高中數(shù)學(xué)解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略分析

張晶

摘 要：教育的不斷改革與發(fā)展，對(duì)學(xué)生各項(xiàng)能力的要求越來(lái)越高，邏輯思維能力和分析表達(dá)能力是學(xué)生必不可少的兩項(xiàng)能力，而學(xué)生的這兩項(xiàng)能力并非與生俱來(lái)，而是在后天的不斷鍛煉中習(xí)得的。高中階段的數(shù)學(xué)題目邏輯性較強(qiáng)，教師對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行培養(yǎng)有助于提高學(xué)生的各項(xiàng)能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題技巧；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想是只顯示時(shí)間的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是數(shù)學(xué)的精髓。教師在對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)過(guò)程中引入各類(lèi)數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生掌握各類(lèi)解題技巧，不斷培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，促進(jìn)其思維能力的發(fā)展。本文著重論述“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、以數(shù)輔形解決幾何類(lèi)問(wèn)題

高中階段的幾何證明題往往需要學(xué)生在圖中作輔助線(xiàn)，尋求平行、垂直等條件，這樣容易在尋求條件時(shí)出現(xiàn)差錯(cuò)。而在解決幾何類(lèi)問(wèn)題時(shí)用代數(shù)方法輔助解決，有利于將幾何證明過(guò)程中復(fù)雜的一部分轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題。例如，在教學(xué)“計(jì)算二面角的大小”的相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，教師應(yīng)為學(xué)生指出：二面角大小的一般求法是找出兩個(gè)平面的法向量，使兩個(gè)法向量構(gòu)成一個(gè)三角形，在三角形內(nèi)找到兩個(gè)法向量對(duì)應(yīng)邊形成的夾角，并通過(guò)余弦定理計(jì)算大小，而在尋找兩個(gè)平面的法向量時(shí)，一般要作許多輔助線(xiàn)，從而使原圖變得混亂，不利于學(xué)生的進(jìn)一步作圖。此時(shí)較為簡(jiǎn)單的方法是，以圖中的一點(diǎn)為圓心，構(gòu)建一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并假設(shè)其中一邊長(zhǎng)度為a，列出圖中所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，由于每個(gè)面的法向量都垂直于這個(gè)平面，因此可以通過(guò)平面中兩條邊對(duì)應(yīng)向量的表達(dá)式計(jì)算出兩個(gè)平面法向量的表達(dá)式，通過(guò)幾何關(guān)系判斷出“二面角與其法向量夾角的正弦值相等”這一條件，通過(guò)關(guān)系式“■·■=A·B·cosα”算出兩平面法向量夾角的余弦值，再通過(guò)“對(duì)于任意角α，它的正弦值平方加余弦值平方和等于一”這一條件計(jì)算出兩法向量夾角的正弦值，也就計(jì)算出了二面角的正弦值，假設(shè)二面角正弦值為b，那么二面角的大小就為arcsinb。不單單是二面角問(wèn)題，很多幾何類(lèi)問(wèn)題都可以用代數(shù)知識(shí)輔助解答，教師在教學(xué)中應(yīng)告訴學(xué)生以數(shù)輔形的思路，不斷提高學(xué)生的解題能力。

二、以形助數(shù)解決代數(shù)類(lèi)問(wèn)題

高中階段的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題往往步驟繁多且運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求很高，而不同學(xué)生之間的計(jì)算能力存在很大差異，因此，教師對(duì)代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題不能一味依賴(lài)學(xué)生的計(jì)算能力，而要用“形”減少學(xué)生的計(jì)算量。例如，在教學(xué)“直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系”一課的相關(guān)題目時(shí)，常見(jiàn)題型為給出含有未知數(shù)的圓和直線(xiàn)的表達(dá)式以及圓和直線(xiàn)相切的條件，讓學(xué)生判斷未知數(shù)是多少，即讓學(xué)生計(jì)算出圓和直線(xiàn)的表達(dá)式分別是什么。學(xué)生對(duì)相切的第一感覺(jué)往往是Δ=0，即直線(xiàn)方程和圓方程聯(lián)立后的函數(shù)Ax2+Bx+C=0滿(mǎn)足B2-4AC=0，而直線(xiàn)方程是一次方程，圓的方程是二次方程，學(xué)生在聯(lián)立過(guò)程中由于運(yùn)算量較大，在對(duì)平方進(jìn)行運(yùn)算時(shí)很有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)為學(xué)生畫(huà)出直線(xiàn)與圓相切的圖像，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察得出“當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑”這一結(jié)論，從而利用“方程式為（x-a）2+（y-b）2=r2的圓圓心坐標(biāo)為（a，b）、半徑為r”以及“點(diǎn)（a，b）到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離為■”兩個(gè)條件，列出“圓心到直線(xiàn)距離等于圓的半徑”這一條件對(duì)應(yīng)的等式，解出未知數(shù)的值。在教學(xué)計(jì)算量較大的代數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生畫(huà)出圖形，通過(guò)對(duì)圖形的觀(guān)察發(fā)現(xiàn)圖形的特點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)單的方法，減少運(yùn)算量，避免因?yàn)檫\(yùn)算量過(guò)大致使運(yùn)算出錯(cuò)的情況發(fā)生。

三、不斷培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維模式

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，使學(xué)生對(duì)其良好掌握和使用的目的不僅在于增強(qiáng)自身解題能力、提高自身數(shù)學(xué)成績(jī)，更在于學(xué)生在對(duì)其的運(yùn)用過(guò)程中可以形成自身的思維模式，培養(yǎng)自身的思維能力。因此，教師在對(duì)學(xué)生引入數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，相較于讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)，更應(yīng)該在解題過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生不斷對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行運(yùn)用，不斷鼓勵(lì)學(xué)生，使學(xué)生逐漸具有數(shù)形結(jié)合的思維模式。高中階段許多類(lèi)型的應(yīng)用題都可以運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想，例如點(diǎn)和圓及直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系、橢圓的第二定義、圓的垂徑定理等等，教師在對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生不斷對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行應(yīng)用，使學(xué)生不斷熟悉這種思想，使數(shù)形結(jié)合思想成為自身解題的一種思維模式。

數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的引入與應(yīng)用，不僅有利于提高學(xué)生解題能力，更有利于不斷培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析和思維能力，在提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。本文結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想的定義及特點(diǎn)，從以數(shù)輔形解決幾何類(lèi)問(wèn)題、以形助數(shù)解決代數(shù)類(lèi)問(wèn)題以及不斷培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維模式三個(gè)方面，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用進(jìn)行了探討，并提出相關(guān)建議，以促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題能力的不斷提高以及思維能力的不斷提升。

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