電動(dòng)汽車(chē)用鋰離子電池的建模與SOC估算

童佳俊 方忠慧 端鵬 齊國(guó)慶 張莉娟

（南京中歐威能新能源動(dòng)力系統(tǒng)有限公司）

電池的荷電狀態(tài)（SOC）反映的是電池的剩余電量。SOC的估算是電池管理系統(tǒng)（BMS）中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，也是整個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)之一，其估算的準(zhǔn)確度將直接影響到整車(chē)的控制策略。目前通常采用的方法是建立電池的等效電路模型來(lái)分析電池外部特性從而計(jì)算SOC，而傳統(tǒng)的Rint和Thevenin電池模型其結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，精度不高，并且目前國(guó)內(nèi)外產(chǎn)品中普遍采用的SOC計(jì)算方法是安時(shí)積分法，這種估算方法雖然原理較為簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，但是其估算精度有限，依賴(lài)于SOC初值，并且容易產(chǎn)生累計(jì)誤差?；谝陨蠁?wèn)題，該文采用了2階RC等效電路模型，并運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）來(lái)估算SOC，經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，達(dá)到了預(yù)期的效果。

1 等效電路模型

1.1 2階RC等效電路模型

電池的充放電過(guò)程是一段復(fù)雜的電化學(xué)過(guò)程，為了確定其電壓、電流、SOC及內(nèi)阻等特征量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，首先需要建立電池的等效模型，如圖1所示。Thevenin模型具有較為良好的非線(xiàn)性，能夠模擬出電池的充放電特性，并且模型較為簡(jiǎn)單，便于計(jì)算，因此得到了廣泛應(yīng)用，其電路結(jié)構(gòu)，如圖1a所示，模型中使用單RC環(huán)來(lái)表示電池的極化現(xiàn)象。然而在電池實(shí)際的充放電過(guò)程中存在著多個(gè)極化現(xiàn)象，例如：濃差極化和電化學(xué)極化等，因此可以在模型中采用多個(gè)RC環(huán)相串聯(lián)來(lái)表示不同的極化現(xiàn)象，從而提高電池模型的精度，但同時(shí)這樣計(jì)算量也會(huì)大大增加，通過(guò)權(quán)衡模型精度以及計(jì)算難度后，文章采用2階RC的等效電路模型，如圖1b所示。

圖1 電池等效電路模型

1.2 模型參數(shù)辨識(shí)

在確定了電池的等效模型之后，需要根據(jù)電池的實(shí)際性能對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。這里需要辨識(shí)的參數(shù)有：UOC，R0，R1，C1，R2，C2。文章所使用的電池是一個(gè)由45塊18650型三元電池并聯(lián)組成的電池模塊包，額定電壓為3.6 V，額定容量為117 A·h。模型的參數(shù)辨識(shí)通過(guò)脈沖放電試驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，試驗(yàn)步驟為：在不同的SOC下，將電池以58.5 A電流恒流放電400 s后靜置2 h，利用電池測(cè)試柜實(shí)時(shí)采集電池的電壓和電流等動(dòng)態(tài)參數(shù)。試驗(yàn)過(guò)程中電壓和電流變化曲線(xiàn)，如圖2所示。

圖2 脈沖放電試驗(yàn)中電流與電壓的變化曲線(xiàn)

1.2.1 開(kāi)路電壓的辨識(shí)

在電池的充放電過(guò)程中，電池的SOC與電池電動(dòng)勢(shì)之間有一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。電池電動(dòng)勢(shì)的獲取比較困難，而在電池長(zhǎng)時(shí)間靜置后，其內(nèi)部的極化反應(yīng)消失，此時(shí)其開(kāi)路電壓與電池的電動(dòng)勢(shì)近似相等，因此采用開(kāi)路電壓來(lái)代替電池電動(dòng)勢(shì)。通常測(cè)定“SOC-開(kāi)路電壓”關(guān)系采用的方法是選取不同的SOC點(diǎn)，測(cè)量電池充分靜置后的開(kāi)路電壓，然而這種方法需要花費(fèi)大量的時(shí)間。文獻(xiàn)[1]提出了一種快速測(cè)量開(kāi)路電壓的方法，并對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。試驗(yàn)步驟為：在某個(gè)SOC點(diǎn)，電流58.5 A放電10 s，靜置40 s；電流58.5 A充電10 s，靜置40 s，取2次靜置40 s后電壓的均值，即為當(dāng)前SOC狀態(tài)下的開(kāi)路電壓，再利用MATLAB軟件對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到SOC-開(kāi)路電壓曲線(xiàn)，如圖3所示。

圖3 SOC-開(kāi)路電壓擬合曲線(xiàn)

擬合所得公式，如式（1）所示。

1.2.2 歐姆內(nèi)阻及極化參數(shù)的辨識(shí)

在圖2所示的放電過(guò)程中，放電開(kāi)始和放電結(jié)束時(shí)電壓有一個(gè)瞬間的直線(xiàn)下降過(guò)程，這是由電池的歐姆內(nèi)阻（R0）引起的。利用這個(gè)特性計(jì)算電池的歐姆內(nèi)阻，如式（2）所示。

式中：UA，UB——電池在圖2中A，B點(diǎn)處的電壓，mV。

由于電池開(kāi)始放電前已經(jīng)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的靜置，其內(nèi)部極化反應(yīng)已經(jīng)消失，故圖2中A～C過(guò)程可以看作是電壓的零狀態(tài)響應(yīng)過(guò)程。電池兩端的電壓，如式（3）所示。

式中：e——常數(shù)，e=2.718 281 8…；

t——時(shí)間，s。

圖2中，C～E過(guò)程是電池在放電后靜置的過(guò)程，其電壓變化過(guò)程可以看作是零輸入響應(yīng)過(guò)程，表達(dá)式如式（6）所示。

式中：U1C，U2C——電阻R1，R2在圖2中C點(diǎn)處電壓，mV。

令：

式中：tC——圖2中C點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的時(shí)間，s。

則式（6）可以化簡(jiǎn)成：

然后利用MATLAB擬合工具，對(duì)圖2中的DE曲線(xiàn)按照式（8）進(jìn)行自定義公式擬合，得到 a，b，c，d，f的值，再根據(jù)式（7），即可得到 R1，R2，C1，C2的辨識(shí)結(jié)果。

最終 R0，R1，R2，C1，C2的辨識(shí)結(jié)果，如表 1 所示。

表1 2階RC等效電路模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

2 EKF估算電池SOC

EKF算法是對(duì)經(jīng)典卡爾曼濾波器的擴(kuò)展，將非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程進(jìn)行線(xiàn)性化處理，再利用卡爾曼濾波算法的遞推過(guò)程對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估算[2]。

2.1 EKF算法流程

EKF狀態(tài)方程和輸出方程，如式（9）所示[3]。

式中：xk+1，xk——系統(tǒng)的狀態(tài)變量；

uk——控制函數(shù)；

yk——系統(tǒng)的觀測(cè)變量；

f（xk,uk）——非線(xiàn)性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；

g（xk,uk）——非線(xiàn)性測(cè)量函數(shù)；

wk，vk——k時(shí)刻的過(guò)程噪聲、測(cè)量噪聲。

根據(jù)圖1，選取電池的SOC以及2個(gè)RC回路上的電壓（U1，U2）作為電池的狀態(tài)參數(shù)，并以I為輸入量，U為輸出量。則在電流激勵(lì)下，各狀態(tài)參數(shù)的關(guān)系，如式（10）所示。

式中：T——采樣周期，s；

Q——電池的額定容量，A·h；

τ1，τ2——R1C1環(huán)、R2C2環(huán)的時(shí)間常數(shù)，s；

U1（k），U2（k）——在k時(shí)刻電阻R1，R2兩端的電壓，mV。

令：xk=[SOCkU1（k）U2（k）]T，可將式（10）改寫(xiě)為：

由電池等效電路模型得知，輸出量（即電池兩端電壓U）與狀態(tài)參數(shù)的關(guān)系，如式（13）所示。

式中：Uk——k時(shí)刻電池兩端電壓，mV。

由1.2小節(jié)可知，UOC與SOC之間是非線(xiàn)性關(guān)系，因此UOC（SOCk）是非線(xiàn)性函數(shù)，根據(jù)EKF原理，對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性化處理[4]：

式中：Ck——雅克比矩陣。

令：yk=Uk，則電池模型的輸出方程，如式（15）所示。

最后，利用EKF算法估算電池SOC的具體步驟如下：

1）為 xk、均方估計(jì)誤差（Pk）、過(guò)程噪聲方差（Qk）、觀測(cè)噪聲方差（Rk）設(shè)定初值。

2）根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值（xk-1）和均方誤差估計(jì)值（Pk-1），對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)估計(jì)：

3）計(jì)算卡爾曼增益：

4）根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的電壓測(cè)量值（yk）和卡爾曼增益（Kk），修正狀態(tài)估計(jì)值和均方差估計(jì)值，得到最優(yōu)估計(jì)：

循環(huán)步驟2）～4）即可得到每個(gè)時(shí)刻的SOC值。

2.2 EKF算法估算SOC仿真

基于以上計(jì)算，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建了SOC估算仿真模型，如圖4所示。模型由參數(shù)估計(jì)、電池模型及EKF算法3個(gè)子系統(tǒng)組成，模型輸入為電池工作電流，以當(dāng)前時(shí)刻的SOC估計(jì)值作為下一時(shí)刻的輸入，通過(guò)算法的不斷迭代得到每一時(shí)刻的SOC最優(yōu)估計(jì)，最后將仿真結(jié)果與SOC理論值對(duì)比來(lái)驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確度。

圖4 EKF估算SOC仿真模型

圖5示出仿真模型計(jì)算出的估計(jì)值和SOC理論值的對(duì)比，SOC的初值為0.8。為了驗(yàn)證EKF算法的有效性，將模型的初始SOC值分別設(shè)為0.85和0.75，仿真結(jié)果表明，EKF算法估算精度較高，并且不依賴(lài)于初值，對(duì)初始誤差有很強(qiáng)的修正作用。

圖5 EKF估算SOC仿真結(jié)果

3 結(jié)論

文章在Thevenin模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，建立了2階RC等效電路模型，通過(guò)脈沖放電試驗(yàn)完成了電池內(nèi)部參數(shù)的離線(xiàn)辨識(shí)，提高了電池模型的精確度；并將EKF算法應(yīng)用在SOC的估算上，解決了傳統(tǒng)安時(shí)積分法所帶來(lái)的初始誤差與累計(jì)誤差的問(wèn)題。該算法在提高SOC估算精度的同時(shí)，也提高了其可靠性。仿真結(jié)果表明，該算法具有較好的收斂性，在不同的SOC初值下都能夠較快地收斂于真值。

文章建立的2階RC等效電路模型參數(shù)是通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)離線(xiàn)辨識(shí)得到，由于電池在工作過(guò)程中模型參數(shù)是實(shí)時(shí)變化的，因此通過(guò)離線(xiàn)方式辨識(shí)的模型參數(shù)并不一定能很好地跟蹤模型真實(shí)值。可以通過(guò)在線(xiàn)辨識(shí)的方法來(lái)提高模型參數(shù)的準(zhǔn)確度，從而建立更準(zhǔn)確的電池模型，這也是下一步的研究工作之一。