高中數(shù)學(xué)中球的應(yīng)用

周進壯

摘 要：高中數(shù)學(xué)教師在立體幾何教學(xué)中，主要注重培養(yǎng)學(xué)生研究幾何體的應(yīng)用意識。學(xué)生對球的知識應(yīng)用缺乏一個整體的分析，也就很難對所面臨的問題有很好的把握。根據(jù)這一原因，教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)該經(jīng)常幫助學(xué)生掌握研究幾何體的基本方法。下面從幾個方面研究球的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：幾何體；組合體；四面體

一、球與棱柱的組合體問題

常見的有關(guān)正方體的內(nèi)切球與外接球問題：

設(shè)正方體的棱長為a，求：（1）內(nèi)切球半徑；（2）與棱相切的球半徑；（3）外接球半徑。

（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得R=■；

（2）對于與正方體ABCD-A的所有棱都能相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，作截面圖，易得R=■a。

注意，學(xué)生在解答這一類問題時，關(guān)于外接球問題，先要確定柱體上下底面的外接圓的圓心，連接兩個外接圓的圓心確定連心線的中點即為外接球的球心，然后連接球心與柱體的任意一個頂點，再把柱體的頂點與外接圓的圓心連接，構(gòu)成一個直角三角形，然后利用勾股定理解答球的半徑。

例1.已知三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面

上，若AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，AA1=8，A1C1=2■，則球O的體積為（ ）

A.200π B.■ C.■ D.■

答案：C

二、球與棱錐的組合體問題

在解答有關(guān)立體幾何中球與棱錐的組合體問題時，學(xué)生往往簡單地根據(jù)題意可以畫出一個簡單的圖形，但由于我們的學(xué)生自從接觸了空間向量之后，似乎已經(jīng)不會利用實際的圖形進行解

答，因為有關(guān)球的實際應(yīng)用很難利用空間直角坐標(biāo)系求解，又由于我們大多數(shù)的學(xué)生缺乏對幾何體尤其是有關(guān)球的組合體的整體分析，更是無從下手，也就很難理解問題的實質(zhì)。所以，我們要讓學(xué)生學(xué)會利用好有關(guān)錐體軸截面的不同特征來解決，讓學(xué)生學(xué)會從圍成的空間幾何體的面分清所利用的圖形，注意位置關(guān)系的變化。有些特殊的幾何體，例如與正四面體有關(guān)的內(nèi)切球、外接球的半徑及性質(zhì)應(yīng)該熟練推導(dǎo)，最好能記住特殊的結(jié)論。

正四面體（棱長為a）的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r=3：1。

外接球半徑：R=■a

內(nèi)切球半徑：r■a

特殊結(jié)論：正四面體與球的接切問題，可以引導(dǎo)學(xué)生通過線面的位置關(guān)系解答，而且還需要學(xué)生注意同一個正四面體的內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，注意記住球心為正四面體高的四等分點，也就是正四面體內(nèi)切球的半徑r=■h（h為正四面體的高），且正四面體外接球的半徑R=3r。

例2.已知三棱錐O-ABC中，A、B、C三點均在球心為O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若求O的體積為■，則三棱錐O-ABC的體積是 。

答案：■。

解析：三棱錐O-ABC中，A、B、C三點均在球心為O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，則AC=■，所以SΔABC=■×1×1×sin120°

=■，

設(shè)球的半徑為R，由球的體積V=■πR3=■，解得R=4.

設(shè)ΔABC外接圓的圓心為G，所以O(shè)G垂直于平面圓G，外

接圓的半徑GA=■=1

所以O(shè)G=■=■=■

所以三棱錐O-ABC的體積為V=■SΔABC·OG=■·■·■=■

對于四面體內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是根據(jù)“球心到四面體每個面的距離等于球的半徑”找等量關(guān)系。

注意：我們引導(dǎo)學(xué)生在解決有關(guān)球與正四面體四個面相切的問題時，要注意球是正四面體的內(nèi)切球，球心到正四面體四個面的距離相等，都為球半徑?？梢岳玫润w積轉(zhuǎn)換的方法進行解答，這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為求球心到三棱錐面的距離，而點面距離?？梢杂玫润w積法解決，這樣一來問題就可以解答了。

例3.三棱錐P-ABC中，底面ΔABC滿足BA=BC，∠ABC=

■，P在面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為■，

當(dāng)其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為（ ）

A.2 B.3 C.2■ D.3■

解：設(shè)AB=BC=x，

OD=■ VP-ABC=■PDSΔABC=■

所以PD=■=R+■

所以

54R=■+■x4=■+■+■x4≥33■=■

所以R≥■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■x4時取到等號，x=3，則PD=3

所以P到面ABC的距離為3。

注意：對于“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要包括特殊的點、線、面之間的關(guān)系，分析空間幾何體重要的是能利用空間幾何體本身的特點，抓住棱與面的關(guān)系，建立有關(guān)的等量關(guān)系，進行比較細致的研究并且作出準確的分析與判斷，這是解決有關(guān)球的內(nèi)切和外接問題的重要前提。

三、多面體通過補形的方法研究外接球與內(nèi)切球

將多面體補成長方體或正方體的方法是，對于正方體或長方體來說，它們的外接球可以通過研究幾何體的體對角線完成，若

能將一個多面體變成一個長方體或正方體，使其頂點與長方體或正方體的八個頂點重合，則這個多面體的外接球就是對應(yīng)的長方體或正方體的外接球。