新課程下微分基本定理教法探究與分析

劉旭

一、教材分析

1.教材的地位及作用

《微積分基本定理》安排在普通高中課程標準實驗教科書人教B版選修2—2，1.4.2節(jié).微積分基本定理給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學(xué)中最重要、最輝煌的成果.

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和定積分的概念后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時為計算定積分提供了一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)特別是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此，它在學(xué)生學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用，在教材中處于極其重要的地位.

2.教學(xué)目標

根據(jù)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)特征以及教材內(nèi)容的特點，依據(jù)新課程的標準要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標如下：

（1）知識與技能目標：

①了解微積分基本定理的含義.

②會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分.

（2）過程與方法目標：

通過直觀實例體會用微積分基本定理求定積分的方法.

（3）情感、態(tài)度與價值觀目標：

①通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，提高理性思維能力；

②了解微積分的科學(xué)價值、文化價值.

3.教學(xué)重點、難點

重點：使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分.

難點：了解微積分基本定理的含義.

二、教法和學(xué)法

1.教法設(shè)想

我的教學(xué)設(shè)計主要采用探究式教學(xué)方法.即“問題誘導(dǎo)—啟發(fā)討論—探索結(jié)果”以及“直觀觀察—歸納抽象—總結(jié)規(guī)律”的一種探究式教學(xué)方法，注重“引、思、探、練”的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的

學(xué)習(xí).

2.學(xué)法指導(dǎo)

通過山體高度的表示過程，體會微積分基本思想的運用；體會微積分學(xué)在認識論上的價值，體會任何高深的理論都源于簡單的、基本的事實；任何復(fù)雜的事物都可以化解為一個一個的簡單問題；體會用微觀認識宏觀的辯證方法.

三、教具

多媒體課件，白板輔助教學(xué).

四、教學(xué)設(shè)想

1.創(chuàng)設(shè)情境

定積分是怎樣定義的？嘗試用定義計算 dx.

2.探索新知

問題1：有沒有其他途徑來計算這個函數(shù)的定積分呢？我們再來看看爬山的過程.

——以學(xué)生現(xiàn)有的知識水平聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系并不現(xiàn)實，但相同的事例會激發(fā)部分學(xué)生大膽猜想兩者之間或許有所聯(lián)系.根據(jù)學(xué)生反應(yīng)適時地加以引導(dǎo)，令大多數(shù)學(xué)生回想起導(dǎo)數(shù)概念的引入曾用此例.

問題2：如果曲線F（x）代表一段山脈，之前我們借助它的陡峭程度認識了平均變化率，現(xiàn)在如果想求山的高度，大家有什么辦法？

——F（b）-F（a），結(jié)合圖象學(xué)生很容易得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式.

問題3：如果在山上設(shè)有C和D兩個觀測臺，山體的高度可以表示成什么形式？

——[F（c）-F（a）]+[F（d）-F（c）]+[F（b）-F（a）]，即通過分割，高度又可以寫成累和的形式.

通過圖形，刺激學(xué)生知識的最近記憶區(qū)，為無限分割，以直代曲思想的運用做鋪墊.

問題4：a，c間的高度差可以用累和的形式表示嗎？山高h又可以怎樣表示？

——h=h1+h2+h3+…h(huán)i+…+hn，學(xué)生具有無限分割，以直代曲的基本思想，通過前面知識的鋪墊有能力類比求曲邊梯形的面積的方法對所求復(fù)雜問題進行分割.

問題5：如何求解hi？

——體會用微觀認識宏觀的辯證方法.有以直代曲的思想作指導(dǎo)，學(xué)生可以提煉出直角三角形的模型.由于學(xué)生對直角三角形本身已經(jīng)非常熟悉，而在導(dǎo)數(shù)概念引入時對這個模型有了更充分的認識，因此，能自發(fā)將斜率與高聯(lián)系起來.hi=F（xi+1）-F（xi）= Δx

當Δx→0時， →F′（xi）

即hi≈F′（xi）Δx

這一過程既體現(xiàn)了定積分的基本思想，又突出了導(dǎo)數(shù)的幾何含義.學(xué)生充分體會數(shù)形結(jié)合這一最基本的數(shù)學(xué)思想方法.

3.歸納總結(jié)

問題6：能用文字語言描述一下這個公式嗎？這個公式又有什么作用呢？（請大家打開書，了解微積分基本定理.）

——學(xué)生根據(jù)公式形式易觀察得出“一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從a到 b的積分，等于這個函數(shù)在右端點的值減去它在左端點的值”.通過由直觀的符號語言轉(zhuǎn)化為抽象的文字語言的過程，學(xué)生慢慢體味導(dǎo)數(shù)和求積分兩種運算間的聯(lián)系.

4.知識鞏固

練習(xí)：計算 dx.

思考探究：如果路程s=s（t），則時刻t的速度v（t）=s′（t）.你能從導(dǎo)數(shù)和積分的定義來說明微積分基本定理成立嗎？即： s′（t）dt=

s（b）-s（a）.

——從定積分角度來看：如果物體運動的速度函數(shù)為v=v（t），那么在時間區(qū)間[a，b]內(nèi)物體的位移s可以用定積分表示為

s= v（t）dt；

另一方面，從導(dǎo)數(shù)角度來看：如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為s=s（t），則在時間區(qū)間[a，b]內(nèi)物體的位移為s（b）-s（a），所以又有 v（t）dt=s（b）-s（a）.

由于s′（t）=v（t），即s（t）是v（t）的原函數(shù)，這就是說，定積分 v（t）dt等于被積函數(shù)v（t）的原函數(shù)s（t）在區(qū)間[a，b]上的增量 s（b）-s（a）.

通過分析說明，學(xué)生鞏固和深化所學(xué)知識，提高認識，歸納得出微積分基本定理的特例，體驗從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法.

5.課堂小結(jié)

通過山體高度計算的探究，遵循著微積分學(xué)的基本思想，沿著古人的腳步，體會了微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)過程，將兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題（積分學(xué)的中心問題），感受到數(shù)學(xué)的奇妙和魅力.明確了求定積分最終轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題.

6.教學(xué)感想

學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑即是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.本節(jié)課由學(xué)生直接發(fā)現(xiàn)兩者聯(lián)系并不容易，但求高這一情境的創(chuàng)設(shè)為學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”提供了途徑，并在后面的教學(xué)中，盡力把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在自主探索中學(xué)到知識、掌握方法、提高

能力.

編輯 魯翠紅