立足生活經(jīng)驗(yàn) 發(fā)展數(shù)學(xué)思考

朱長(zhǎng)和

【摘要】分?jǐn)?shù)是小學(xué)生需要著重理解和掌握的重要的數(shù)，這不僅僅是由于分?jǐn)?shù)在我們的日常生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，還因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)將有助于加深對(duì)整數(shù)和小數(shù)等知識(shí)的理解，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。筆者教學(xué)過(guò)《分?jǐn)?shù)的意義》之后有一些思考，我們?cè)诮虒W(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵；要加強(qiáng)比較，促進(jìn)理解提升；必須以數(shù)軸來(lái)強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的意義在“數(shù)”上的拓展，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

【關(guān)鍵詞】 分?jǐn)?shù)；本質(zhì)；思考

分?jǐn)?shù)是小學(xué)生需要著重理解和掌握的重要的數(shù)，這不僅僅是由于分?jǐn)?shù)在我們的日常生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，還因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)將有助于加深對(duì)整數(shù)和小數(shù)等知識(shí)的理解，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。為此，在蘇教版教材中，分三次來(lái)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，三年級(jí)時(shí)學(xué)生曾經(jīng)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，知道把一個(gè)物體、一個(gè)圖形或由許多物體組成的整體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來(lái)表示。本單元主要是探索并理解分?jǐn)?shù)的意義，探索并掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。在此之后，學(xué)生還將繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，學(xué)習(xí)依據(jù)分?jǐn)?shù)的意義分析和解答相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這單元內(nèi)容的教學(xué)，不僅可以擴(kuò)展學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，而且能夠有效提升學(xué)生思維的抽象水平，促進(jìn)其對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步理解和把握。

一、以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，理解知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵

實(shí)踐表明，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)內(nèi)容的載體，是情感的誘因，是教學(xué)活動(dòng)的平臺(tái)。本節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生在相對(duì)抽象的層面進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義是教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解從來(lái)就不是一蹴而就的，而是不斷豐富、逐步完善、螺旋上升的過(guò)程。在構(gòu)筑分?jǐn)?shù)的概念時(shí)，主要分三個(gè)層次來(lái)幫助學(xué)生逐步豐富和完善對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。第一層次，出示蛋糕圖、長(zhǎng)方形、一米直條圖和由6個(gè)圓圈組成的一個(gè)整體，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系在此前活動(dòng)中對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，借助圖形說(shuō)說(shuō)這4個(gè)分?jǐn)?shù)所表達(dá)的意義，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)是把什么平均分成幾份，表示這樣的幾份。第二層次，引入單位“1”的概念，加強(qiáng)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。實(shí)踐證明，在分?jǐn)?shù)意義的抽象過(guò)程中，認(rèn)識(shí)單位“1”是建立分?jǐn)?shù)意義的重要環(huán)節(jié)，而準(zhǔn)確建立單位“1”的概念則是重中之重，這一方面是因?yàn)橹挥薪挝弧?”的概念，不同情境中的分?jǐn)?shù)才會(huì)有更高層面的一致性，分?jǐn)?shù)的大小比較以及相關(guān)的四則運(yùn)算也才能合乎邏輯地實(shí)施；另一方面，只有真正理解單位“1”的概念，學(xué)生才能更好地解釋具體情境中的分?jǐn)?shù)含義，并在此基礎(chǔ)上分析和解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)中通過(guò)問(wèn)學(xué)生，剛才平均分的對(duì)象是什么，答案可以是一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位，還可以是由許多物體組成的一個(gè)整體，告知學(xué)生這在我們數(shù)學(xué)上可以用自然數(shù)“1”表示，即單位“1”，并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)生活中我們可以把哪些東西 當(dāng)作單位“1”進(jìn)行平均分，并展示“一群羊”“4千克蘋果”“一條線段”“一堆圓片”，幫助學(xué)生豐富單位“1”的概念。第三層次，帶入新知理解分?jǐn)?shù)的意義，這里首先讓學(xué)生用單位“1”平均分來(lái)分別解釋、說(shuō)明每個(gè)分?jǐn)?shù)的含義；接著讓學(xué)生綜合這些分?jǐn)?shù)“都是怎樣得到的數(shù)”，思考不同分?jǐn)?shù)表示的含義的共同點(diǎn)，抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征；然后依據(jù)感受到并交流出的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生“說(shuō)出怎樣的數(shù)是分?jǐn)?shù)”。出示“把（）看作單位‘1 ，平均分成幾份，表示這樣的幾份，得到分?jǐn)?shù)（）”模板，指名讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，并作相應(yīng)板書。拋出問(wèn)題“那分?jǐn)?shù)是怎么得到的呢？”，就顯得水到渠成了，“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)?！泵绹?guó)認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇泊爾說(shuō)過(guò)“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)”。以上活動(dòng)，從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，有效喚醒學(xué)生原有“平均分”和“認(rèn)識(shí)幾分之幾”的認(rèn)識(shí)，經(jīng)過(guò)三個(gè)層次的鋪墊點(diǎn)撥，逐步抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。這樣建立概念的過(guò)程，是一個(gè)感知具體事實(shí)，分析各個(gè)對(duì)象的含義，綜合各個(gè)對(duì)象的共同特點(diǎn)，抽象一類事物的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步概括出概念的過(guò)程。這樣的教學(xué)既有效尊重了學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，適應(yīng)了他們的學(xué)習(xí)需求，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)概念的抽象和表達(dá)過(guò)程，幫助學(xué)生進(jìn)一步積累探索學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的基本思想。

二、加強(qiáng)比較，促進(jìn)理解提升

數(shù)學(xué)課堂對(duì)我們教師的要求是不僅要傳授知識(shí)和方法，更要注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。有比較才有發(fā)現(xiàn)，為了讓學(xué)生更好地從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)的意義，本節(jié)課設(shè)置了三個(gè)比較環(huán)節(jié)。第一次比較，用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，師：“三幅圖單位‘1相同嗎？那為什么都用分?jǐn)?shù)四分之一表示？”生：“都是把單位‘1平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示?！睅煟骸皩?duì)了，它們都是把單位‘1平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示，和單位‘1具體是什么沒(méi)有關(guān)系?！钡诙伪容^，師：“那是不是單位‘1是什么就不重要了呢？”出示，涂色表示出四分之一，師：“都是四分之一，為什么涂色三角的個(gè)數(shù)卻不一樣呢？”“看來(lái)單位‘1很重要，它決定著分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)量。第一幅圖是4個(gè)三角的四分之一，所以涂1個(gè)三角；第二幅圖是8個(gè)三角的四分之一，所以涂2個(gè)三角；第三幅圖是12個(gè)三角的四分之一，所以涂3個(gè)三角。所以單位‘1很重要?！钡谌伪容^，用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，“這一次單位‘1相同嗎？涂色的方框的個(gè)數(shù)呢？既然都相同，為什么表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同呢？”“這樣看來(lái)，要準(zhǔn)確表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位‘1是什么，還要關(guān)注單位‘1被平均分成了幾份，表示這樣的幾份”，同時(shí)進(jìn)行課件演示，聯(lián)系上圖，“被平均分成的份數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分母，表示的份數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分子，這就是分?jǐn)?shù)的意義?！蓖ㄟ^(guò)這樣的三次層次的比較，為學(xué)生提供了豐富的感性素材，觸發(fā)了思維的火花，讓學(xué)生在求同辨異中主動(dòng)進(jìn)行抽象和概括，在思考中逐步明晰知識(shí)要點(diǎn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì)，并積累數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。而在教學(xué)中，則盡可能展示學(xué)生進(jìn)行比較過(guò)程中的各種體驗(yàn)和感悟，幫助他們將模糊的感受明朗化、零散的體驗(yàn)系統(tǒng)化，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效提升。

三、以數(shù)軸強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的意義在“數(shù)”上的拓展

我們知道分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，同時(shí)也可以表示一個(gè)具體的數(shù)值，和整數(shù)相比，在刻畫事物的量的特性上分?jǐn)?shù)顯得更加準(zhǔn)確。本節(jié)課我們需要幫助學(xué)生體會(huì)：一是在隨便兩個(gè)分?jǐn)?shù)間有若干個(gè)分?jǐn)?shù)，著重讓學(xué)生體驗(yàn)它的稠密性。二是在數(shù)軸上每個(gè)分?jǐn)?shù)都有相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。練習(xí)時(shí)，出示數(shù)軸（教學(xué)時(shí)說(shuō)數(shù)直線），并說(shuō)明：在數(shù)軸上，每一個(gè)數(shù)都有著對(duì)應(yīng)的位置，比如我們之前學(xué)過(guò)的整數(shù)0、1、2、…可以這樣表示，并標(biāo)上數(shù)字，“哪一段可以用單位‘1表示呢？”師，“上面這些分?jǐn)?shù)分別是將單位‘1平均分成幾份，表示這樣的幾份？你能在數(shù)直線上找出這些分?jǐn)?shù)的位置，并和大家說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？”（在學(xué)生說(shuō)的過(guò)程中，課件出示這些分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）適時(shí)追問(wèn)：“在這條數(shù)直線上，除剛才這些分?jǐn)?shù)以外，你還能找到其他的分?jǐn)?shù)嗎？說(shuō)說(shuō)這個(gè)分?jǐn)?shù)的含義和在數(shù)直線上的大致位置范圍。像這樣的分?jǐn)?shù)你找得完嗎？”通過(guò)以上的活動(dòng)延伸，就可以讓學(xué)生比較深入地體會(huì)分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，初步感受分?jǐn)?shù)的稠密性。

為了突破學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)局限在0-1之間，在學(xué)生建立分?jǐn)?shù)概念時(shí)，需要將學(xué)生的思維進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?。師：“在剛才的學(xué)習(xí)中，我們?cè)跀?shù)直線上找了一下分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的位置，那么請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)看數(shù)直線，分?jǐn)?shù)僅僅存在于整數(shù)0-1之間嗎？在1后面你就找不到分?jǐn)?shù)了嗎？比如我們?cè)谶@個(gè)位置找到了四分之一，并且在數(shù)軸上數(shù)出了2個(gè)四分之一、3個(gè)四分之一，你還能繼續(xù)往下數(shù)嗎？”學(xué)生會(huì)順勢(shì)數(shù)出：4個(gè)四分之一 ，并且能判斷出4個(gè)四分之四就是1。之后老師讓學(xué)生接著往下數(shù)5個(gè)四分之一，6個(gè)四分之一是……在數(shù)的過(guò)程中學(xué)生自然又會(huì)自我懷疑，這些數(shù)是不是分?jǐn)?shù)了，這時(shí)老師相機(jī)引領(lǐng)學(xué)生理解這里究竟是多少（指著四分之五處）。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，認(rèn)為是四分之五，馬上又有學(xué)生對(duì)此進(jìn)行反駁，認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)應(yīng)該比1大。教師這時(shí)及時(shí)追問(wèn)：“在數(shù)直線上每一點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)顯然比1大了，而且還不能用整數(shù)表示，那么它是幾分之幾呢？怎么表示呢？”這一問(wèn)題正是學(xué)生思維沖突最強(qiáng)烈的問(wèn)題，而教學(xué)實(shí)踐表明，恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知沖突對(duì)學(xué)生思維發(fā)展是至關(guān)重要的。學(xué)生就這一問(wèn)題展開(kāi)討論，最后形成共識(shí)：這個(gè)分?jǐn)?shù)比1大，由5個(gè)四分之一組成，是四分之五，而后面的分?jǐn)?shù)則可以此類推，同時(shí)教師指出：像這樣的分?jǐn)?shù)，在后面我們將會(huì)進(jìn)一步研究。在上述的教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)以前的學(xué)習(xí)探究，對(duì)真分?jǐn)?shù)已經(jīng)能與數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行了一一對(duì)應(yīng)，但是由于之前沒(méi)有接觸過(guò)假分?jǐn)?shù)，因此存在思維定式。今天的教學(xué)憑借數(shù)軸無(wú)限延伸的特征，讓學(xué)生及時(shí)打破思維定式，憑著整數(shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，感知在1后面還有無(wú)限多個(gè)分?jǐn)?shù)，并且這些分?jǐn)?shù)都比1大，同時(shí)通過(guò)這個(gè)過(guò)程，也可以讓學(xué)生更好地理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的相互關(guān)系，從而促進(jìn)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。