導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

金春?張婷毅

[摘 要]導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)基本性質(zhì)、變化率以及優(yōu)化問題上強(qiáng)有力的工具，圍繞著導(dǎo)數(shù)知識(shí)的高考命題研究層出不窮。 由于受學(xué)生思維水平以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的限制， 導(dǎo)數(shù)的教學(xué)做了簡(jiǎn)化處理， 教學(xué)過程以理解為主， 淡化形式。 其次， 圍繞著導(dǎo)數(shù)中學(xué)常做大量技巧性的解題訓(xùn)練，突出其應(yīng)用。 缺乏對(duì)該知識(shí)拓展和延伸， 無法在更高的視野下重視所學(xué)內(nèi)容。 本文將以導(dǎo)數(shù)為例， 探究導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用， 將中學(xué)數(shù)學(xué)中已下移的導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行深入， 對(duì)沒有進(jìn)入中學(xué)的知識(shí)進(jìn)行下放。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué)； 中學(xué)數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)

一、導(dǎo)數(shù)的定義

通過瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率定義導(dǎo)數(shù)概念直觀形象， 符合中學(xué)生的認(rèn)知水平。 但在教學(xué)過程中， 存在以下問題。

1.學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義中的自變量趨于某一值沒有充分理解， 對(duì)“無限逼近”是不是意味著值能取得到存在困惑， 有的學(xué)生認(rèn)為一定在定義域范圍內(nèi)。

導(dǎo)數(shù)教學(xué)借鑒了國(guó)外課程設(shè)置， 課程的編排采取“無極限導(dǎo)數(shù)”的策略， 從注重形式化到借助直觀物理模型引入導(dǎo)數(shù)概念， 強(qiáng)調(diào)以理解為主， 淡化形式， 突出概念的本質(zhì)， 不再將導(dǎo)數(shù)概念過早地“形式化”， 也導(dǎo)致學(xué)生對(duì)極限思想、無窮小量的理解不夠。 如果引入導(dǎo)數(shù)的形式化定義， 那么課程設(shè)置需要從講述數(shù)列、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、到導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用， 微積分知識(shí)的完整性得到了充分的體現(xiàn)， 但這種課程設(shè)置沒有考慮學(xué)生的認(rèn)知水平， 學(xué)生的理解能力有限， 抽象思維能力不夠。 由此可見， 對(duì)極限定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊牒徒榻B， 體會(huì)“無限逼近”的思想價(jià)值對(duì)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的探索十分有必要。 同時(shí)要注意避免極限概念對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的干擾， 為了適應(yīng)新的概念， 個(gè)體必須對(duì)原有概念進(jìn)行改造， 使其適應(yīng)新的情景， 形成新的數(shù)學(xué)觀。

為了透徹理解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)概念的極限思想， 有必要講述時(shí)函數(shù)的極限。 設(shè)是定義在點(diǎn)的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)的函數(shù)， 討論當(dāng)趨于時(shí)， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個(gè)定數(shù)， 尤其是在處是可以無定義的。

有必要對(duì)無窮小量概念進(jìn)行講解， 講解比式的極限求導(dǎo)。

在數(shù)學(xué)概念的習(xí)得過程中，學(xué)生長(zhǎng)期使用通過觀察大量數(shù)學(xué)事例的方法進(jìn)行歸納概括， 而不是在符號(hào)表征的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理和證明， 也沒有對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步推廣。 因此， 有必要在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中， 立足于高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性為中學(xué)課程設(shè)計(jì)提供多種思路， 為中學(xué)解題提供多種解法和拓展。中學(xué)涉及了， 以及等的極限， 講解無窮小量有一定的必要性， 避免機(jī)械記憶。

從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程過于粗糙， 學(xué)生沒有體會(huì)到極限思想 。

學(xué)生對(duì)于瞬時(shí)速度的認(rèn)識(shí)不深刻， 盡管能通過物理知識(shí)充分區(qū)別平均速度和瞬時(shí)速度， 但他們對(duì)于瞬時(shí)速度的表述是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)， 而不是通過平均速度逼近得來的。 由于在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前， 沒有學(xué)習(xí)過極限概念， 只是把導(dǎo)數(shù)當(dāng)作特殊極限處理， 因此在教學(xué)過程中， 應(yīng)該充分讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到取極限的過程， 尤其是當(dāng)趨于時(shí)， 平均變化率取極限的過程， 用切線逼近割線體會(huì)“無限逼近”的思想， 從靜態(tài)處理過渡到動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)概念。

2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

（1）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

中學(xué)關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是在平均變化率的基礎(chǔ)上， 用瞬時(shí)變化率逼近的， 通過導(dǎo)數(shù)的定義求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 包括常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)。 對(duì)于與， 學(xué)生經(jīng)?；煜?在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)后， 學(xué)生對(duì)反函數(shù)有了一定的了解， 對(duì)高等數(shù)學(xué)中反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理可以做一定的簡(jiǎn)化處理。

定理1 設(shè)為的反函數(shù)， 若在點(diǎn)的某領(lǐng)域上連續(xù)， 嚴(yán)格單調(diào)且， 則在點(diǎn)可導(dǎo)， 且

對(duì)該定理做簡(jiǎn)化處理， 對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足上述定理， 由此可將二者聯(lián)系起來加深理解。

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)遵循從外到內(nèi)的原則， 即鏈?zhǔn)椒▌t， 在中學(xué)已有大量應(yīng)用。

對(duì)于多個(gè)函數(shù)復(fù)合而得的復(fù)合函數(shù)， 只需反復(fù)應(yīng)用上述法則即可。

例1 設(shè)， 求。

部分學(xué)生把函數(shù)誤看作， 導(dǎo)致錯(cuò)解。

錯(cuò)解 令， 。

正解 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將看作兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合， 則

4.高階導(dǎo)數(shù)。

中學(xué)數(shù)學(xué)目前沒有涉及到高階導(dǎo)數(shù)， 實(shí)際上， 高階導(dǎo)數(shù)在泰勒展式以及求解函數(shù)的拐點(diǎn)等有廣泛應(yīng)用。 在中學(xué)數(shù)學(xué)中， 對(duì)于一般角的三角函數(shù)值只能通過查表或借助計(jì)算器得到， 可介紹高等數(shù)學(xué)中的高階導(dǎo)數(shù)與泰勒展式進(jìn)行近似計(jì)算。

二、單調(diào)性與極值

中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)是在觀察大量函數(shù)模型如一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上， 歸納出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 而高等數(shù)學(xué)中關(guān)于單調(diào)函數(shù)的定義是通過導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行界定的， 其中涉及到函數(shù)極限的保不等式性與保號(hào)性。 事實(shí)上， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來定義函數(shù)的單調(diào)性是順其自然的思路。 只是學(xué)生會(huì)對(duì)過程中的保號(hào)性與保不等式性產(chǎn)生疑慮， 教師只需做出說明， 簡(jiǎn)單講解原因即可， 提供函數(shù)單調(diào)性定義的另一種思路。 培養(yǎng)學(xué)生研究問題的嚴(yán)謹(jǐn)性， 改善以往研究問題只靠從大量實(shí)例中歸納總結(jié)的思維習(xí)慣。

中學(xué)接觸的是極值的第一充分條件， 簡(jiǎn)言之， 導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著原函數(shù)的增減， 通過畫表格的方式得到函數(shù)的極值。 事實(shí)上， 極值的第二充分條件在中學(xué)也有廣泛應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以為中學(xué)課程設(shè)計(jì)與解題提供多種思路，對(duì)公式定理加以延伸和拓展。 研究高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用對(duì)彌補(bǔ)二者在知識(shí)和思想方法上的斷層有一定的實(shí)際意義。 但是， 利用高等數(shù)學(xué)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題應(yīng)該建立在其實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上， 不能一味地?cái)U(kuò)大其作用， 以免增加學(xué)生負(fù)擔(dān)， 適得其反。 在實(shí)際教學(xué)過程中， 關(guān)于高等數(shù)學(xué)在中學(xué)的可下移程度還需進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)探究。

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大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目 陳崢立副教授；