具有xk型增長(zhǎng)率的脈沖害蟲(chóng)模型的周期行為

陳 懷，田 源，何澤榮

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

具有xk型增長(zhǎng)率的脈沖害蟲(chóng)模型的周期行為

陳 懷1，田 源2，何澤榮1

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622)

研究了一類(lèi)具有xk型增長(zhǎng)率的害蟲(chóng)綜合治理模型.利用后繼函數(shù)確立了周期解的存在性，運(yùn)用類(lèi)龐加萊準(zhǔn)則分析了周期解的穩(wěn)定性.最后使用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了其理論結(jié)果.

害蟲(chóng)治理；周期解；穩(wěn)定性；后繼函數(shù)；類(lèi)龐加萊準(zhǔn)則

0 引 言

噴灑農(nóng)藥和投放天敵是治理害蟲(chóng)的兩種主要方法.近年來(lái)，很多學(xué)者針對(duì)各類(lèi)害蟲(chóng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了理論研究，提出了相應(yīng)的操作方法.陳蘭蓀[1]針對(duì)半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)給出了相關(guān)定義和部分理論結(jié)果.Zhang T. Q.等[2]研究了Gompertz系統(tǒng)周期解的存在性和穩(wěn)定性.Tian Y.等[3]研究了控制時(shí)間依賴(lài)于捕食者和食餌數(shù)量的種群系統(tǒng)，并建立了階一周期解的穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[4]提出了一種新的種群增長(zhǎng)率.本文對(duì)文獻(xiàn)[4]研究的害蟲(chóng)模型加以改進(jìn)，建立了一類(lèi)新的害蟲(chóng)治理模型，并對(duì)模型進(jìn)行了分析.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]假設(shè)脈沖集M和相集N均為實(shí)數(shù)集R的子集.在相集N上定義坐標(biāo)，例如定義N與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0，N上任意一點(diǎn)A的坐標(biāo)為A與Q的距離，記為a.設(shè)由點(diǎn)A出發(fā)的軌線與脈沖集交于一點(diǎn)C，點(diǎn)C的脈沖相點(diǎn)為點(diǎn)B，它在相集N上，坐標(biāo)為b.稱(chēng)B為A的后繼點(diǎn)，點(diǎn)A的后繼函數(shù)為F(A)=b-a.

引理1[1]后繼函數(shù)F(A)是連續(xù)的.

考慮如下系統(tǒng)

(1)

其中，φ(x,y)表示系統(tǒng)的脈沖函數(shù).

2 基礎(chǔ)模型

最為經(jīng)典、最為簡(jiǎn)單的捕食者—食餌模型是Lotka-Volterra模型.文獻(xiàn)[4]提出了新的種群增長(zhǎng)模型

(2)

與Malthus模型不同，它考慮了一類(lèi)食餌比例縮小的增長(zhǎng)率，這里0

在害蟲(chóng)治理過(guò)程中，無(wú)論是投放天敵還是噴灑殺蟲(chóng)劑都是分批進(jìn)行的，因此防治害蟲(chóng)是一種脈沖行為.本文考慮如下脈沖微分方程模型：

(3)

3 定性分析

3.1 周期解的存在性

圖1 模型(3)的結(jié)構(gòu)圖和周期解

綜上所述，模型(3)必存在周期解.證畢.

3.2 周期解的穩(wěn)定性

φ0.

P(x,y)=rxk-bxy,Q(x,y)=cxy-dy,A(x,y)=-px,B(x,y)=-qy+τ,φ(x,y)=x-h.

計(jì)算得到

由此得出

因此，

4 數(shù)值模擬

本節(jié)用實(shí)例來(lái)驗(yàn)證前面的理論結(jié)果.對(duì)于模型(3)，令r=0.7，b=0.5，c=0.3，d=1.5，k=0.75，p=0.4，q=0.3，h=0.4.通過(guò)計(jì)算得到P(0.240,2.000)，Q(0.400,1.760)，A(5.000,0.936).使用MATIAB進(jìn)行數(shù)值模擬.取不同的τ值，即釋放不同數(shù)目的天敵，得到結(jié)果如圖2所示.圖2(a)中，τ=1.7時(shí)，害蟲(chóng)和天敵的數(shù)量經(jīng)過(guò)一段周期后回到從前值；圖2(b)中，τ=2.5時(shí)，投放天敵量大，使得害蟲(chóng)量減少到初始值以下，天敵量隨之減少，經(jīng)過(guò)多次脈沖后某一周期害蟲(chóng)和天敵數(shù)量回到從前值，圖2(c)中，τ=0.8時(shí)，天敵投放量少，但也造成害蟲(chóng)量減少，同樣經(jīng)過(guò)多次脈沖后某一周期害蟲(chóng)和天敵量回到從前值.由此可知，釋放不同數(shù)目的天敵時(shí)害蟲(chóng)數(shù)量仍然是可控的.

圖2 不同τ值下，系統(tǒng)(3)的周期解模擬圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)具有xk型害蟲(chóng)增長(zhǎng)率的脈沖系統(tǒng)模型進(jìn)行了周期行為分析.研究發(fā)現(xiàn)，害蟲(chóng)的冪律增長(zhǎng)值k對(duì)模型周期解的存在性和穩(wěn)定性有明顯的影響.當(dāng)0

[1]陳蘭蓀.害蟲(chóng)治理與半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)幾何理論[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,12(1):1-9.

[2]ZHANG T, MENG X, LIU R, et al. Periodic solution of a pest management Gompertz model with impulsive state feedback control[J]. Nonlinear Dynamics, 2014,78(2):921-938.

[3]TIAN Y, SUN K, CHEN L, et al. Geometric approach to the stability analysis of the periodic solution in a semi-continuous dynamic system[J]. International Journal of Biomathematics, 2014,7(2):121-139.

[4]HATTON I A, MCCANN K S, FRYXELL J M, et al. The predator-prey power law: Biomass scaling across terrestrial and aquatic biomes[J]. Science, 2015,369(6252):aac6284.

[5]SIMEONOV P S, BAINOV D D. Orbital stability of periodic solutions of autonomous systems with impulse effect[J]. Comptes Rendus De Lacadeémie Bulgare Des Sciences Sciences Matheématiques Et Naturelles, 1988,19(12):2561-2585.

[6]宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011:19-23，98-109.

The Periodic Behaviors of a Pest Management Model withxkPower Growth Rate

CHEN Huai1, TIAN Yuan2, HE Zerong1

(1.SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China;2.SchoolofInformationEngineering,DalianUniversity,DalianLiaoning116622,China)

A new pest IPM strategy model withxkpower growth rate is proposed and studied in this paper. Firstly, the existence of periodic solutions is established by means of successor functions. Then, the stability of periodic solution is analyzed via the analogue of Poincaré criterion. Finally, the theoretical results of the paper are illustrated by MATLAB numerical simulations.

pest model; periodic solution; existence and stability; successor function; analogue of Poincaré criterion

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.020

2016-10-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271104；11401068)

陳懷(1993-)，女，貴州畢節(jié)人，碩士研究生，運(yùn)籌學(xué)與控制論.通信作者:何澤榮教授，E-mail:zrhe@hdu.edu.cn.

O175.1

A

1001-9146(2017)04-0090-04