不等式中恒成立問題的解題策略

摘 要：恒成立問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考中也經(jīng)常出現(xiàn)含參數(shù)的恒成立問題，它涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識點(diǎn)，包含轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法。在近幾年的高考試題中，恒成立問題越來越受到高考命題老師的青睞，在培養(yǎng)學(xué)生的思維方面起到了重要的作用。高中引入導(dǎo)數(shù)這個工具后，更豐富了解題的手段。通過實(shí)例比較系統(tǒng)地歸納出解決恒成立問題的一般方法，幫助學(xué)生重新認(rèn)識此類問題。

關(guān)鍵詞：不等式；恒成立問題；解題策略

一、利用最值解決

模型1：若f（x）>0，x∈D恒成立，只需fmin（x）>0，x∈D

若f（x）<0，x∈D恒成立，只需fmax（x）<0，x∈D

1.在R上的恒成立問題

例1：已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+2）ex在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

解：由題意：f'（x）=x2+（a+2）x+（a+2）ex≥0在R上恒成立，即

x2+（a+2）x+（a+2）min≥0，所以Δ=（a+2）2-4（a+2）≤0

所以-2≤a≤2

2.含絕對值不等式的恒成立問題

例2：若x-1+2x+1≥m恒成立，求m的取值范圍。

設(shè)f（x）=x-1+2x+1

當(dāng)x≥1時，則f（x）=3x，所以f（x）≥3

當(dāng)-■

當(dāng)x≤-■時，則f（x）=-3x，所以f（x）≥■

于是f（x）min=■

所以m≤■

二、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題

模型2：m≥f（x）在x∈D上恒成立？圳m≥f（x）max，x∈D

m≤f（x）在x∈D上恒成立？圳m≤f（x）min，x∈D

其中左邊為常數(shù)即可，也可以是■、-■等形式。

例3：已知函數(shù)f（x）=■+alnx-2，a>0

（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（x））處的切線與直線y=x+2垂直，求a的值。

（2）若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）>2（a-1）成立，求a的范圍。

解：（1）a=1

（2）由題意：f（x）=■+alnx-2>2（a-1）

從而■>x（2-lnx），設(shè)g（x）=x（2-lnx），只需■>g（x）max

因?yàn)間'（x）=1-lnx，所以，當(dāng)x=e時，g'（x）=0

當(dāng)00，

當(dāng)x>e時，g'（x）<0，所以g（x）max=g（e）=e

所以■>e，從而0

如果本題把參數(shù)a分離出來，則需要分類討論，由于左邊只需要常數(shù)就可以，故左邊分離■，從而避免了分類討論，大大提高了解題效率。

三、變換變量，看作一次函數(shù)

例4：若不等式x2-（a+2）x+2a>0對一切0

解：左邊的不等式如果看作關(guān)于x的不等式，則討論起來比較麻煩，如果把a(bǔ)看作自變量，把x看作常數(shù)，則不等式可以理解為一次不等式，無需討論，所以設(shè)g（a）=（2-x）a+x2-2x

因?yàn)間（a）=（2-x）a+x2-2x為a的一次函數(shù)

于是，只需g（0）≥0g（3）≥0

所以x≤0或x≥3

四、與存在性問題的區(qū)別

恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，要認(rèn)真思考，恰當(dāng)使用，等價轉(zhuǎn)化，切不可混淆意思。

一般的，存在性問題可以參考恒成立問題解決，但是最值需要改變，現(xiàn)歸納如下。

模型3：若存在x0∈D，使得m≥f（x）成立？圳m≥f（x）min

若存在x0∈D，使得m≤f（x）成立？圳m≤f（x）max

例5：若存在x0∈[-1，1]，使得不等式4■-a·2■+1≤2■成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：原始等價于-2■≤4■-a·2■+1≤2■

設(shè)t=2■∈[■，2]，

則-2t≤t2-a·t+1≤2t，即t+■-2≤a≤t+■+2

只需a≤（t+■+2）max，且a≥（t+■-2）min

所以0≤a≤■

總之，這類問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中涉及的知識比較廣泛，在處理上有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望以上的總結(jié)對同學(xué)們有所幫助。

作者簡介：林東東（1983—）男，漢族，浙江溫州，本科，一級教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)。