出問題2。由學(xué)生分小組自選思路，進(jìn)行公式推導(dǎo)。之后教師選取有代表性的作品，讓學(xué)生投影展示，根據(jù)學(xué)生的展示，教師利用ppt輔助點評。因為求垂足坐標(biāo)的方法，思路自然，預(yù)測會有多數(shù)學(xué)生選擇這種方法。但較多的學(xué)生在有限的時間里并不能得到答案。因此教師屏幕展示這種方法的推導(dǎo)過程。

解：設(shè)直線m的方程為Bx-Ay+D=0將P（x1，y1）代入得D=Ay1-Bx1，m的方程為Bx-Ay+Ay1-Bx1=0聯(lián)立m與l方程得

解方程組求得點P0的坐標(biāo)

教師提出以下思考問題：

結(jié)合目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點，是否有簡化運(yùn)算的方法？

可以不求垂足P0的坐標(biāo)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析目標(biāo)式和已知式的特點，提出整體代換的思想。即可將x1-x0和y1-y0分別視為一個整體。構(gòu)造關(guān)于x1-x0和y1-y0的兩個方程式。

此時教師放手，讓學(xué)生根據(jù)目標(biāo)式完成后續(xù)推導(dǎo)過程，體會設(shè)而不求，整體代換的方法在簡化運(yùn)算中的作用。

【設(shè)計意圖】一方面讓學(xué)生實踐體會公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，另一方面使學(xué)生體驗探索的艱辛，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的鉆研精神。

第三階段：分析公式，加深認(rèn)識

思考問題：

①點P在直線l上時成立嗎？

②公式結(jié)構(gòu)特點是什么？

③用公式時直線方程是什么形式？

在公式的應(yīng)用環(huán)節(jié)，為了逐步完成教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計了公式的直接應(yīng)用和靈活應(yīng)用兩個層次的題目，每個層次的題目均對教材例題進(jìn)行了巧妙的改編，并增加了相應(yīng)的鞏固練習(xí)。

例1 求點P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離。

鞏固練習(xí)：

（1）求點到相應(yīng)直線的距離.

①l：2x+y=5 ② ③l：x=2

（2）點到直線的距離為3，求m.

（3）在x軸上求與直線3x+4y-5=0的距離等于5的點的坐標(biāo)。

例題是公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)中的引例，屬于公式的直接應(yīng)用。鞏固練習(xí)（1）取自教材例習(xí)題的改編。第①②題需要先化為一般式，再用公式；第③題為特殊情況，可化為一般式用公式解決，也可數(shù)形結(jié)合解決。鞏固練習(xí)（2）、（3）為逆用公式的題目，公式中有6個量，可知五求一，利用方程的思想解決問題。

例2 探究兩平行直線l1：Ax+By+C1=0，l2： Ax+By+C2=0（C1≠C2）之間的距離公式，并給出證明。

鞏固練習(xí)：

（1）求兩直線l1：2x+y+1=0，l2： 2x+y-3=0的距離。

（2）求兩直線l1：2x+y+1=0，l2： 4x+2y-3=0的距離。

【設(shè)計意圖】將教材中的例題2改為“開放式”，通過例2的探究，將平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，既是對點到直線距離的靈活運(yùn)用，又讓學(xué)生充分體驗數(shù)學(xué)中的類比、轉(zhuǎn)化的思想。

三、設(shè)計特色

（1）本節(jié)課的設(shè)計尊重教材又創(chuàng)造性地使用教材，通過由特殊到一般，具體到抽象的探究問題的過程使學(xué)生在充分的體驗和感悟中經(jīng)歷了公式的形成過程，體會到多種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

（2）通過體驗公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生“經(jīng)歷挫折，體驗山重水復(fù)；敞開視野，享得柳岸花明”。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，和勇于探索，鍥而不舍的鉆研精神。

總之，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，立意要高遠(yuǎn)，是僅重視結(jié)論還是重視學(xué)生對過程的體驗，是著眼于技能、應(yīng)試的需要，還是著眼于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的提高，這些都是我們在教學(xué)中應(yīng)時刻反思的，這樣才會促進(jìn)學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）2003[M].北京：人民教育出版社，2003.

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