基于數(shù)學(xué)史的《勾股定理》教學(xué)設(shè)計

鄭育玲

建構(gòu)主義認(rèn)為，真正的理解只能是由學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗，在與環(huán)境的互動過程中建構(gòu)起來的.因此在探索和證明勾股定理的過程中，啟發(fā)學(xué)生從特殊到一般、面積法等經(jīng)驗是有效建構(gòu)的基礎(chǔ).為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自我發(fā)現(xiàn)勾股定理，本節(jié)課首先情景創(chuàng)設(shè)激發(fā)興趣，再通過幾個探究活動引導(dǎo)學(xué)生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三角形，學(xué)生通過觀察圖形，計算面積，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而得到勾股定理.另一方面，課程活動的組織以及師生的反饋互動影響著學(xué)生學(xué)習(xí)本課的質(zhì)量.依據(jù)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一理念，在探索勾股定理的整個過程中，本節(jié)課始終采用學(xué)生自主探索和與同伴合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行主動學(xué)習(xí).教師只在學(xué)生遇到困難時，進(jìn)行引導(dǎo)或組織學(xué)生通過討論來突破難點.

為了培養(yǎng)學(xué)生探索問題與解決問題的能力，本課主要組織了自主畫圖探究以及合作拼圖證明等活動，由學(xué)生親身經(jīng)歷勾股定理的探索過程和證明過程，體會從特殊到一般、轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，并且充分結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)——幾何畫板進(jìn)行教學(xué)，給教學(xué)帶來極大的便利，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

勾股定理的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)注重滲透數(shù)學(xué)史的教學(xué)，使學(xué)生親身經(jīng)歷前人的探索過程，易于學(xué)生接受、掌握和運用. 同時讓學(xué)生感受中國古人的聰明才智，加強(qiáng)民族自豪感！

一、教材分析

本節(jié)主要內(nèi)容是勾股定理的發(fā)現(xiàn)及表達(dá)、趙爽的證明及其相關(guān)歷史. 勾股定理是平面幾何中非常重要的一個定理，揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用.本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時也是學(xué)生認(rèn)識無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性.此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學(xué)與人文價值.

二、學(xué)情分析

八年級學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力，已掌握圖形的面積求法，圖形割補拼，具備基本的學(xué)習(xí)能力.在小學(xué)，他們已學(xué)習(xí)了一些幾何圖形面積的計算方法（包括割補法），但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠. 初二學(xué)生對“形”到“數(shù)”的運用上仍較為薄弱. 同時，初二的學(xué)生，數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝任體會，對從面積的割補來證明勾股定理有一定的難度.部分學(xué)生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認(rèn)識什么是“勾股定理”.此外，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)積極性較高，探究意識較強(qiáng)，課堂活動參與較主動，但合作交流能力和探究能力有待加強(qiáng).

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理.

2.過程與方法

（1）在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想；

（2）通過拼圖活動體驗數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維；

（3）在探究活動中，學(xué)會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究過程.

3.情感態(tài)度價值觀

（1）通過對勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情；

（2）在探究活動中，體驗解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)合作交流意識和探究精神.

四、教學(xué)過程

1.問題情境

活動：復(fù)習(xí)回顧三角形的三邊數(shù)量關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.引出今天的主題，對于特殊的三角形——直角三角形，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

評：復(fù)習(xí)舊知識，將新知識與舊知識建立聯(lián)系，易于理解與掌握.

2.分析探究

活動1：探究等腰直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系.還原畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的歷史著手，引導(dǎo)學(xué)生從面積關(guān)系推導(dǎo)出等腰直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系.

評：通過給出古代數(shù)學(xué)家與勾股定理相關(guān)的圖，引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究的欲望. 體驗勾股定理的探索發(fā)現(xiàn)過程，了解知識的來源，易于掌握和接受新知識. 從面積關(guān)系轉(zhuǎn)化到三邊數(shù)量關(guān)系，體會面積法在勾股定理探索過程中的應(yīng)用.

活動2：探究一般直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系.學(xué)生親自動手畫一般的直角三角形進(jìn)行探究，類似地通過面積關(guān)系得到三邊數(shù)量關(guān)系，在求面積時引導(dǎo)學(xué)生通過切割或者補形的方法去求解.并結(jié)合幾何畫板進(jìn)行直觀演示直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系.

評：讓學(xué)生體驗從特殊到一般的過程，好好體會從特殊到一般的思想方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.讓學(xué)生自己動手，主動探索學(xué)習(xí)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性；同時讓學(xué)生自己推出結(jié)論，可以產(chǎn)生一種成就感，也是對學(xué)生的肯定和贊賞，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣. 讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的思想，通過對圖形的割補將較難求面積的圖形轉(zhuǎn)化為容易求得面積的方法.將現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)融入課堂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且能讓學(xué)生直觀感受勾股定理在直角三角形中的一般性.

3.得出猜想

活動：經(jīng)過從等腰直角三角形到一般直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生組織語言，進(jìn)行猜想.

評：培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從探究到猜想的思維能力.

4.實踐驗證

活動1：趙爽弦圖證法.詳細(xì)敘述我國數(shù)學(xué)家趙爽對勾股定理的證明過程，并說明趙爽對于世界數(shù)學(xué)所做出的重大貢獻(xiàn)，并由此證明方法滲透數(shù)形結(jié)合的思想.勾股定理出來之后，對定理進(jìn)行辨析，并由此定理可對直角三角形的三邊進(jìn)行“知二求一”.

評：以“猜想——命題——證明——定理”的形式給出勾股定理，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)密性和科學(xué)性.基于有意義學(xué)習(xí)理論，讓學(xué)生理解勾股定理的符號形式的真正含義，有效避免機(jī)械學(xué)習(xí)，利于學(xué)生掌握和運用. 讓學(xué)生對勾股定理的應(yīng)用有個初步的認(rèn)識，為下節(jié)課深入學(xué)習(xí)其應(yīng)用做鋪墊. 同時在“知二求一”中體會分類討論的思想.勾股定理歷史的介紹是對學(xué)生進(jìn)行文化熏陶，“趙爽弦圖”的證明是為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神，增強(qiáng)民族自豪感，同時體會數(shù)形結(jié)合的魅力所在.

5.總結(jié)升華

活動：回顧總結(jié)勾股定理從猜想到證明的過程，并總結(jié)勾股定理的歷史意義.勾股定理是世界數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，它的意義十分重大：它是聯(lián)系數(shù)與形的第一定理，導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

評：讓學(xué)生回顧整堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使其學(xué)有所得. 引導(dǎo)學(xué)生一同總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會總結(jié)善于總結(jié)的好習(xí)慣. 并且通過總結(jié)進(jìn)一步強(qiáng)化從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想方法.揭示勾股定理的重大意義，體會勾股定理的魅力所在.

參考文獻(xiàn)：

[1]神奇的勾股定理[A]. 白浩宇.第四屆世紀(jì)之星創(chuàng)新教育論壇論文集[C]. 2016.