一類隨機(jī)Burgers方程的奇攝動解

洪文珍,包立平

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所,浙江 杭州 310018)

一類隨機(jī)Burgers方程的奇攝動解

洪文珍,包立平

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所,浙江 杭州 310018)

討論了一類隨機(jī)Burgers方程的奇攝動解，其噪聲項服從弱噪聲Ornstein-Uhlenbeck(O-U)過程，并構(gòu)造了相應(yīng)的形式漸近解.通過攝動分析得到波的期望和初值條件，并通過余項估計得到漸近解的有效性.

奇攝動；隨機(jī)Burgers方程；平均速率；Ornstein-Uhlenbeck過程；一致有效估計

0 引 言

本文中，在α≠1條件下，考慮一類在有色噪聲影響下的隨機(jī)Burgers方程，且其噪聲項服從弱噪聲Ornstein-Uhlenbeck(O-U)過程，首先對所構(gòu)造的波運動的平均速率方程和相應(yīng)初值條件所滿足的Kolmogorov方程，進(jìn)行奇攝動展開，得到相應(yīng)的Kolmogorov方程和Burgers方程的形式漸近解，并證明了形式漸近解的存在性與有界性；又通過余項估計，求得波運動平均速率的漸近解和初值條件的漸近解.

1 模型建立

設(shè)波的運動軌跡u(t,x)滿足隨機(jī)微分方程

(1)

其中，α是常數(shù)，ε是小參數(shù).

假設(shè)：

1)a(t,x)，b(t,x)是已知的任意階連續(xù)可微函數(shù)且均不為0；

2)ψ在R上有界，φ0(q)亦有界；

3)QT=[0,T]×R，?PQT為QT區(qū)域的邊界.

根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，式(1)的解滿足

(2)

(3)

令v(t,x)=Ex,tg(s,y)=∫g(s,y)p(t,x,s,y)dy，可得v(t,x)滿足的后向Kolmogorov方程：

(4)

2 形式展開

2.1 初值條件的形式漸近解

首先對式(2)作形式漸近展開，得到：

(5)

關(guān)于ε作攝動展開，并比較ε的同次冪系數(shù)，可得：

(6)

(7)

?

(8)

?

知g0z有界.

下面討論式(7)，首先構(gòu)造一個泛函

(9)

g0zzqte-θ tdtdz，恒存在唯一的g1∈H，使得F(q)=a(g1,q)，對于任意給定的q∈H，所以式(7)的解存在唯一，即g1可解.

類似情況下，可得g2,g3,…,gn,…的解存在唯一性，從而得到式(2)的形式漸近解.

2.2 平均速率的形式漸近展開

關(guān)于ε作攝動展開，并比較ε的同次冪系數(shù)可得：

(10)

(11)

?

(12)

?

φ(x-∫a(t,x)dt)=0

其中，φ(x)為x的任意連續(xù)可微函數(shù).考慮到v0(t=s,x)=g0，其中g(shù)0為已知函數(shù)，所以可得v0(t,x).

3 余項估計

3.1 初值條件的余項估計

首先考慮式(2)的余項

(13)

(14)

其中，H(t,x)為已知函數(shù).

令R1=eλtP，其中λ>0，式(14)轉(zhuǎn)化為：

(15)

令

在式(15)兩邊同時乘以檢驗函數(shù)φ，且取積分，可得

(16)

由嵌入定理與Holder不等式，可得

對于任何h>k1,t∈[0,T]，有Ah(t)?Ak1(t).

所以，

注意到，

可得

因此，R1的有界，即式(14)一致有效.

3.2 平均速率的余項估計

同理，考慮式(4)的余項

(17)

(18)

令R2=φeλs，其中λ>0.所以式(18)可以化簡為

(19)

令

(20)

在式(20)兩邊同時乘上檢驗函數(shù)φ，并取積分，可得

令

則Ik(s)于[0,T]上絕對連續(xù).

所以，式(19)化簡為，

?QTmφ2dxds≤?QT(-he-λs-kλ)φdxds≤0，所以φ幾乎處處為零.即φ≤k，所以，R2有界.

4 結(jié)束語

α≠1條件下，本文討論了一類在有色噪聲影響下的隨機(jī)Burgers方程，其波動率服從弱噪聲O-U過程.考慮奇攝動隨機(jī)Burgers方程在無界區(qū)域上的波運動的初值條件和平均速率的形式漸近解，并應(yīng)用相關(guān)的極值原理、Lax-Milgram定理和De Giorgi迭代技術(shù)證明其存在性、有界性和一致有效性.將進(jìn)一步研究隨機(jī)Burgers方程在有界區(qū)域上的形式漸近解問題.

[1]WADATI M． Stochastic Korteweg-de Vries equation[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 1983,52(8):2642-2648.

[2]LILLO S D. The Burgers equation under multiplicative noise[J]. Physics Letters A, 1994,188(4/5/6):305-308.

[3]CHEKHLOV A, YAKHOT V. Kolmogorov turbulence in a random-force-driven Burgers equation[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1995,51(4):5681-5684.

[4]Weinane， Eric Vanden Eignden． Statistical Theory for the Stochastic Burgers Equation in the Inviscid Limit[J]． Communications on Pure and Applied Mathematics，2000,53(7)：852-901.

[5]VILLARROEL J. The Stochastic Burger’s Equation in Ito’s Sense[J]. Studies in Applied Mathematics, 2004,112(1):87-100.

[6]VILLARROEL J. Stochastic Perturbations of Line Solitons of KP[J]. Theoretical and Mathematical Physics, 2003,137(3):1753-1765.

[7]司曲斯.隨機(jī)微分方程理論及其應(yīng)用[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,1986：102-120.

[8]伍卓群,尹景學(xué),王春朋.橢圓與拋物型方程引論[M].北京：科學(xué)出版社,2003：44-85.

Asymptotic Solution of a Class of Stochastic Burgers Equation

HONG Wenzhen, BAO Liping

(InstituteofMathematics,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper, the singular perturbation solution for a class of stochastic burgers equation is discussed. Its volatility is subject to the weak noise Ornstein-Uhlenbeck(O-U) process. The corresponding asymptotic solution is constructed. By the perturbation analysis, the wave expectationv(t,x) and the initial conditiong(t,x) are obtained. And the uniformly valid estimate for the asymptotic solution of the system is obtained.

singular perturbation; random Burgers equation; average velocity; Ornstein-Uhlenbeck process; uniformly valid estimate

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.021

2016-11-02

國家自然科學(xué)基金項目(51175134)

洪文珍(1991-)，女，安徽安慶人，碩士研究生，偏微分方程.通信作者：包立平副教授，E-mail:baolp@hdu.edu.cn.

O175.14

A

1001-9146(2017)04-0094-05