基于MATLAB的支架裝配精度優(yōu)化算法

郭閱

（中國第一汽車股份有限公司技術(shù)中心）

在轎車開發(fā)過程中，零部件與整車的連接是非常重要的一環(huán)，幾乎所有的零部件都是通過螺接、卡接或粘接等方式裝配到整車上。這些零部件的裝配精度直接影響了整車的品質(zhì)。外觀件裝配精度差主要影響整車的美觀性，重要部件（如底盤件）裝配精度差會(huì)直接影響整車的性能。在工作中經(jīng)常遇到由于尺寸鏈過長而導(dǎo)致零部件裝配精度很差或零部件裝配不上的情況。為了保證零部件的裝配精度，最好將零部件直接連接到整車上，但有時(shí)需要在該件與整車之間增加1個(gè)支架，增加的支架會(huì)導(dǎo)致尺寸鏈變長，影響最終的裝配精度。支架的裝配精度會(huì)直接影響待裝零部件的裝配精度。文章對(duì)支架不同定位方式對(duì)裝配精度產(chǎn)生的影響展開說明，提出了一種快速分析及優(yōu)化零件裝配精度的方法。

1 支架的定位

為了減少在生產(chǎn)線上的調(diào)整和保證裝配精度，支架在裝配前需要進(jìn)行定位，常見的定位方式有：圓孔和長圓孔定位，以及圓孔和圓孔定位等。

1.1 圓孔和長圓孔定位

一般零件設(shè)計(jì)中常用圓孔和長圓孔進(jìn)行定位，如圖1和圖2所示。通常要求長圓孔的長軸與2個(gè)螺栓中心點(diǎn)連線同軸，如圖1a所示。在這種情況下，即使2個(gè)螺栓的實(shí)際距離與理論距離存在偏差，粉色件也會(huì)有很高的定位精度，如圖1b所示。若長圓孔長軸線與螺栓中心連線不平行時(shí)，粉件在裝配過程中會(huì)在其理論位置附近產(chǎn)生一定的偏差，根據(jù)假設(shè)做出存在裝配偏差時(shí)的數(shù)模，如圖2所示。實(shí)際上，隨著長圓孔長軸線與螺栓中心連線的夾角逐漸增大，零件裝配后的位置與其理論位置的偏差也會(huì)越來越大。在不同夾角且存在裝配偏差的條件下，粉件長圓孔幾何中心偏離其理論位置的曲線圖，如圖3所示。

圖1 長圓孔長軸與螺栓中心連線同軸示意圖

圖2 長圓孔長軸與螺栓中心連線不同軸示意圖

圖3 長圓孔長軸與螺栓中心連線夾角與粉件裝配偏差的關(guān)系曲線

1.2 小圓孔和大圓孔定位

采用小圓孔和大圓孔定位（如圖4所示）的精度不如圓孔和長圓孔定位。如圖4a所示，粉色件的主定位孔直徑為φ8.2，考慮到M8焊接螺栓與粉件的大孔均存在位置度偏差，假定偏差為±1 mm，則粉色件的大孔至少要開到φ12才能保證正常裝配。圖4b示出粉件在裝配后可能出現(xiàn)的極限情況，其裝配位置與理論位置的最大偏差為1.715 mm，定位精度較差。

圖4 小圓孔和大圓孔定位示意圖

1.3 2個(gè)等直徑圓孔定位

轎車中出現(xiàn)2個(gè)等直徑圓孔定位的情況很常見，如蓄電池托盤、發(fā)動(dòng)機(jī)及變速箱等件均屬這種情況。為了滿足這些孔的裝配精度需要對(duì)該件的裝配偏差進(jìn)行分析。

圖5示出某電動(dòng)車的充電機(jī)支架，在其上面需要固定充電機(jī)等零件，需分析支架固定孔裝配偏差以確定充電機(jī)能否正常裝配。如不考慮螺栓位置度偏差時(shí)，充電機(jī)支架與螺栓的裝配關(guān)系可以進(jìn)行簡化，如圖6所示，其中里面的2個(gè)小圓可視為2個(gè)螺栓，其軸心分別為O1，O2；外面的2個(gè)大圓可視為支架安裝孔，其軸心分別為B，C。顯而易見，支架出現(xiàn)最大裝配偏差位置時(shí)，4個(gè)圓一定處于兩兩相切狀態(tài)中。將4個(gè)圓兩兩相切的位置都做出來（B，C圓心的位置由4個(gè)圓心連線組成的四連桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包絡(luò)可以求出），在其中就可以找到支架最大裝配偏差所在位置，即BC與水平軸夾角最大的位置。裝配所引起的最大偏差位置即可轉(zhuǎn)化為求解四連桿中的BC桿的最大偏差位置，為方便敘述，將該分析方法命名為四連桿分析法。

圖5 某電動(dòng)車充電機(jī)支架示意圖

圖6 某電動(dòng)車充電機(jī)支架裝配關(guān)系簡化圖

2 四連桿分析法

四連桿分析法就是用四連桿機(jī)構(gòu)[1]的運(yùn)動(dòng)位置來模擬支架與螺栓裝配后的極限位置，從而分析出支架最大裝配偏差位置的一種方法。

2.1 四連桿算法及仿真分析

為了不失一般性，建立了充電機(jī)支架四連桿機(jī)構(gòu)的通用模型，如圖7所示。其中AB桿為原動(dòng)件（即曲柄），CD桿為從動(dòng)件（即搖桿），BC桿為連桿，AD桿為機(jī)架。將平面四連桿機(jī)構(gòu)看成一個(gè)封閉的矢量多邊形，可得到如下矢量方程：

圖7 四連桿機(jī)構(gòu)通用模型

因各桿長度不變，當(dāng)α和γ的值確定后，BC桿的位置（相當(dāng)于圖5中B，C孔心連線的位置）將被確定下來。

各矢量分別向水平軸和豎直軸投影，可列出方程組：

式中：α，β，γ，δ——AB桿、BC桿、CD桿、AD桿與水平軸的夾角，（°）。

因δ是常量，在方程組中消去β便可簡化為一個(gè)只包含α和γ的方程：

將式（5）代入式（2），可得：

當(dāng)α給定時(shí)，求出能使f(γ)=0的γ值即可。

為了求出γ值，在MATLAB軟件中編寫一段程序，并做出了四連桿的動(dòng)態(tài)仿真效果。算法簡介：因AB桿做圓周運(yùn)動(dòng)，α可在（0，2π）內(nèi)取一組等間距的值，針對(duì)每個(gè)確定的α值在MATLAB軟件中使用fzero[2]函數(shù)即可求出對(duì)應(yīng)的γ值。求出所有的γ值后即可做出四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)仿真效果，如圖8所示。

圖8 四連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)仿真顯示界面

2.2 支架裝配偏差分析

圖9示出充電機(jī)支架的移動(dòng)坐標(biāo)系。實(shí)際上，文章更關(guān)注的是圖9中T，S孔裝配后的偏差，因?yàn)樗鼈兪浅潆姍C(jī)的安裝點(diǎn)。為了求解T，S孔裝配偏差的極限位置，可以將該支架視為四連桿機(jī)構(gòu)中的BC桿，以B孔心為原點(diǎn)，BC孔心連線為O′X′軸建立直角坐標(biāo)系。

圖9 充電機(jī)支架的移動(dòng)坐標(biāo)系

在模擬支架動(dòng)態(tài)仿真裝配時(shí)，T，S孔隨著支架一起運(yùn)動(dòng)，且這2個(gè)孔心與O′點(diǎn)的相對(duì)位置固定不變?？梢酝ㄟ^坐標(biāo)變換的方法求出T，S孔心的全局坐標(biāo)，然后就可以方便地找出這2個(gè)孔偏差的極值。由分析易知，T，S孔心的最大裝配偏差會(huì)出現(xiàn)在全局坐標(biāo)的Y方向上，如圖10所示。圖11示出充電機(jī)支架移動(dòng)坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的變換關(guān)系。

圖10 充電機(jī)支架所在全局坐標(biāo)系

圖11 充電機(jī)支架移動(dòng)坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的變換關(guān)系

在圖11所示的二維坐標(biāo)系中，移動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′中某點(diǎn)的局部坐標(biāo)（xr，yr）對(duì)應(yīng)全局坐標(biāo)系OXY中的坐標(biāo)為（xw，yw），由此可得出2個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為：

式中：θ——局部坐標(biāo)系X′軸與全局坐標(biāo)系X軸的夾角，（°）；

tx，ty——移動(dòng)坐標(biāo)系O′點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的X，Y值，mm。

可以將BC軸心連線作為移動(dòng)坐標(biāo)系中的O′X′軸建立局部坐標(biāo)系，如圖9所示，則易求出T，S孔心的局部坐標(biāo)，由坐標(biāo)變換公式即可求出支架T，S孔心的全局坐標(biāo)。

為了計(jì)算出T，S點(diǎn)的最大偏差值，文章用四連桿分析法以及坐標(biāo)變換公式并使用MATLAB軟件編寫了一個(gè)通用化的程序。若某零件有多個(gè)安裝孔（如上述支架、發(fā)動(dòng)機(jī)或變速箱端面的裝配孔），只要這個(gè)零件使用2個(gè)等直徑圓孔定位，這個(gè)程序就可以快速求出該零件中其余安裝孔孔心的最大裝配偏差值。這樣就可以迅速判斷出其余安裝孔是否能正常裝配，如無法正常裝配，可以調(diào)整相關(guān)的公差值后使用該程序重新計(jì)算，最終能夠指導(dǎo)用戶選擇一個(gè)合理的公差值。

若想得到更符合實(shí)際情況的結(jié)果，使用這個(gè)程序前需要考慮螺栓以及支架的極限公差（孔徑公差及位置度公差等），并在繪圖軟件（如CATIA）中做出二者兩兩相切位置的二維圖，然后得到考慮極限公差后的四連桿以及T，S點(diǎn)的相關(guān)信息。

運(yùn)行MATLAB程序時(shí)只需輸入上述參數(shù)即可很方便地求出所關(guān)心安裝點(diǎn)的極限偏差值，圖12示出MATLAB優(yōu)化算法程序運(yùn)行界面。

圖12 MATLAB優(yōu)化算法程序運(yùn)行界面

最終求得S，T點(diǎn)軸心沿全局坐標(biāo)Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-1.15 mm和2.006 mm。

3 程序分析結(jié)果的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證MATLAB程序計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，在CATIA軟件中做出帶有極限公差的相關(guān)數(shù)模并用四連桿分析法進(jìn)行虛擬樣機(jī)仿真分析，即DMU[3]分析。

DMU分析后生成了S點(diǎn)和T點(diǎn)的軌跡，如圖13所示，在其中可找出極限位置點(diǎn)，如圖13中紅色“o”形點(diǎn)所示。S點(diǎn)和T點(diǎn)軌跡的斷開部分是無解區(qū)域，其斷點(diǎn)位置與MATLAB程序的分析結(jié)果一致。

圖13 虛擬樣機(jī)仿真分析中S點(diǎn)和T點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

在CATIA中測(cè)出S，T點(diǎn)軸心沿全局坐標(biāo)Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-1.15 mm和2.003 mm，與MATLAB程序的計(jì)算結(jié)果對(duì)比誤差非常小，可以認(rèn)為MATLAB程序的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。

4 尺寸公差優(yōu)化及裝車驗(yàn)證

因S，T點(diǎn)軸心偏差已超過充電機(jī)固定孔位置度要求（S點(diǎn)處裝配孔軸心偏差應(yīng)＜1 mm，T點(diǎn)處裝配孔軸心偏差應(yīng)＜2 mm），為保證正常裝配，將部分公差值進(jìn)行優(yōu)化后使用MATLAB程序重新進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果為S，T點(diǎn)軸心沿全局坐標(biāo)Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-0.9 mm和1.7 mm，滿足充電機(jī)的固定要求。

通過實(shí)際裝車進(jìn)一步驗(yàn)證了上述優(yōu)化結(jié)果，支架與充電機(jī)安裝孔匹配良好，驗(yàn)證了相關(guān)固定孔尺寸及公差的設(shè)置均合理。

5 結(jié)論

1）文章對(duì)零件不同定位方式的裝配精度進(jìn)行了分析，并提出了一種等直徑圓孔定位的裝配誤差分析方法，即四連桿分析法。

2）使用MATLAB程序計(jì)算極大地提高了工作效率。此類問題采用傳統(tǒng)手算的方法無法分析，在CATIA中建模與分析的過程大約需8 h，而使用程序計(jì)算時(shí)先要得到MATLAB程序輸入對(duì)話框中的相關(guān)參數(shù)（此過程＜20 min），輸入相應(yīng)值后馬上能得出分析結(jié)果，為優(yōu)化設(shè)計(jì)節(jié)省了大量的時(shí)間。