淺談高中數(shù)學(xué)中函數(shù)和方程思想的應(yīng)用例證

靳祥利

摘要：高中數(shù)學(xué)相對(duì)于初中和小學(xué)已經(jīng)相對(duì)比較復(fù)雜，在邏輯思維上有了更高層次的要求，這就要求學(xué)生在解題中熟練掌握基本的思想概念，運(yùn)用基本思維解題。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中也應(yīng)該做思維邏輯上的引導(dǎo)鍛煉。進(jìn)一步分析函數(shù)與方程思想的特點(diǎn)，將邏輯思維解題運(yùn)用到具體實(shí)踐中加以分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 函數(shù)和方程 解題思想 實(shí)踐應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)方程極為重要，這不僅是表現(xiàn)在課本所占比重上更是表現(xiàn)在實(shí)際的解題過程中，是對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)本質(zhì)上的更高層次的要求和體現(xiàn)。對(duì)于高中生而言，這一解題能力的培養(yǎng)比固定解題步驟就題論題來的更有意義。

一、關(guān)于函數(shù)與方程思想

（一）函數(shù)思想

從某種意義上講，函數(shù)思想就是在變化中找尋動(dòng)態(tài)的不變，針對(duì)具體的數(shù)量關(guān)系建立起函數(shù)關(guān)系或是構(gòu)造函數(shù)，并利用建立的函數(shù)關(guān)系性質(zhì)和函數(shù)圖像來解決分析復(fù)雜問題，將復(fù)雜問題簡單化以最終解決題目。解決函數(shù)問題首先具備函數(shù)思想，用思維邏輯構(gòu)造整個(gè)解題思路，以不變應(yīng)萬變，通過具體的觀察和分析把握解題關(guān)鍵，建立最終函數(shù)關(guān)系來分析解決具體問題。

（二）方程思想

數(shù)學(xué)的任何思維活動(dòng)都是建立在數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)之上的，與其說解決問題所需要的是精確的計(jì)算和公式處理，不如說所有的步驟都是建立在數(shù)學(xué)思想上，真正的解題策略不是步驟而是思路也就是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用在數(shù)學(xué)思想中實(shí)現(xiàn)具體反映，所以可以說數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)思想，所謂方法只是思想指導(dǎo)下的行為體現(xiàn)而已。方程思想主要是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題中變量的分析，把握其中直接間接的關(guān)系，將隱含的或是表明的具體關(guān)系用方程或是方程組的形式呈現(xiàn)在具體的解題過程中，使得復(fù)雜的關(guān)系條件簡單化，變得條理清晰分明，在構(gòu)造方程的過程中需要充分了解和運(yùn)用方程的性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化和分析，將文字轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，這個(gè)過程需要學(xué)生對(duì)整個(gè)的方程概念有足夠了解和認(rèn)識(shí)，用方程的思維去觀察和分析，最終達(dá)到解決和處理問題的目的。

二、關(guān)于解題思想的運(yùn)用

（一）數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)方法總論

方法一般認(rèn)為是指研究或認(rèn)識(shí)的某種途徑和理論，從理論和現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中把握最合理的解決方案和操作手段，方法也就是方式和途徑選擇，所以方法從科研的角度上講，是人們用以研究問題、解決問題的工具和手段。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所講的概念，主要是指數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的途徑、程序及操作手段。狹義上所認(rèn)為的數(shù)學(xué)方法是指處理數(shù)學(xué)問題過程中所采取的各種途徑和手段，而廣義上又可以將這一概念擴(kuò)展理解為對(duì)某一具體研究對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行分析和總結(jié)，最終構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的行為，使得整個(gè)的數(shù)學(xué)解題概念更加的邏輯性，遵循其中的符號(hào)意義和公式公理，在這一基礎(chǔ)之上對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行符合邏輯的運(yùn)算和推演，從而進(jìn)一步的揭示研究對(duì)象的本質(zhì)規(guī)律，找到符合其特點(diǎn)的最佳解決方法，數(shù)學(xué)步驟只是解決基本的數(shù)學(xué)問題，或復(fù)雜或簡單，但基本數(shù)學(xué)思想構(gòu)建的是一種解決問題的思想，它已經(jīng)不僅僅局限在解決數(shù)學(xué)問題上，而是會(huì)受益在日常生活的方方面面，是一種分析問題解決問題更加客觀理性的思維方法。數(shù)學(xué)思想分為多種類型，方程思想和函數(shù)思想是屬于最基本的概念型數(shù)學(xué)思想，這類思想需要建立在相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的背景基礎(chǔ)之上，這就要求學(xué)生和教師充分理解和把握數(shù)學(xué)的基本理論概念，做到靈活掌握運(yùn)用，從而在熟練的解題思路中形成方程和函數(shù)解題的數(shù)學(xué)思維。

（二）函數(shù)與方程思想運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)問題中涉及多種函數(shù)類型，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)，等等。與之相配合使用的少不了方程，當(dāng)然還有不等式問題和數(shù)列問題，這也恰恰從另一個(gè)方面論證了函數(shù)思想方法的應(yīng)用涉及多種方面，應(yīng)用范圍面十分廣泛，在整個(gè)的高中數(shù)學(xué)中屬于至關(guān)重要的解題思想。在具體的解題過程中要注意把握函數(shù)的基本性質(zhì)，包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，等等，還要充分結(jié)合其他的解題思想，如圖形結(jié)合、分類討論，化歸轉(zhuǎn)化，將文字的條件轉(zhuǎn)化為更為直觀的函數(shù)圖像，化繁為簡、化難為易、化未知為已知，列出其中關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系，建立方程或者方程組，進(jìn)一步分析變化的特殊和一般。以實(shí)際例題說明，已知，（a、b、c∈R），則有（ ）；（A） （B） （C） （D）

解法一：依題設(shè)有：a·5-b+c=0

∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；∴△≥0∴故選（B）

解法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：≥10ac+2·5a·c=20ac

∴故選（B）。解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。當(dāng)然，針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題，首先要考慮是否可以用一個(gè)代數(shù)式抽象成為一個(gè)函數(shù)，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將字母視為基本變量，再針對(duì)變量考慮是否可以符合基本函數(shù)，圖像是怎樣的，通過轉(zhuǎn)化為的函數(shù)運(yùn)用函數(shù)的不同類型性質(zhì)和圖像來進(jìn)一步分析解決問題。

比如，已知彈簧的長度y（厘米）在一定的限度內(nèi)是所掛重物質(zhì)量 x（千克）的一次函數(shù).現(xiàn)已測得不掛重物時(shí)彈簧的長度是6厘米，掛4千克質(zhì)量的重物時(shí)，彈簧的長度是7.2厘米，求這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式。分析：已知y與x的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，則關(guān)系式必是y=kx+b的形式，所以要求的就是系數(shù)k和b的值.而兩個(gè)已知條件就是x和y的兩組對(duì)應(yīng)值，也就是當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=7.2?？梢苑謩e將它們代入函數(shù)式，進(jìn)而求得k和b的值。設(shè)所求函數(shù)的關(guān)系式是y=kx+b，根據(jù)題意，得b=6①，4k+b=7.2②，解這個(gè)方程組，得b=6，k=0.3所以所求函數(shù)的關(guān)系式是：y=0.3x+6。不是所有的問題都可以簡單的將字母轉(zhuǎn)化為函數(shù)來進(jìn)行處理，有必要的話也可以考慮建造輔助性函數(shù)來幫助自己解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，對(duì)于一個(gè)等式問題，可以試著將等式看成含有未知數(shù)的方程加以思考處理，在面對(duì)方程時(shí)需要明晰方程性質(zhì)，考慮方程根的正負(fù)問題以及相對(duì)區(qū)域范圍，思維的形成離不開重復(fù)的演練和熟悉，這樣才能使自己靈活的掌握和運(yùn)用這些基本思想來解決多變的數(shù)學(xué)具體問題。以應(yīng)用型題目為例，在解決這類題目之前首先要明白命題意圖和題目所表達(dá)的條件意思，將文字抽象為數(shù)學(xué)性的表達(dá)語言，建立基本的數(shù)學(xué)模型和關(guān)系式，在這個(gè)過程中運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和圖像等知識(shí)來把握分析，其實(shí)最根本的就是找準(zhǔn)變量之間的關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，表現(xiàn)在一般的題目中也就是關(guān)于基本未知數(shù)的方程式，這其中需要主要的是函數(shù)未知數(shù)的定義域和值域的問題，在沒有明確的表明限制條件的情況下也要注意考慮實(shí)際問題是否符合，根據(jù)實(shí)際問題情況把握未知數(shù)的取值范圍，列出準(zhǔn)確的方程式，當(dāng)然這一過程中可以盡可能地利用圖像，圖像的直觀反映不僅有利于發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵，在某種程度上還有一定的檢驗(yàn)和提醒的作用。

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)不只是在教育中占據(jù)一席之地，更是一個(gè)國家富強(qiáng)的重要支撐。僅僅讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)掌握基本的知識(shí)和公式理念是不夠的，更為重要的是使他們在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在解決具體的數(shù)學(xué)問題中把握住邏輯思維的方法，函數(shù)與方程的思想不僅作為高考的重要考點(diǎn)存在，更是人生各種問題處理的理性思考，在整個(gè)的成長和生活中都具有十分重要的意義。

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