汽車磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)自適應(yīng)反推跟蹤控制

龐輝, 陳嘉楠, 劉凱

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048)

汽車磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)自適應(yīng)反推跟蹤控制

龐輝, 陳嘉楠, 劉凱

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048)

針對(duì)汽車磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)非線性和模型不確定性所引起的控制穩(wěn)定性及優(yōu)化問(wèn)題，考慮被控懸架綜合控制目標(biāo)的安全約束，建立1/2車輛懸架系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型?；诒豢貞壹芟到y(tǒng)與參考軌跡之間的跟蹤誤差，使用自適應(yīng)反推方法和Lyapunov理論，設(shè)計(jì)被控懸架系統(tǒng)的磁流變阻尼器控制輸入函數(shù)，提出基于投影算子的自適應(yīng)控制律，進(jìn)而設(shè)計(jì)一種能夠處理安全約束問(wèn)題的自適應(yīng)反推控制器；為驗(yàn)證所提出控制策略的可行性和有效性，基于Matlab/Simulink建立磁流變懸架控制系統(tǒng)的仿真模型，并分別在隨機(jī)路面和凸塊路面上對(duì)該控制策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，所提出的自適應(yīng)反推控制策略能使磁流變懸架車輛在行駛穩(wěn)定性方面具有較好的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，并能明顯提高車輛行駛平順性，滿足懸架系統(tǒng)各方面的安全約束。

控制科學(xué)與技術(shù)；半主動(dòng)懸架；磁流變減振器；系統(tǒng)不確定性；自適應(yīng)反推跟蹤控制；Lypaunov穩(wěn)定性

0 引言

懸架系統(tǒng)是指由車身與輪胎間的彈簧和阻尼器組成的整個(gè)支持系統(tǒng)，具有承載車身質(zhì)量，改善乘坐舒適性的作用，它決定著車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性、舒適性和安全性，是現(xiàn)代汽車的關(guān)鍵部件之一。一般而言，車輛懸架系統(tǒng)可以分為3類：被動(dòng)懸架，半主動(dòng)懸架和主動(dòng)懸架[1]。相較被動(dòng)和主動(dòng)懸架，半主動(dòng)懸架由于其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，成本低廉，性能優(yōu)良，有廣泛的應(yīng)用前景等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)受到國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。其中以智能材料磁流變液作為阻尼介質(zhì)的磁流變減振器，具有體積小、能耗低、響應(yīng)速度快(毫秒級(jí))、阻尼連續(xù)順逆可調(diào)、易于實(shí)現(xiàn)工程控制等優(yōu)點(diǎn)[2-3]，為汽車半主動(dòng)懸架的開發(fā)和應(yīng)用提供了新的途徑。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外人員圍繞磁流變減振器的控制開展了大量研究[4-8]。但是，由于磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)自身存在非線性和參數(shù)不確定性，并且實(shí)際建模中由于未建模動(dòng)態(tài)因素的影響，可能導(dǎo)致控制模型的不準(zhǔn)確，從而造成控制策略實(shí)施上的困難。自適應(yīng)反推控制正是針對(duì)這種控制對(duì)象變化和環(huán)境干擾影響而提出的控制方法，其通過(guò)引入虛擬控制將復(fù)雜的控制器設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行分解，每步設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)規(guī)律，不確定模型參數(shù)將會(huì)被在線估計(jì)，進(jìn)而使得控制器可以適應(yīng)參數(shù)不確定性帶來(lái)的影響，實(shí)現(xiàn)最終控制目標(biāo)，保證系統(tǒng)穩(wěn)定。Wang等[9]針對(duì)一類具有采樣和測(cè)量延遲特性的非線性系統(tǒng)，提出一種模糊估計(jì)器(FE)估計(jì)受控系統(tǒng)狀態(tài)，基于自適應(yīng)模糊反推控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了控制器的有效性。Ahn等[10]基于自適應(yīng)反推技術(shù)對(duì)電液執(zhí)行機(jī)構(gòu)(EHA)提出一種自適應(yīng)位置控制的方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制方法具有較好的魯棒性和適應(yīng)性；文獻(xiàn)[11-18]所提出的自適應(yīng)控制及反推控制策略在處理此類級(jí)聯(lián)非線性系統(tǒng)軌跡誤差跟蹤控制方面具有較好的抗輸入飽和、干擾抑制性能。此外，Yagiz等[19]以某七自由度全車模型為研究對(duì)象，提出車輛主動(dòng)懸架系統(tǒng)的反推控制器設(shè)計(jì)方法，主要構(gòu)建Lyapunov函數(shù)和反饋控制律以保證車輛行駛平順性的改善，但未考慮模型參數(shù)的不確定性，僅采用具有估計(jì)等效控制輸入來(lái)設(shè)計(jì)反推控制器。Zapateiro等[20]基于傳統(tǒng)反推控制理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)設(shè)計(jì)振動(dòng)控制器，通過(guò)對(duì)磁流變阻尼器的輸入電壓控制，實(shí)現(xiàn)車輛半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的最優(yōu)控制，但并未考慮懸架性能指標(biāo)的幅值約束。

為提高車輛行駛平順性，同時(shí)滿足懸架系統(tǒng)的安全約束要求，本文以磁流變半主動(dòng)懸架為研究對(duì)象，考慮懸架系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)的非線性以及簧載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性，建立磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架系統(tǒng)模型；構(gòu)建懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程，定義被控系統(tǒng)和參考軌跡之間的跟蹤誤差；設(shè)計(jì)控制輸入函數(shù)，同時(shí)構(gòu)造投影算子自適應(yīng)控制律以保證參數(shù)估計(jì)有界，進(jìn)而設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)反推控制器；最后通過(guò)隨機(jī)和凸塊兩種路面對(duì)所提出的自適應(yīng)反推控制器進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 磁流變減振器的力學(xué)模型

文獻(xiàn)[21]中磁流變減振器工作在混合模式下，被活塞分為上下兩腔，磁流變液充滿其間。假定磁流變液工作中不被壓縮，且各腔中的壓力均勻分布，忽略摩擦力和流體慣性，則阻尼力可以表示為

(1)

(2)

(3)

1.2 磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架模型

圖1是某磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，其中ms和Is分別是簧載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；muf、mur分別為前、后輪的簧下質(zhì)量；lf、lr分別為前、后懸架中心到簧載質(zhì)量中心的距離；α為車身俯仰角；z為簧載質(zhì)量垂直位移；zsf、zsr分別為前、后車身垂直位移；zuf、zur分別為前、后簧下質(zhì)量位移；zrf、zrr分別為前后輪路面擾動(dòng)位移；Fsf、Fsr為前、后懸架組件中非線性彈簧產(chǎn)生的彈性力；Fcf、Fcr以及FMRf、FMRr分別為前、后懸架組件中磁流變阻尼器產(chǎn)生的黏滯阻尼力和庫(kù)侖阻尼力，且Fdf=Fcf+FMRf,Fdr=Fcr+FMRr；ktf,ktr和ctf,ctr分別為前、后輪胎的剛度和阻尼。

圖1 磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架模型Fig.1 One-half vehicle semi-active suspension with MR damper

根據(jù)牛頓第二定律可獲得1/2車輛懸架系統(tǒng)振動(dòng)方程為

(4)

式中：

(5)

Δyf為前懸架動(dòng)行程，Δyf=zsf-zuf，zsf=z+lfsinα，Δyr為后懸架動(dòng)行程，Δyr=zsr-zur，zsr=z-lrsinα，ksf、ksr分別是前、后懸架非線性彈簧剛度，knsf、knsr是前、后懸架空間剛度系數(shù)[18]；

(6)

csf1,csr1和csf2,csr2分別表示前、后懸架伸張和壓縮時(shí)的黏滯阻尼系數(shù)。

定義狀態(tài)變量

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]=

(7)

則可將(4)式列寫成如下狀態(tài)空間形式：

(8)

由于簧載質(zhì)量ms隨車身載重或乘坐人數(shù)的變化而變化，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Is也隨之變化，因此簧載質(zhì)量ms和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Is為不確定的參數(shù)，對(duì)于1/2車輛主動(dòng)懸架系統(tǒng)(8)式，假設(shè)系統(tǒng)中不確定參數(shù)ms和Is存在已知上下界，即滿足：

(9)

為了保證被控懸架系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能并滿足安全約束，參照文獻(xiàn)[22]，本文確定的磁流變半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的控制目標(biāo)包括行駛平順性和安全約束性能。具體描述如下：

1)行駛平順性。即控制器在閉環(huán)懸架系統(tǒng)(8)式存在不確定參數(shù)ms和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Is的情況下，依然可以保證簧載質(zhì)量垂直位移和車身俯仰角位移在有限時(shí)間內(nèi)收斂于0 m和0 rad，即

(10)

式中：Tj為參考軌跡的預(yù)設(shè)時(shí)間。

2)安全約束性能。

①為保障車輛的行駛安全性，輪胎的動(dòng)載荷不可以超過(guò)其靜載，即

(11)

前輪靜載Ff和后輪靜載Fr可通過(guò)(12)式計(jì)算：

(12)

②由于彈簧和阻尼的機(jī)械結(jié)構(gòu)限制，懸架動(dòng)行程也不應(yīng)超過(guò)其最大允許范圍，即

(13)

式中：Δyfmax和Δyrmax代表懸架位移最大值。

③磁流變減振器庫(kù)侖阻尼力受其最大幅值限制，若超過(guò)此限制則造成閉環(huán)系統(tǒng)(8)式性能衰減甚至不穩(wěn)定，因此在控制器設(shè)計(jì)中應(yīng)該考慮該約束，磁流變阻尼器庫(kù)侖阻尼力幅值約束條件為

(14)

2 自適應(yīng)反推控制器

2.1 控制結(jié)構(gòu)框圖

圖2為磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架自適應(yīng)反推控制結(jié)構(gòu)框圖，該結(jié)控框圖分為垂向振動(dòng)和俯仰運(yùn)動(dòng)控制兩部分，每部分由控制目標(biāo)、預(yù)設(shè)虛擬控制、投影型自適應(yīng)律和控制輸入4個(gè)模塊組成。垂直和俯仰運(yùn)動(dòng)控制量分別為簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度，首先建立跟蹤誤差，通過(guò)預(yù)設(shè)虛擬控制來(lái)保證控制過(guò)程中整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能；其次提出投影型自適應(yīng)控制律以減小系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)控制效果和精度的影響；最后設(shè)計(jì)磁流變阻尼器的庫(kù)侖阻尼力控制輸入函數(shù)，使得控制目標(biāo)可以在有限的時(shí)間內(nèi)快速趨于穩(wěn)定。

圖2 自適應(yīng)反推跟蹤控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of adaptive backstepping tracking controller

2.2 自適應(yīng)反推控制器設(shè)計(jì)

步驟1 針對(duì)垂向振動(dòng)(15)式定義跟蹤誤差e1，用以穩(wěn)定車身垂直運(yùn)動(dòng)，使x1很好地跟蹤預(yù)設(shè)的參考軌跡y，即跟蹤誤差e1=x1-y趨于0.

(15)

式中：θ1=1/ms∈[θ1min,θ1max]，θ1min=1/msmax，θ1max=1/msmin.

對(duì)e1求導(dǎo)可得

(16)

選擇x2作為(16)式的虛擬控制輸入，假設(shè)其理想函數(shù)為x2d，同理定義跟蹤誤差e2=x2-x2d，即實(shí)際狀態(tài)變量x2同理想函數(shù)x2d的差值，則可得

(17)

選取半正定Lyapunov函數(shù)

(18)

選取x2d為

(19)

式中：k1是正數(shù)。則可知V1的導(dǎo)數(shù)為

(20)

步驟2 設(shè)計(jì)庫(kù)侖阻尼力控制輸入函數(shù)FMRf+FMRr，使得閉環(huán)懸架系統(tǒng)(15)式中即使存在不確定參數(shù)θ1，狀態(tài)變量x2仍能很好地跟蹤x2d.

對(duì)跟蹤誤差e2求導(dǎo)可得

θ1(-Fsf-Fcf-Fsr-Fcr+FMRf+FMRr).

(21)

為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，選擇庫(kù)侖阻尼力控制輸入函數(shù)FMRf+FMRr為

k2tanh (e2)-e1)+Fsf+Fcf+Fsr+Fcr,

(22)

(23)

r>0為自適應(yīng)控制律可調(diào)參數(shù)，i=1, 2，

τ1=(-Fsf-Fcf-Fsr-Fcr+FMRf+FMRr)e2.

(24)

(25)

選取正半定函數(shù)

(26)

-k1e1tanh (e1)-k2e2tanh (e2)≤0.

(27)

(28)

即可得e1和e2有界：

(29)

由(29)可得

(30)

故(31)式成立：

-Fsf-Fcf-Fsr-Fcr+FMRf+FMRr∈L∞.

(31)

(32)

步驟4 針對(duì)俯仰運(yùn)動(dòng)(33)式設(shè)計(jì)控制輸入函數(shù)lfFMRf-lrFMRr用以控制車身俯仰運(yùn)動(dòng)。

(33)

其設(shè)計(jì)與證明過(guò)程同車身垂直運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程相似，限于篇幅，此處直接給出結(jié)果，定義跟蹤誤差為

(34)

式中：y為x3的參考軌跡。

設(shè)計(jì)虛擬控制x4d為

(35)

式中：k3是正數(shù)。

k4tanh (e4)-e4)+lf(Fsf+Fcf)-lr(Fsr+Fcr)，

(36)

式中：k4為正數(shù)。

(37)

式中：τ2=(-lf(Fsf+Fcf-FMRf)+lr(Fsr+Fcr-FMRr))e4.

通過(guò)穩(wěn)定性分析進(jìn)一步可得

(38)

由(22)式、(36)式可得前后輪相應(yīng)的控制力輸入函數(shù)FMRf、FMRr，將其代入(3)式中，可得相應(yīng)的前后輪磁流變阻尼器輸入電流，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)被控懸架系統(tǒng)的控制。

步驟5 對(duì)系統(tǒng)(8)式進(jìn)行零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析[24]。由于(8)式為8階系統(tǒng)，而控制器跟蹤誤差為4階系統(tǒng)，故零動(dòng)態(tài)由4個(gè)狀態(tài)組成。為找出零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，設(shè)定e1=e3=0，因此e2=e4=0，且有

(39)

將 (39)式代入(8)式中，可得零動(dòng)態(tài)方程：

(40)

定義正定函數(shù)V5=xTPx，其中P為一正定矩陣，可得

(41)

因?yàn)榫仃嘇特征值實(shí)部均為負(fù)值，因此可得AΤP+AP=-Q.

其中Q為一正定矩陣，又因?yàn)?/p>

(42)

式中：α1、α2為可調(diào)參數(shù)。由(41)式和(42)式可得

(43)

式中：λmin、λmax分別為矩陣x的最小特征值和最大特征值。

選取適當(dāng)?shù)木仃嘝、Q以及可調(diào)參數(shù)α1、α2，即可保證：

(44)

式中：β1為一個(gè)正常數(shù)。

(45)

進(jìn)而

(46)

由(46)式可知V5(t)存在已知界，即

V5(t)≤V5(0)e-β1t+(α1zrmax+α2Ymax)(1-e-β1t)≤

max {V5(0),α1zrmax+α2Ymax}=β,

(47)

可知所有信號(hào)均有界，且上界均可估計(jì)，下面設(shè)計(jì)系統(tǒng)初值與參數(shù)選取規(guī)律，以確保安全性能約束條件。懸架行程上界可估計(jì)為

(48)

同理，輪胎動(dòng)載荷上界可估計(jì)為

(49)

庫(kù)侖阻尼力控制輸入上界可估計(jì)為

(50)

(51)

通過(guò)設(shè)定系統(tǒng)初值和可調(diào)增益，使得(52)式～(54)式成立，則控制目標(biāo)中提出的安全約束性能均能得到保證，即

(52)

(53)

(54)

(55)

y2j(t)=-y1j(t).

(56)

式中：j=1,2,3；aj0、aj1、aj2、aj3、aj4均為常數(shù)，且按(57)式規(guī)律選取。

y1j(0)=aj0=xi(0)，

(57)

式中:i=1,3.

圖3 參考軌跡位移Fig.3 Reference trajectory displacement

同時(shí)可通過(guò)設(shè)定預(yù)設(shè)時(shí)間來(lái)調(diào)節(jié)車身垂直及俯仰加速度，進(jìn)而改善駕駛舒適度，為了考察預(yù)設(shè)時(shí)間Tj對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，分別設(shè)定參數(shù)T1=0.5 s,T2=1.0 s,T3=2.0 s.

3 算例及結(jié)果分析

為驗(yàn)證所提出的自適應(yīng)反推控制策略的合理性與有效性，基于Matlab/Simulink對(duì)該磁流變半主動(dòng)懸架自適應(yīng)反推控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，其中磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架參數(shù)見表1.

表1 磁流變1/2車輛半主動(dòng)懸架系統(tǒng)模型參數(shù)

在控制仿真中，分別采用隨機(jī)路面和凸塊路面激勵(lì)作為輸入信號(hào)，控制器設(shè)計(jì)參數(shù)分別為r=0.001，k1=k2=k3=k4=10,θ1min=1/1 300 kg,θ1max=1/1 000 kg,θ2min=1/700 kg·m2,θ2max=1/500 kg·m2.

3.1 隨機(jī)路面激勵(lì)下控制仿真

為驗(yàn)證控制器性能，選擇路面不平度系數(shù)Gq(n0)=256×10-6m3的C級(jí)路面作為激勵(lì)信號(hào)，車速v=20 m/s，分別對(duì)狀態(tài)Ⅰ和狀態(tài)Ⅱ進(jìn)行仿真。圖4和圖5分別為懸架系統(tǒng)在兩種初始狀態(tài)下的垂直加速度與角加速度響應(yīng)曲線。

圖4 隨機(jī)路面下簧載質(zhì)量垂直加速度Fig.4 Responses to the sprung mass vertical acceleration under random road excitation

圖5 隨機(jī)路面下簧載質(zhì)量角加速度Fig.5 Responses to sprung mass pitch angular acceleration under random road excitation

從圖4和圖5中可以看出，相較于被動(dòng)懸架，磁流變自適應(yīng)反推控制懸架性能改善明顯，響應(yīng)曲線能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6和圖7分別為兩種初始狀態(tài)下懸架系統(tǒng)簧載質(zhì)量垂直加速度和角速度的功率譜密度仿真曲線。根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 2361—1∶1997，人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)最敏感的振動(dòng)頻率范圍為4.0～8.0 Hz. 從圖6和圖7中觀察可知，在最容易引起人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)以及車身共振的低頻區(qū)(4.0～8.0 Hz)，磁流變自適應(yīng)反推控制懸架兩個(gè)加速度性能指標(biāo)明顯優(yōu)于被動(dòng)懸架，表明在低頻區(qū)控制器可以有效抑制車身與人體內(nèi)臟和脊椎系統(tǒng)共振。

圖6 簧載質(zhì)量垂直加速度功率譜密度Fig.6 PSD responses to the sprung mass vertical acceleration

圖7 簧載質(zhì)量角加速度功率譜密度Fig.7 PSD responses to the sprung mass pitch angular acceleration under random road excitation

圖8和圖9為系統(tǒng)跟蹤誤差e1和e3的仿真曲線。觀察可知當(dāng)預(yù)設(shè)時(shí)間分別為T1=0.5 s,T2=1.0 s,T3=2.0 s時(shí)，跟蹤誤差均能達(dá)到穩(wěn)定，說(shuō)明控制器具有良好的跟蹤精度。此外，選取不同的預(yù)設(shè)時(shí)間對(duì)仿真結(jié)果也同樣產(chǎn)生著影響，理論上能夠?qū)㈩A(yù)設(shè)時(shí)間Tj設(shè)定的任意小，以達(dá)到快速穩(wěn)定的目的，但圖4和圖5的仿真結(jié)果顯示，預(yù)設(shè)時(shí)間越小，簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度越大，圖8和圖9中的跟蹤誤差也相應(yīng)增大，因此需要選擇適當(dāng)?shù)念A(yù)設(shè)時(shí)間。

圖8 跟蹤誤差e1Fig.8 Tracking error of e1

圖9 跟蹤誤差e3Fig.9 Tracking error of e3

圖10～圖13分別為被控懸架前后輪的動(dòng)行程和控制力的仿真曲線。一般在半主動(dòng)、主動(dòng)懸架控制設(shè)計(jì)中，懸架動(dòng)行程的限制需要重點(diǎn)考慮，因?yàn)閼壹軇?dòng)行程若超出限定范圍而撞擊限位塊則會(huì)導(dǎo)致懸架擊穿。從圖10和圖11中可以看出，磁流變自適應(yīng)反推控制懸架的懸架行程均在允許的范圍內(nèi)，即懸架行程小于最大允許的0.2 m. 從圖12和圖13中可知前后輪相應(yīng)的庫(kù)侖阻尼力也分別小于其允許的最大值5 000 N，保證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定。

圖10 前輪懸架動(dòng)行程Fig.10 Responses to front suspension dynamic deflection

圖11 后輪懸架動(dòng)行程Fig.11 Responses to rear suspension dynamic deflection

圖12 前輪庫(kù)侖阻尼力控制輸入FMRfFig.12 Variation of control input force FMRf for the front suspension system

圖13 后輪庫(kù)侖阻尼力控制輸入FMRrFig.13 Variation of control input force FMRr for the rear suspension system

圖14和圖15分別為前后輪胎動(dòng)載荷仿真曲線。從圖14和圖15中可以看出，前后輪胎動(dòng)載均小于其靜載Ff=7 667 N,Fr=6 333 N，保證了此路面激勵(lì)下的行車安全。為進(jìn)一步驗(yàn)證自適應(yīng)反推控制器對(duì)不確定參數(shù)、及其變化的自適應(yīng)性，取初始狀態(tài)Ⅰ在Tj=2 s時(shí)的磁流變自適應(yīng)反推控制懸架進(jìn)行仿真，圖16和圖17分別為其簧載質(zhì)量垂直加速度、角加速度隨簧載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化的曲線。

圖14 前輪輪胎動(dòng)載荷Fig.14 Responses to front-wheel tire dynamic load

圖15 后輪輪胎動(dòng)載荷Fig.15 Responses to rear-wheel tire dynamic load

圖16 不確定質(zhì)量參數(shù)對(duì)垂直加速度影響Fig.16 Variation of vertical acceleration imposed by uncertain sprung mass

圖17 不確定質(zhì)量參數(shù)對(duì)角加速度的影響Fig.17 Variation of pitch angular acceleration imposed by uncertain sprung mass

從圖16和圖17中可以看出，簧載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化沒(méi)有對(duì)磁流變自適應(yīng)反推控制懸架的簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度響應(yīng)造成較大影響。

3.2 凸塊信號(hào)路面擾動(dòng)下模型仿真

凸塊路面輸入是驗(yàn)證懸架系統(tǒng)設(shè)計(jì)性能經(jīng)常采取的一種確定性路面輸入形式[25]，根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 5902—1986汽車平順性脈輸入行駛試驗(yàn)方法，取長(zhǎng)坡形單凸塊作為脈沖輸入，前輪的速度輸入方程為

(58)

后輪的速度輸入方程為

(59)

式中：Am=0.1 m；L=5 m；v=10 m/s. 在此路面擾動(dòng)下對(duì)初始狀態(tài)Ⅰ進(jìn)行仿真分析，懸架系統(tǒng)的簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度的響應(yīng)曲線分別如圖18和圖19所示。

圖18 凸塊路面下簧載質(zhì)量垂直加速度Fig.18 Responses to sprung mass vertical displacement under bump road excitation

圖19 凸塊路面下簧載質(zhì)量角加速度Fig.19 Responses to sprung mass pitch angular acceleration under bump road excitation

從圖18和圖19中可以看出，在凸塊信號(hào)路面擾動(dòng)下磁流變自適應(yīng)反推控制懸架的響應(yīng)曲線均在有限時(shí)間內(nèi)收斂于0 rad/s2，且相較被動(dòng)懸架改善明顯，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間短，響應(yīng)輸出超調(diào)量小。

針對(duì)上述兩種路面擾動(dòng)，為進(jìn)一步說(shuō)明控制器的有效性，表2列出了磁流變自適應(yīng)反推控制懸架與被動(dòng)懸架系統(tǒng)在初始狀態(tài)Ⅰ時(shí)簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度均方根(RMS)值的對(duì)比分析結(jié)果。

由表2可知，磁流變自適應(yīng)反推控制懸架在兩種路面擾動(dòng)情況下，不同預(yù)設(shè)時(shí)間的車身垂直加速度和角加速度RMS值相較被動(dòng)懸架系統(tǒng)，改善情況均在30%以上，說(shuō)明本文所提出的自適應(yīng)反推控制器大幅度降低了路面擾動(dòng)所引起的負(fù)面影響，并且預(yù)設(shè)時(shí)間越長(zhǎng)，加速度RMS值越小，駕駛舒適度改善越大。

表2 簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度RMS

注：“-”表示改善。

4 結(jié)論

1)采用自適應(yīng)反推控制方法，設(shè)計(jì)磁流變阻尼器的控制力輸入函數(shù)，分別對(duì)車身垂直運(yùn)動(dòng)和俯仰運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，采用在線參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)對(duì)不確定參數(shù)簧載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線估計(jì)，并構(gòu)造基于投影算子的自適應(yīng)控制律以保證參數(shù)估計(jì)有界，進(jìn)而設(shè)計(jì)了一種能夠處理懸架安全約束問(wèn)題的自適應(yīng)反推控制器。

2)通過(guò)仿真驗(yàn)證可見，磁流變半主動(dòng)自適應(yīng)反推控制懸架在模型存在非線性、系統(tǒng)參數(shù)變化的情況下具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，懸架簧載質(zhì)量垂直加速度及角加速度都能在有限時(shí)間內(nèi)漸近穩(wěn)定并趨于0. 相較被動(dòng)懸架系統(tǒng)，簧載質(zhì)量垂直加速度和角加速度改善情況至少在30%以上，提高了車輛行駛平順性；系統(tǒng)跟蹤誤差始終穩(wěn)定在±0.3 mm內(nèi)，保證了被控懸架系統(tǒng)的跟蹤精度；不確定參數(shù)的變化并未對(duì)控制效果產(chǎn)生較大影響，說(shuō)明控制器良好的自適應(yīng)性。

3)選取懸架兩種對(duì)稱的初始狀態(tài)，通過(guò)特殊的參考軌跡規(guī)劃，使得懸架系統(tǒng)安全約束條件都能在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中得到實(shí)現(xiàn)，保證了系統(tǒng)的安全性。

4)被控懸架系統(tǒng)的性能指標(biāo)與參考軌跡規(guī)定的預(yù)設(shè)時(shí)間有很大關(guān)系，如何選取合適的預(yù)設(shè)時(shí)間，從而得到最優(yōu)的懸架性能，仍需深入研究。

References)

[1] Savaresi S M, Spelta C. A single-sensor control strategy for semi-active suspensions[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2009, 17(1): 143-152.

[2] Xu Y, Ahmadian M, Sun R. Improving vehicle lateral stability based on variable stiffness and damping suspension system via MR damper[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2014, 63(3): 1071-1078.

[3] 馬然, 朱思洪, 梁林, 等. 磁流變減振器建模與試驗(yàn)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2014, 50(4): 135-141. MA Ran, ZHU Si-hong, LIANG Lin, et al. Modelling and testing of magnetorheological damper[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(4): 135-141. (in Chinese)

[4] 彭志召, 張進(jìn)秋, 岳杰, 等. 具有并聯(lián)常通孔的磁流變阻尼器設(shè)計(jì)與分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2015, 51(8): 172-177. PENG Zhi-zhao, ZHANG Jin-qiu, YUE Jie, et al. Design and analysis of magnetorheological damper paralleling with constant throttling orifices[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(8): 172-177. (in Chinese)

[5] Du H, Sze K Y, Lam J. Semi-activeH∞control of vehicle suspension with magneto-rheological dampers[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 283(3/4/5): 981-996.

[6] Zapateiro M, Luo N, Karimi H R, et al. Vibration control of a class of semi-active suspension system using neural network and backstepping techniques[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23(6): 1946-1953.

[7] Cao D, Song X, Ahmadian M. Editors’ perspectives: road vehicle suspension design, dynamics, and control[J]. Vehicle System Dynamics, 2011, 49(1/2): 3-28.

[8] Case D, Taheri B, Richer E. A lumped-parameter model for adaptive dynamic MR damper control[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2014, 823(1): 1689-1696.

[9] Wang T, Zhang Y, Qiu J, et al. Adaptive fuzzy backstepping control for a class of nonlinear systems with sampled and delayed measurements[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2015, 23(2): 302-312.

[10] Ahn K K, Nam D N C, Jin M. Adaptive backstepping control of an electrohydraulic actuator[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2014, 19(3): 987-995.

[11] Li M, Jing W, Macdonald M, et al. Adaptive backstepping control for optimal descent with embedded autonomy[J]. Aerospace Science & Technology, 2011, 15(7): 589-594.

[12] Xian B, Guo J, Zhang Y. Adaptive backstepping tracking control of a 6-DOF unmanned helicopter[J]. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, 2015, 2(1): 19-24.

[13] 王永超, 張勝修, 曹立佳, 等. 控制方向未知的輸入受限非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊反步控制[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2016, 38(9): 2149-2155. WANG Yong-chao, ZHANG Sheng-xiu, CAO Li-jia, et al. Adaptive fuzzy backstepping control for nonlinear system with unknown control direction and input saturation[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(9): 2149-2155. (in Chinese)

[14] 鮑雪, 王大志, 胡明. 基于自適應(yīng)模糊的旋轉(zhuǎn)彈反演滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2016, 37(6): 1333-1339. BAO Xue, WANG Da-zhi, HU Ming. Backstepping sliding mode control design for spinning ammunition based on adaptive fuzzy method[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2016, 37(6): 1333-1339. (in Chinese)

[15] Ning W, Meng J E. Direct adaptive fuzzy tracking control of marine vehicles with fully unknown parametric dynamics and uncertainties[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016, 24(5): 1-8.

[16] Wei Y, Tse P W, Yao Z, et al. Adaptive backstepping output feedback control for a class of nonlinear fractional order systems[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 86(2): 1047-1056.

[17] Wang F, Chen B, Zhang Z, et al. Adaptive tracking control of uncertain switched stochastic nonlinear systems[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 84(4): 2099-2109.

[18] Sun W, Pan H, Gao H. Filter-based adaptive vibration control for active vehicle suspensions with electrohydraulic actuators[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2016, 65(6): 4619-4626.

[19] Yagiz N, Hacioglu Y. Backstepping control of a vehicle with active suspensions[J]. Control Engineering Practice, 2008, 16(12): 1457-1467.

[20] Zapateiro M, Luo N, Karimi H R, et al. Vibration control of a class of semi-active suspension system using neural network and backstepping techniques[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23(6): 1946-1953.

[21] 余淼, 毛林章, 廖昌榮, 等. 基于磁流變阻尼器的汽車半主動(dòng)懸架的振動(dòng)控制[J]. 傳感器與微系統(tǒng), 2007, 26(12): 34-40. YU Miao, MAO Lin-zhang, LIAO Chang-rong, et al. Vibration control of vehicle semi-active suspension system based on magneto-rheological fluid damper[J]. Transducer and Microsystem Technologies, 2007, 26(12): 34-40. (in Chinese)

[22] Li H, Jing X, Karimi H R. Output-feedback-basedH∞control for vehicle suspension systems with control delay[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(1): 436-446.

[23] Sun M. A Barbalat-like lemma with its application to learning control[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(9): 2222-2225.

[24] Sun W, Gao H, Kaynak O. Adaptive backstepping control for active suspension systems with hard constraints[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2013, 18(18): 1072-1079.

[25] 陳龍, 張孝良, 聶佳梅, 等. 基于半車模型的兩級(jí)串聯(lián)型ISD懸架性能分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2012, 48(6): 102-108. CHEN Long, ZHANG Xiao-liang, NIE Jia-mei, et al. Performance analysis of two-stage series-connected inerter-spring-damper suspension based on half-car model[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(6): 102-108. (in Chinese)

Adaptive Backstepping Tracking Control for Vehicle Semi-active Suspension System with Magnetorheological Damper

PANG Hui, CHEN Jia-nan, LIU Kai

(School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, Shaanxi, China)

As for the control optimization and stability caused by the nonlinearities and uncertainties of vehicle semi-active suspension systems with magnetorheological (MR) damper, a nonlinear dynamics model of one-half vehicle suspension system is established with consideration of the security constraints of comprehensive control objectives for the controlled vehicle semi-active suspension. The tracking error between controlled plant and reference trajectory is constructed, and the corresponding control input functions of controlled plant are designed based on backstepping control method and Lyapunov stability theory. The adaptive control law based on projection operator is investigated, and further a kind of adaptive backstepping controller is developed, which can deal with constraint problem of vehicle suspension system. In order to validate the feasibility and effectiveness of the proposed control algorithm, a control simulation framework of vehicle vibration control system is established based on Matlab/Simulink software, and the proposed adaptive backstepping control algorithm is verified on this control simulation framework under the conditions of random and bump roads. The results show that the proposed control approach has better global asymptotic stability for control stability problem of vehicle semi-active suspension systems, and it can not only obviously improve the performance of ride comfort, but also ensure the various required safety performances of vehicle semi-active suspension.

control science and technology; semi-active suspension; MR damper; system uncertainty; adaptive backstepping tracking control; Lypaunov stability

2016-10-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51675423、51305342)；西安理工大學(xué)科研基金項(xiàng)目(2015CX005)

龐輝(1980—)，男，副教授。E-mail: huipang@163.com

U463.33+1

A

1000-1093(2017)07-1430-13

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.07.023