廣義逆指數(shù)分布元件的可靠性分析?

邢務強

（西安郵電大學，西安 710121）

廣義逆指數(shù)分布元件的可靠性分析?

邢務強

（西安郵電大學，西安 710121）

在II型混合截尾樣本下，得到了廣義逆指數(shù)分布未知參數(shù)的最大似然估計。利用最大似然估計的漸近正態(tài)性構(gòu)造了參數(shù)的漸近置信區(qū)間，運用Lindley’s逼近方法和Tierney&Kadane’s逼近方法計算出了參數(shù)的Bayes估計。最后，運用Monte-Carlo方法對上述估計方法結(jié)果作了模擬比較。

廣義指數(shù)分布，最大似然估計，Bayes估計，II型混合截尾

0 引言

單參數(shù)指數(shù)分布是應用最為廣泛的一個壽命分布，作為指數(shù)分布的一類推廣，Guptah和Kundu［1］提出了廣義指數(shù)分布，Lin［2］提出了逆指數(shù)分布。文獻［3］討論了逆指數(shù)分布的Bayes估計，Abouammoh和Alshingiti［4］對逆指數(shù)分布引入了一個形狀參數(shù)，得到了廣義逆指數(shù)分布，由于其分布結(jié)構(gòu)的簡單性，廣義逆指數(shù)分布在各方面都有了很多的應用，文獻［5］討論了廣義逆指數(shù)分布在混合I型截尾下的參數(shù)估計，與前人不同，本文討論了II型混合截尾下廣義逆指數(shù)分布的統(tǒng)計分析，主要考慮了分布的參數(shù)估計問題。

II型混合截尾是指假設有n個產(chǎn)品同時進行試驗，設試驗的壽命數(shù)據(jù)的順序統(tǒng)計量為。事先給定和，當試驗進行到至少有R個產(chǎn)品失效并且試驗至少進行到時刻T時，試驗結(jié)束，也即試驗的終止時間為，這樣既保證了得到的有效樣本的個數(shù)，也會節(jié)約試驗的時間。由II型混合截尾的定義可以看出，在II型混合截尾條件下，若不考慮無失效數(shù)據(jù)的情況下，所觀測到的數(shù)據(jù)樣本有如下3種情況：

廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

1 參數(shù)的最大似然估計

綜上討論，最大似然函數(shù)為

其中

對數(shù)似然函數(shù)為

由式（1）可得

將式（3）代入式（2），可得

2 觀察信息陣

為了得到估計參數(shù)的置信區(qū)間，利用最大似然估計的觀察信息陣

其中：

從而可得協(xié)方差矩陣的估計為

3 貝葉斯估計

從而對于已知觀測數(shù)據(jù)，可得的后驗分布為

3.1 Lindley’s逼近

上式右端用最大似然估計值代入，這里

于是，在II型混合廣義逆指數(shù)分布截尾數(shù)據(jù)下

3.2 Tierney&Kadane’s逼近

于是，在II型混合廣義逆指數(shù)分布截尾數(shù)據(jù)下

4 仿真模擬

根據(jù)上面的討論，對廣義逆指數(shù)分布的未知參數(shù)進行采用蒙特卡羅仿真，仿真次數(shù)n=5 000，實驗樣本的個數(shù)n=100，參數(shù)的真值為α=0.6，=1。表1為在截尾時間T=3下，未知參數(shù)在3種不同截尾數(shù)下的最大似然估計值和貝葉斯估計值，括號內(nèi)為估計值與真實值之間均方差，其中貝葉斯估計參數(shù)a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表 2 為在截尾數(shù) R=70 下，未知參數(shù)在3種不同截尾時間下的最大似然估計值和貝葉斯估計值，括號內(nèi)為估計值與真實值之間均方差，其中貝葉斯估計參數(shù)a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表3給出了截尾時間T=5下，未知參數(shù)在3種不同截尾數(shù)下未知參數(shù)真實值落入置信度為0.95的置信區(qū)間的比例。

由表格可以看出：①最大似然估計和兩種情況下的都較為接近參數(shù)的真實值，并且貝葉斯估計的值要優(yōu)于最大似然估計，并且估計值的均方差相應的小于最大似然估計的均方差；②在截尾數(shù)R=70下，隨著隨著截尾時間的增大，參數(shù)的估計值越來越接近真實值，并且估計值的均方差也越來越??；③由觀察信息陣構(gòu)造的置信區(qū)間較為合理，隨著截尾樣本數(shù)量的增大，置信區(qū)間的精度也越來越好。并且修正后的置信區(qū)間要優(yōu)于先前的置信區(qū)間。

表1 截尾時間T=3

表2 截尾數(shù)R=70

表3 截尾時間T=5

［1］GUPTA R D，KUNDU B.Generalized exponential distributions［J］.Australian and New Zealand Journal of Statistics，1999，41（12）：173-188.

［2］LIN C T，DURAN B S，LEWIS T O.Inverted gamma as a life distribution ［J］.Microelectronics and Reliability，1989，29（4）：619-626.

［3］DEY S.Inverted exponential distribution as a life distribution model from a bayesian viewpoint［J］.Data Science Journal，2007，6：107-113.

［4］ABOUAMMOH A M，ALSHINGITI A M.Reliability of generalized inverted exponential distribution［J］.Journal of StatisticalComputation and Simulation ，2009，79（11）：1301-1315.

［5］DEY S，PRADHAN B.Generalized inverted exponential distribution under hybrid censoring［J］.Statistical Methodology，2014（18）：101-114.

［6］MEEKER W Q，ESCOBAR L A.Statistical methods for reliability data［M］.John Wiley&Sons，NewYork，1998.

［7］LINDLEY D V.Approximate Bayesian Methods［J］.Trabajos de stadistca，1980，31（1）：223-245.

［8］TIERNEY L，KADANE J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities［J］.Y.Amer.Statist.Asso，1986，81（393）：82-86.

［9］周潔，賀興時，劉俊利.雙邊定數(shù)截尾場合下BurrⅫ分布的 Bayes估計［J］.統(tǒng)計與決策，2014（20）：25-27.

［10］鄢偉安，宋保維，毛昭勇，雙邊定數(shù)截尾下廣義指數(shù)分布的貝葉斯估計［J］. 計算機工程與應用，2012，48（1）：234-236.

［11］邢務強，師義民.I型混合截尾下指數(shù)—威布爾分布的統(tǒng)計分析［J］.火力與指揮控制，2013，38（5）：55-57.

Reliability Analysis of Generalized Inverted Exponential Distribution Elements

XING Wu-qiang
（Xi’an University of Posts ＆ Telecommunications，Xi’an 710121，China）

Based on type-II hybrid censored samples，the maximum likelihood estimators of the unknown parameters is derived.The approximate confidence intervals for the parameters based on the s-normal approximation to the asymptotic distribution of MLE are constructed.Bayes estimates using Lindley’s approximation method and Tierney&Kadane’s approximation method are developed for estimating the unknown parameters.Finally，Monte-Carlo simulations are performed to observe the behavior of the proposed methods.

generalized inverted exponential distribution，maximum likelihood estimators，Bayes estimates，type-II hybrid censored

O213.2

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.07.005

1002-0640（2017）07-0021-04

2016-05-05

2016-06-07

國家自然科學基金（71401134，71171164）；西安郵電大學中青年基金資助項目（101-0485）

邢務強（1977- ），男，河南三門峽人，在讀博士。研究方向：應用概率統(tǒng)計，可靠性分析。