平方根計(jì)算失誤分析及教學(xué)建議

鄭學(xué)濤+朱向東

【摘 要】 平方根是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，求平方根是基本技能.教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求一個(gè)數(shù)的平方根時(shí)常常出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因主要有三方面：工具性表征失敗、系統(tǒng)性表征失敗、程序性表征失?。欢行Ц淖儗W(xué)生計(jì)算失誤的方法也即日常的教學(xué)策略和方法主要有：合情即合理，合理即合法、練習(xí)中要有一個(gè)完整的“具體運(yùn)算階段”的過(guò)程、強(qiáng)調(diào)運(yùn)算與結(jié)果的非一一對(duì)應(yīng)、幫助學(xué)生建立符號(hào)與概念的準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)、適宜的時(shí)機(jī)安排變式訓(xùn)練以及其它.

【關(guān)鍵詞】 平方根；錯(cuò)誤原因；教學(xué)建議

1 問(wèn)題提出

在前三輪教學(xué)中發(fā)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題：4的平方根是多少？（下稱主問(wèn)題），無(wú)論是剛剛學(xué)習(xí)平方根的學(xué)生還是進(jìn)入中考復(fù)習(xí)的學(xué)生都會(huì)有相當(dāng)一部分人將2作為主問(wèn)題唯一的答案，而且這些學(xué)生一旦看到正確答案又恍然大悟，并將出錯(cuò)的原因歸結(jié)為粗心大意，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再讓這些曾經(jīng)出錯(cuò)的學(xué)生重做主問(wèn)題，絕大部分學(xué)生的答案仍然是2，可見(jiàn)學(xué)生真正的出錯(cuò)原因絕非粗心.

2 問(wèn)題分析

克魯捷斯基曾指出：對(duì)于各種現(xiàn)象進(jìn)行研究的真正科學(xué)途徑，是把它們分解成一些比較簡(jiǎn)單的成分（因素）.同樣對(duì)于一種復(fù)雜的心理現(xiàn)象所進(jìn)行的分析綜合的途徑，要求首先剖析它的結(jié)構(gòu)，分解出它的成分（因素）[1].主問(wèn)題是將平方根概念作為法則進(jìn)行運(yùn)算的題目，其過(guò)程也是較為復(fù)雜的心理活動(dòng).為了找到學(xué)生真正的出錯(cuò)原因，要從主問(wèn)題的具體解答過(guò)程和學(xué)生的心理活動(dòng)入手探究.而任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程都要首先從閱讀題干信息開(kāi)始，通過(guò)閱讀信息提取關(guān)鍵因子，然后將關(guān)鍵因子當(dāng)作索引，與頭腦中存儲(chǔ)的靜態(tài)知識(shí)和方法準(zhǔn)備匹配，根據(jù)匹配價(jià)值擬定解題計(jì)劃并具體實(shí)施，直至問(wèn)題徹底解決.提取關(guān)鍵因子與知識(shí)和方法匹配的這個(gè)過(guò)程稱為信息表征.信息表征是在問(wèn)題和知識(shí)、方法之間建立關(guān)聯(lián)的必須心理活動(dòng)，而一旦信息表征失敗或者出現(xiàn)偏差，勢(shì)必引起解題錯(cuò)誤的出現(xiàn).

解決主問(wèn)題正確的表征過(guò)程是：首先閱讀題干并將題干進(jìn)行基于關(guān)鍵因子的物理分割，把題干分割成三部分：第一部分是“4”，是施加數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象；第二部分是“求”，是具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算行為，第三部分是“平方根”，是數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的，也即關(guān)鍵因子；這個(gè)過(guò)程類似于劃分句子成分和抽取句子主干.接下來(lái)以關(guān)鍵因子為索引與大腦中知識(shí)進(jìn)行匹配，由“平方根”大腦自然地調(diào)用已存儲(chǔ)的概念：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，記作x=±a，而題干中的“求”是按部就班的執(zhí)行這個(gè)語(yǔ)句闡釋的法則，“4”是被執(zhí)行對(duì)象，相當(dāng)概念中的a.表征完畢實(shí)施計(jì)劃，用4代替公式中的a可得答案為x=±4=±2.

調(diào)查學(xué)生解題時(shí)的心理活動(dòng)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出錯(cuò)主要在信息表征環(huán)節(jié)，而結(jié)合解答過(guò)程發(fā)現(xiàn)信息表征失敗主要表現(xiàn)為三方面：第一，工具性表征失敗.學(xué)生初學(xué)平方根的概念，大都是從概念的工具性（運(yùn)算）功能和“例子”表象來(lái)認(rèn)知概念，并未成功獲得對(duì)概念工作原理自我解釋，是一種偽建構(gòu)主義的表現(xiàn)，這就意味著學(xué)生再將平方根的概念作為工具使用時(shí)缺乏了“對(duì)號(hào)入座”的理性思辨，在模棱兩可時(shí)用自己更愿意接受的算術(shù)平方根的概念替代平方根的概念，并作為工具使用.如果后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)兩個(gè)概念的辨析、變式訓(xùn)練不到位，那么學(xué)生更容易將兩個(gè)概念混為一談，即在計(jì)算出錯(cuò)的學(xué)生的腦海中平方根和算術(shù)平方根是“同一個(gè)概念”，不知不覺(jué)中偷梁換柱；第二，系統(tǒng)性表征失敗.數(shù)學(xué)概念是描述一類事物狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)則的高級(jí)思維形式，基于數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性，部分?jǐn)?shù)學(xué)概念建立在一些基本數(shù)學(xué)概念之上，這些基本概念是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，如這里的平方根概念之中蘊(yùn)含了“數(shù)”這個(gè)概念，因此學(xué)生在調(diào)用平方根概念解決問(wèn)題時(shí)，就不僅僅只表征承載平方根這個(gè)概念的句法，還要對(duì)平方根概念所包含的一系列基本數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深度表征并進(jìn)行肯定和合取，這個(gè)過(guò)程可稱之為系統(tǒng)性表征.但一些學(xué)生對(duì)于平方根概念中的“數(shù)”往往表征為小學(xué)學(xué)習(xí)的正數(shù)，尚未形成對(duì)有理數(shù)體系的完備認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)系統(tǒng)觀念形成滯后于局部的邏輯觀念，形成表征失?。坏谌?，程序性表征失敗.平方根的概念主要是用方程的形式和結(jié)構(gòu)定義的，方程法主要體現(xiàn)是在代數(shù)思維基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)量關(guān)系的一種結(jié)構(gòu)性把握[2].而平方根的概念是以方程結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的一系列關(guān)聯(lián)性程序的順序和倒序的綜合體，反映在人的意識(shí)上既有正向思維也有逆向思維，而學(xué)生調(diào)用平方根的概念進(jìn)行一系列表征操作時(shí)（類似于解方程）主要是逆向思維，這種思維的轉(zhuǎn)換給學(xué)生的信息表征帶來(lái)了不小的困難.如果學(xué)生不按照正確的程序進(jìn)行，易在整個(gè)求解過(guò)程中信息表征不夠徹底，或是根據(jù)自己的“一套”與平方根概念相近的“法則”得出了結(jié)果，其典型的表征和運(yùn)算過(guò)程是：因?yàn)?的平方是4，所以4的平方根就是2.

3 突破失誤的教學(xué)建議

問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)，學(xué)生在信息表征中出現(xiàn)問(wèn)題與最初的教學(xué)有直接的關(guān)系，因此要科學(xué)的設(shè)計(jì)教與學(xué).經(jīng)過(guò)三輪的教學(xué)嘗試，筆者有以下幾點(diǎn)有效的建議.

3.1 合情即合理，合理即合法

初中生心智發(fā)展并不完全，對(duì)于新鮮事物的接受尚未形成先深度分析再?zèng)Q定是否接受的成熟模式，其學(xué)習(xí)的心理預(yù)備是“合情即合理，合理即合法”.因此只要學(xué)習(xí)內(nèi)容合情、合理學(xué)生就有主動(dòng)接受的意向和情趣.“合法”是指適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，所謂“合情”，即合乎情景，即讓學(xué)生完整的體驗(yàn)知識(shí)在社會(huì)生產(chǎn)生活中應(yīng)運(yùn)而生.同時(shí)建構(gòu)主義認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的形成都是個(gè)體基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的規(guī)則化、模式化以及意義賦予，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累是一個(gè)“起因、經(jīng)過(guò)、結(jié)果”的完備過(guò)程，也是合情的具體表現(xiàn)形式，正應(yīng)新課標(biāo)“知識(shí)背景—知識(shí)形成—揭示聯(lián)系”的理念要求.因此教師在引導(dǎo)學(xué)生提煉平方根的概念時(shí)，必須基于一定的數(shù)學(xué)活動(dòng).這就要求教師在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)逼真的問(wèn)題情景，讓學(xué)生完整的經(jīng)歷平方根問(wèn)題提出、問(wèn)題分析和問(wèn)題解決的全過(guò)程，目前所有的教材都是采用出示實(shí)際問(wèn)題的方式引入概念，教師要用好教材，且不可在課堂的一開(kāi)始就直接介紹概念，那樣必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生死記硬背.合情的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏尭拍钤趯W(xué)生思維上的生長(zhǎng)不突兀，不生硬，而合情的概念生成也能夠讓學(xué)生正確區(qū)分平方根和算術(shù)平方根的概念.

數(shù)學(xué)教育的長(zhǎng)遠(yuǎn)價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，形成學(xué)生正確的價(jià)值觀和人生觀，這其中包括對(duì)一件事物合理性的思考和價(jià)值界定，因此知識(shí)沖突和矛盾是暫時(shí)的，一切矛盾和沖突是知識(shí)發(fā)展的手段，也都將歸于統(tǒng)一，歸于合理.所謂合理，即新事物的出現(xiàn)和要和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)協(xié)同一致而不互相矛盾，使學(xué)生能夠在現(xiàn)有的“價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)”下接受新鮮事物.開(kāi)平方是一種運(yùn)算，平方根是其運(yùn)算的結(jié)果，是數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物，要站在學(xué)生的角度讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平方根存在的合理性，就能夠有效增加學(xué)生在解決主問(wèn)題時(shí)正確表征的機(jī)會(huì).除了合情以外讓學(xué)生接受平方根的合理性要在兩方面幫助學(xué)生建立價(jià)值認(rèn)同：第一，數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)之后為保證代數(shù)結(jié)構(gòu)的連通性，運(yùn)算也必須具有雙向性，即平方存在，開(kāi)平方必定存在.第二，之所以產(chǎn)生平方根和算術(shù)平方根兩種概念，是因?yàn)樗阈g(shù)平方根是生活實(shí)際問(wèn)題中產(chǎn)生的結(jié)果（如一個(gè)面積是4的正方形的邊長(zhǎng)是幾？），而平方根是數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算雙向性進(jìn)行的合理化補(bǔ)充，是數(shù)學(xué)完備性重要組成（生活生產(chǎn)需要的外力推動(dòng)數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)發(fā)展的結(jié)果，是運(yùn)算的必然）.這樣以學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為著力點(diǎn)，以具體問(wèn)題矛盾為力的載體，在思維的激烈辨析之后，完成知識(shí)的同化與順應(yīng)，將知識(shí)的合理性納入“思維過(guò)程孕育結(jié)果”的課堂探究形態(tài).

目前幾大流行版本的教材都是分兩課時(shí)安排學(xué)習(xí)平方根和算術(shù)平方根，而無(wú)論是先學(xué)習(xí)平方根還是算術(shù)平方根都將課時(shí)目標(biāo)固縮在如何計(jì)算上，對(duì)于兩者的關(guān)系比較只是一帶而過(guò)，造成學(xué)生微觀視角詳盡而宏觀視角缺乏.況且學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的感悟、內(nèi)化、反思不是一蹴而就的，不要寄希望于學(xué)生在短短一節(jié)課中就能徹底掌握并熟練應(yīng)用，需要教師在不同時(shí)段對(duì)學(xué)生進(jìn)行提攜.基于“合情即合理，合理即合法”教師在整體設(shè)計(jì)本章教學(xué)時(shí)，可以在同一節(jié)課中通過(guò)一個(gè)情景實(shí)例同時(shí)引入平方根和算術(shù)平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么x叫作a的平方根，其中非負(fù)的平方根叫作a的算術(shù)平方根.第二節(jié)課作復(fù)習(xí)以及區(qū)分和對(duì)比，進(jìn)一步讓學(xué)生完成一定量對(duì)比性強(qiáng)的計(jì)算題，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析獲得對(duì)二者深刻的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生順利完成從工具性理解到關(guān)系性理解的過(guò)渡.

3.2 練習(xí)中要有一個(gè)完整的“具體運(yùn)算階段”的過(guò)程

著名教育心理學(xué)家皮亞杰把兒童的認(rèn)知發(fā)展分成四個(gè)階段，其中第三和第四階段分別是具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段，具體運(yùn)算階段的特點(diǎn)是兒童的思維具有守恒性，思維活動(dòng)需要具體的內(nèi)容支持，形式運(yùn)算階段的特點(diǎn)是兒童思維開(kāi)始擺脫具體思維內(nèi)容的影響.而學(xué)習(xí)平方根這一知識(shí)的學(xué)生大都處于這兩個(gè)階段的交界處且偏向具體運(yùn)算階段多一些，思維還需要具體的內(nèi)容支持，因此初學(xué)平方根時(shí)，教師在對(duì)學(xué)生訓(xùn)練的過(guò)程中一定要借助具體的內(nèi)容和形式讓學(xué)生完成知識(shí)和技能的內(nèi)化，在練習(xí)時(shí)，不能僅限于學(xué)生回答對(duì)了問(wèn)題的答案，還要求學(xué)生把如何利用概念求得結(jié)果的過(guò)程通過(guò)說(shuō)和寫(xiě)體現(xiàn)出來(lái).如求9的平方根，要求學(xué)生這樣回答：因?yàn)椤?2=9，所以9的平方根是±3.把表征信息作為一種形式和習(xí)慣執(zhí)行，建立信息表征執(zhí)行力的條件反射，用具體的個(gè)案不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念解釋水平的認(rèn)知，這一點(diǎn)對(duì)于習(xí)慣了過(guò)程型導(dǎo)向的學(xué)生來(lái)說(shuō)效果明顯，能有效減少諸如“因?yàn)?的平方是4，所以4的平方根就是2”的錯(cuò)誤.用局部動(dòng)作幫助學(xué)生建立“刺激—反應(yīng)”的聯(lián)結(jié).并通過(guò)習(xí)題量變引起質(zhì)變，讓習(xí)題不僅僅成為學(xué)生獲得使用概念的機(jī)會(huì)，更加成為學(xué)生提升思維的支架.

3.3 強(qiáng)調(diào)運(yùn)算與結(jié)果的非一一對(duì)應(yīng)

有很多老師為了讓學(xué)生深入的理解平方根的概念以及性質(zhì)，想到從學(xué)生熟悉的運(yùn)算的角度對(duì)比闡釋，其具體做法是類比于減法是加法的逆運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算，把開(kāi)方看作是乘方的逆運(yùn)算，筆者認(rèn)可這種做法，同時(shí)筆者還認(rèn)為教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生看清楚，同是運(yùn)算亦有區(qū)別，運(yùn)算形式和運(yùn)算結(jié)果是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提是運(yùn)算形式的域與結(jié)果的域是相同的，如初中階段的加法在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行，而結(jié)果也無(wú)疑是有理數(shù)，但是開(kāi)平方作為一種運(yùn)算它的作用域是非負(fù)實(shí)數(shù)，而結(jié)果的域是全體實(shí)數(shù)，開(kāi)平方將非負(fù)實(shí)數(shù)映射到實(shí)數(shù)上，而正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)是關(guān)于0“對(duì)稱”的，于是產(chǎn)生結(jié)果的對(duì)稱分布即非一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象.為加深學(xué)生的印象，非一一對(duì)應(yīng)可用圖式法表示（圖1），通過(guò)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解非一一對(duì)應(yīng).在這里非一一對(duì)應(yīng)是一個(gè)很好的“反例”，它與后續(xù)知識(shí)“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)”形成鮮明對(duì)比（亦是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，即對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)）因此教師要把一一對(duì)應(yīng)和非一一對(duì)應(yīng)當(dāng)作一種初中數(shù)學(xué)重要的系統(tǒng)觀念、數(shù)學(xué)思想來(lái)教授，對(duì)于后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)大有裨益，不但能在運(yùn)算結(jié)果上對(duì)習(xí)慣于結(jié)果導(dǎo)向型的學(xué)生形成強(qiáng)化（平方根的性質(zhì)是運(yùn)算結(jié)果的不唯一性），而且有利于學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸關(guān)系的理解.要做到這一點(diǎn)教師必須要求學(xué)生達(dá)到一定量的訓(xùn)練（如50個(gè)計(jì)算），然后觀察結(jié)果的共性，讓學(xué)生自己感悟開(kāi)方作為一種運(yùn)算與加減乘除運(yùn)算有所不同的本質(zhì)差異，并借助這種本質(zhì)差異強(qiáng)化學(xué)生的條件反射，減少計(jì)算失誤.

3.4 幫助學(xué)生建立符號(hào)與概念的準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了十個(gè)關(guān)鍵詞，其中之一是符號(hào)意識(shí)，具體是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式[3].符號(hào)是理學(xué)學(xué)科特有的表現(xiàn)形式，它的產(chǎn)生過(guò)程類似于象形文字，是一個(gè)從抽象到產(chǎn)生再到簡(jiǎn)化最后到流行的曲折的過(guò)程，有著深厚的內(nèi)涵和文化底蘊(yùn)，符號(hào)作為一種特殊的“記號(hào)”，它的直觀性強(qiáng)，便于記憶和區(qū)分，且它反映了表達(dá)意義的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)系，成為表達(dá)特定思想的載體和誘導(dǎo)思維的刺激物[4].而代數(shù)概念的另外一個(gè)特點(diǎn)是通過(guò)文字信息和符號(hào)信息有效組合闡述，平方根的概念就是如此，因此要讓學(xué)生在解答主問(wèn)題時(shí)準(zhǔn)確的表征信息，可以借助符號(hào)強(qiáng)烈表征性功能.如主問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)其表征時(shí)，首先立刻寫(xiě)出“± ”，然后將被執(zhí)行對(duì)象“4”填入根號(hào)下，亦能有效減少計(jì)算失誤.而要做到這一點(diǎn)，就要強(qiáng)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，在平方根和“± ”建立準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)關(guān)系.從最寬泛的意義上講，學(xué)習(xí)的目的不是為了表現(xiàn)為形式的知識(shí)本身，知識(shí)就是文化本身，學(xué)習(xí)是文化的傳承活動(dòng)[5].因此還要從文化傳承的高度上設(shè)計(jì)課堂教學(xué).傳統(tǒng)課堂教師直接介紹這符號(hào)，難免生硬，為了消除學(xué)生的認(rèn)知障礙，教師還可以通過(guò)首先讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)平方根符號(hào)的活動(dòng)為鋪墊，然后再引出現(xiàn)在通用的形式，在這中間也可以講述符號(hào)的產(chǎn)生歷史，陶冶學(xué)生的情趣，用數(shù)學(xué)文化的魅力潤(rùn)澤學(xué)生的認(rèn)知.

3.5 適宜的時(shí)機(jī)安排變式訓(xùn)練

心理學(xué)指出：認(rèn)知策略的獲得，需要經(jīng)歷習(xí)得規(guī)則、規(guī)則變式練習(xí)和規(guī)則支配自己的認(rèn)知活動(dòng)這3個(gè)階段，但習(xí)得與變式的時(shí)間較長(zhǎng)，因此需要進(jìn)行變式訓(xùn)練以促進(jìn)解題策略的遷移和思維的提升[6].平方根的概念作為運(yùn)算規(guī)則是一種高于加減乘除的認(rèn)知策略，根據(jù)信息加工理論，這種認(rèn)知策略的品質(zhì)不但與學(xué)生加工記憶時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)，還與學(xué)生多視角表征的經(jīng)歷有關(guān)，因此只有學(xué)生經(jīng)歷不同環(huán)境中不同條件下在具體問(wèn)題和概念之間建立關(guān)聯(lián)（表征）的過(guò)程才能使學(xué)生的認(rèn)知策略到達(dá)相當(dāng)純熟的地步，如教師在學(xué)生學(xué)習(xí)完實(shí)數(shù)之后的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)可以設(shè)計(jì)以下的變式訓(xùn)練問(wèn)題串，幫助學(xué)生理解規(guī)則廣義價(jià)值，建立認(rèn)知策略高階表征經(jīng)驗(yàn)，也便于學(xué)生精準(zhǔn)的把握概念的外延和內(nèi)涵：?jiǎn)栴}1：4的平方根是多少，算術(shù)平方根是多少？問(wèn)題2：4的平方根是多少，算術(shù)平方根是多少？問(wèn)題3：如果一個(gè)數(shù)的平方根是a+6和2a-15，則這個(gè)數(shù)是多少？問(wèn)題4：-42的結(jié)果是多少，平方根和算術(shù)平方根是多少？問(wèn)題5：（3）2的平方根和算術(shù)平方根各是多少？順利解決這些問(wèn)題有利于學(xué)生從不同的角度將平方根的概念作為“萬(wàn)變不離其宗”的表征規(guī)則使用，遇到主問(wèn)題這樣的簡(jiǎn)單題目時(shí)，自然得心應(yīng)手.

3.6 雜說(shuō)

學(xué)習(xí)新知識(shí)是一項(xiàng)復(fù)雜的心理和行為過(guò)程，教師和學(xué)生在過(guò)程中的每個(gè)細(xì)節(jié)都會(huì)對(duì)最終得認(rèn)知結(jié)果產(chǎn)生影響，如學(xué)生錯(cuò)題集的建立（含錯(cuò)題原因分析）、章末學(xué)生數(shù)學(xué)小論文和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的撰寫(xiě)、解題方法總結(jié)等等也是一些能夠提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率、間接培養(yǎng)學(xué)生信息表征的好方法.此外，學(xué)生的意志、興趣和努力程度也會(huì)對(duì)學(xué)生接受知識(shí)、表征信息產(chǎn)生或者好或者壞的影響，作為一名有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師，要全方位關(guān)注課堂，切實(shí)做好授課前中后的每一項(xiàng)工作.

參考文獻(xiàn)

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