數(shù)字指南針的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用研究

陳大方（上海市金山區(qū)青少年活動(dòng)中心，上海，200000）

數(shù)字指南針的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用研究

陳大方
（上海市金山區(qū)青少年活動(dòng)中心，上海，200000）

機(jī)器人的應(yīng)用離不開(kāi)傳感器，傳感器應(yīng)用成為青少年機(jī)器人教育中的一個(gè)重要內(nèi)容。其中，電子指南針的應(yīng)用非常廣泛，但是電子指南針的應(yīng)用有一定難度，使得廣大青少年在使用過(guò)程中束手無(wú)策。我經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)主要存在以下問(wèn)題：機(jī)器人在需要轉(zhuǎn)向時(shí)的方向問(wèn)題——逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)還是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)？機(jī)器人在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的速度如何，速度快的話則在目標(biāo)角度有可能由于機(jī)器人控制器來(lái)不及處理角度數(shù)據(jù)而失?。ㄞD(zhuǎn)過(guò)頭），速度慢的話則大大降低了機(jī)器人的運(yùn)行效率。鑒于以上兩個(gè)問(wèn)題，本文就通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，把數(shù)字指南針的應(yīng)用和高中階段的數(shù)學(xué)三角函數(shù)結(jié)合起來(lái)，巧妙的解決以上兩個(gè)問(wèn)題。

機(jī)器人；數(shù)字指南針；傳感器應(yīng)用；三角函數(shù)

1 傳感器的種類

青少年機(jī)器人教育中常用到的傳感器有：測(cè)距傳感器、尋跡傳感器、角度傳感器、測(cè)溫傳感器、觸碰傳感器、測(cè)速傳感器等。這么多傳感器按照信號(hào)分類，又可以分為模擬傳感器和數(shù)字傳感器，其中，數(shù)字傳感器又可細(xì)分為字節(jié)型數(shù)字傳感器和開(kāi)關(guān)型數(shù)字傳感器。模擬傳感器應(yīng)用時(shí)只需用模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（Analogto-digital converter）把模擬電壓轉(zhuǎn)換成數(shù)字電壓即可，開(kāi)關(guān)型數(shù)字傳感器應(yīng)用簡(jiǎn)單、編程方便，但是字節(jié)型數(shù)字傳感器應(yīng)用起來(lái)就有一定的難度了。因?yàn)檫@類傳感器輸出的數(shù)據(jù)是一個(gè)或多個(gè)字節(jié)的二進(jìn)制數(shù)，通常用到IIC、USART或SPI接口和單片機(jī)連接，運(yùn)行時(shí)數(shù)據(jù)流或單向或雙向，處理時(shí)有一定的難度，但是單片機(jī)得到的數(shù)據(jù)精確，便于處理。比如，一個(gè)量程為5000mm的超聲波測(cè)距傳感器是把所測(cè)的距離以數(shù)字形式通過(guò)IIC接口直接輸出，那么“0-5000”就需要16個(gè)bit，即2個(gè)byte，這兩個(gè)byte的數(shù)據(jù)合成一個(gè)16bit的數(shù)據(jù)，來(lái)表示超聲波傳感器的測(cè)試結(jié)果。這樣聽(tīng)起來(lái)很復(fù)雜，但是對(duì)使用者來(lái)說(shuō)，只需接收IIC發(fā)來(lái)的數(shù)據(jù)即可，不需要自己編寫運(yùn)算程序，這樣既方便了使用者，又減輕了處理器的負(fù)荷。

2 數(shù)字指南針及其問(wèn)題的提出

還有一類字節(jié)型數(shù)字傳感器就是本文要講的傳感器——數(shù)字指南針。數(shù)字指南針也叫電子羅盤，是通過(guò)測(cè)量環(huán)境的磁場(chǎng)，從而運(yùn)算得出模塊當(dāng)前所指的方向角度。實(shí)際上，我們的常用的數(shù)字指南針能夠精確的檢測(cè)出當(dāng)前角度（0-359°），也就是數(shù)字指南針要輸出“0-359”的數(shù)字，那么需要至少9個(gè)bit，通常用到兩個(gè)字節(jié)，我所用到的指南針是串口型（USART）的，和單片機(jī)的串口連接，每次通信都有兩個(gè)字節(jié)的數(shù)據(jù)傳輸。指南針一般有兩個(gè)按鍵：校正鍵和定位鍵。校正鍵可以使指南針適應(yīng)當(dāng)?shù)氐牡卮怒h(huán)境，減小誤差；定位鍵則可以使指南針以當(dāng)前角度作為零度，方便應(yīng)用。

在指南針的實(shí)際應(yīng)用中，我們一般用它來(lái)確定機(jī)器人的的方向。如圖1所示。

圖1

假設(shè)機(jī)器人在原點(diǎn)且面向北，那么可以觸發(fā)指南針的定位鍵使得當(dāng)前角度為0°。在機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)以下三種轉(zhuǎn)向任務(wù)：向西、向東和向南。這三個(gè)轉(zhuǎn)向任務(wù)看似簡(jiǎn)單，但是在現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題，就以轉(zhuǎn)到向東為例說(shuō)明。第一，機(jī)器人轉(zhuǎn)向的方向問(wèn)題。如果程序里規(guī)定機(jī)器人永遠(yuǎn)向左轉(zhuǎn)動(dòng)，那么機(jī)器人要轉(zhuǎn)到向南（90°）的話就要轉(zhuǎn)270°而不是90°，這大大影響機(jī)器人的效率。第二、機(jī)器人轉(zhuǎn)向速度和單片機(jī)處理角度數(shù)據(jù)的矛盾。如果機(jī)器人速度稍快的話，即使指南針檢測(cè)到了90°，但是由于機(jī)器人轉(zhuǎn)向速度很快，單片機(jī)不一定就能接收到90°，導(dǎo)致機(jī)器人轉(zhuǎn)過(guò)頭；速度稍慢的話可能耗時(shí)太多，也影響機(jī)器人的效率。

通過(guò)以上分析，我便提出了應(yīng)用中常常遇到的兩個(gè)問(wèn)題：（1）轉(zhuǎn)向問(wèn)題：機(jī)器人在轉(zhuǎn)向時(shí)，能否根據(jù)當(dāng)前方向和目標(biāo)方向自動(dòng)判斷轉(zhuǎn)彎方向，使得轉(zhuǎn)彎角度最小；（2）速度問(wèn)題：機(jī)器人在轉(zhuǎn)彎時(shí)既要保證速度又要準(zhǔn)確的判斷當(dāng)前角度。

3 機(jī)器人轉(zhuǎn)向問(wèn)題的研究

下面我們先來(lái)研究第一個(gè)問(wèn)題：機(jī)器人的轉(zhuǎn)向問(wèn)題。方便起見(jiàn)，我假設(shè)機(jī)器人的當(dāng)前角度為α，機(jī)器人要轉(zhuǎn)向的目標(biāo)角度為β，令γ=（α-β）。其中，α∈[-180，0]∪[0,180]，β∈[-180，0]∪[0,180]，γ∈[-180，0]∪[0,180]。機(jī)器人在轉(zhuǎn)向時(shí)，最理想的動(dòng)作是當(dāng)γ∈[-180，0]時(shí)，機(jī)器人順時(shí)針轉(zhuǎn)；當(dāng)γ∈[0,180]時(shí)，機(jī)器人逆時(shí)針轉(zhuǎn)。這樣轉(zhuǎn)動(dòng)，不管是往哪個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，機(jī)器人都的轉(zhuǎn)動(dòng)都不超過(guò)180°就會(huì)到達(dá)目標(biāo)角度。也就是說(shuō)，如果把γ作為自變量，γ的函數(shù)F（γ），定義域是[-180，0]∪[0,180]，且定義域關(guān)于Y軸對(duì)稱。經(jīng)過(guò)研究，函數(shù)F（γ）在定義域[-180，0]和 [0,180]上的函數(shù)值要互為相反數(shù)，我們才能正確判斷機(jī)器人往哪個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)定義域和函數(shù)值的觀察，我發(fā)現(xiàn)該函數(shù)F（γ）必須為一個(gè)奇函數(shù)。在常用的三角函數(shù)中研究，發(fā)現(xiàn)很難找到滿足要求的函數(shù)。經(jīng)過(guò)分析對(duì)比，把函數(shù)F（γ）變換成F（η），η= 0.5γ，那么函數(shù)F（η）的定義域就變成[-90，0]∪[0，90]。很容易，就找到了滿足要求的函數(shù)——正切函數(shù)F（η）=tanη。如圖2所示：

圖2

為此，我們可以輕松的寫出程序，當(dāng)F（η）＜0時(shí)機(jī)器人順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)F（η）＞0時(shí)機(jī)器人逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。

if(tan(((double) α-(double) β)*3.14/360)＜0)

{

motor(a,-a);//順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

}

if(tan(((double) α-(double) β)*3.14/360)＞=0)

在校園生活中，班主任是學(xué)生成長(zhǎng)的主要精神關(guān)懷者，是引導(dǎo)學(xué)生職業(yè)核心技能和職業(yè)核心素養(yǎng)全面發(fā)展的人生導(dǎo)師。班主任對(duì)學(xué)生的家庭背景了解，對(duì)學(xué)生行為舉止的了解，遠(yuǎn)勝于任課老師。任課教師負(fù)責(zé)上好每堂課，布置作業(yè)，跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，并將作業(yè)完成情況及時(shí)反映給班主任。而班主任從旁協(xié)助，從生活上了解學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難，及時(shí)給予排解。同時(shí)，在班級(jí)里營(yíng)造“積極向上，你追我趕，爭(zhēng)當(dāng)優(yōu)秀”的學(xué)習(xí)氛圍，充分利用課余時(shí)間加強(qiáng)理論知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與鞏固，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度，化被動(dòng)為主動(dòng)。任課教師與班主任結(jié)對(duì)子，多方面關(guān)懷學(xué)生的成長(zhǎng)。

{

motor(-a,a); //逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

};

其中，motor(a,a)為馬達(dá)的子程序。(a,a)中第一個(gè)a是左邊馬達(dá)的速度值，第二個(gè)a是右邊馬達(dá)的速度值。a＞0時(shí)向前進(jìn)，a＜0時(shí)向后退，a=0時(shí)向停止。a∈（-1000,1000），數(shù)據(jù)越大速度越快。

4 機(jī)器人速度問(wèn)題的研究

解決了轉(zhuǎn)向的問(wèn)題，我們?cè)賮?lái)研究第二個(gè)問(wèn)題：機(jī)器人的速度問(wèn)題。上面我已經(jīng)假設(shè)機(jī)器人的當(dāng)前角度為α，機(jī)器人要轉(zhuǎn)向的目標(biāo)角度為β，令γ=（α-β）。根據(jù)第一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，我們得出：α∈[-180，0]∪[0,180]，β∈[-180，0]∪[0,180]，γ∈[-180，0]∪[0,180]。機(jī)器人在轉(zhuǎn)向時(shí)，最理想的速度是機(jī)器人一開(kāi)始轉(zhuǎn)彎速度很快（可以是一個(gè)常量），當(dāng)?shù)竭_(dá)到目標(biāo)角度越小，轉(zhuǎn)彎速度應(yīng)該越小，直至為零。同樣的，如果把γ作為自變量，γ的函數(shù)G（γ）定義域是[-180，0]∪[0,180]，定義域關(guān)于y軸對(duì)稱。機(jī)器人在逆時(shí)針轉(zhuǎn)和順時(shí)針轉(zhuǎn)的時(shí)候完全對(duì)稱，所以要求函數(shù)G（γ）在定義域[-180，0]和 [0,180]上的函數(shù)值也要相等。通過(guò)定義域和函數(shù)值的研究，我發(fā)現(xiàn)該函數(shù)必須為一個(gè)偶函數(shù)。在常用的三角函數(shù)中深入研究，我找到了滿足要求的函數(shù)——余弦函數(shù)G（γ）=cosγ。如圖3所示。

圖3

當(dāng)-180＜γ=（α-β）＜-45時(shí)，即-π＜γ=（α-β機(jī)器人以恒定速度a轉(zhuǎn)向；

當(dāng)45＜γ=（α-β）＜180時(shí)，即-＜γ=（α-β）＜π時(shí)，機(jī)器人以恒定速度a轉(zhuǎn)向；

if(cos(((double)de-(double)degree)*3.14/180)＜0.71)

{

a=360;

}

if(cos(((double)de-(double)degree)*3.14/180)＞=0.71)

{

a=270/cos(((double)de-(double)

degree)*3.14/180);

};

其中，a的數(shù)值就是motor（a，a）中的參數(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

至此，我利用數(shù)學(xué)建模的思想，把數(shù)字指南針和高中階段三角函數(shù)結(jié)合，解決了文章一開(kāi)始提出的兩個(gè)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)實(shí)踐證明，以上兩個(gè)方法科學(xué)可行，并有非常好的效果。

[1]馬潮. 《AVR單片機(jī)嵌入式系統(tǒng)原理與應(yīng)用實(shí)踐》.

[2]張茂青. 《AVR單片機(jī)高級(jí)語(yǔ)言BASCOM程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用》 .

[3]2009年度. 玩轉(zhuǎn)單片機(jī)[J].《無(wú)線電》.

[4]2008版.《微積分》.上海交通大學(xué)數(shù)系微積分課程組

Research on mathematical modeling of digital compass

Chen Defang
(Jinshan District Shanghai Youth Activity Center,Shanghai,200000)

The application of robot can not be separated from sensors, and the application of sensors has become an important part of the education of young robots. Among them, the application of electronic compass is very extensive, but the application of electronic compass is difficult, which makes the vast numbers of teenagers in the process of doing nothing. I have studied and found the following main problems: when does the robot need to turn, does it turn counterclockwise or clockwise? How to speed the robot in the process of rotation, speed of words in the target angle may fail due to the robot controller to handle the data is less than the angle (turned), slow it will greatly reduce the operating efficiency of the robot. In view of the above two questions, this article through the establishment mathematics model, the digital compass application and the high school stage mathematics trigonometric function unifies, ingeniously solves these two questions.

robot; digital compass; sensor application; trigonometric function