動(dòng)手操作·幾何直觀·比較抽象

巢芳騰

“倍”的知識(shí)本質(zhì)上是兩個(gè)量的比較。比較兩個(gè)數(shù)量的大小，有兩種基本方法；一種是比較它們的差（相差問(wèn)題）；一種是比較它們的比率關(guān)系（倍比問(wèn)題）。前者在學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是“加法結(jié)構(gòu)”，而要真正理解兩個(gè)量或多個(gè)量之間的比率關(guān)系就需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起“乘法結(jié)構(gòu)”，“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的開(kāi)始。教材是利用學(xué)生已有的知識(shí)，利用“幾個(gè)幾”引出倍的含義后，再?gòu)某ǖ慕嵌燃由顚?duì)倍的概念的理解，讓學(xué)生體會(huì)倍的本質(zhì)。由于倍的概念涉及兩個(gè)量之間的比較，十分抽象。而借助動(dòng)手實(shí)踐、幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解“倍”。因此在教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，提供參與幾何直觀活動(dòng)的機(jī)會(huì)，經(jīng)歷用圖示學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程。實(shí)現(xiàn)從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)變，真正幫助學(xué)生理解“倍”。

新教材中“倍的認(rèn)識(shí)”單元將“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”和“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”兩個(gè)部分集中編排在一起（實(shí)驗(yàn)教材則是將上述兩個(gè)部分分散在二上、二下）。這樣編排的優(yōu)勢(shì)在于“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的幾倍”順應(yīng)了“倍”的概念的來(lái)歷，便于學(xué)生理解和接受。

一、動(dòng)手操作——促進(jìn)學(xué)生對(duì)“倍”的理解

本冊(cè)教材中“倍的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，要讓學(xué)生直觀、形象地建立“倍”的概念，離不開(kāi)學(xué)生的實(shí)踐和想象。

1.擺一擺

教材中呈現(xiàn)的例1（第50頁(yè)）的情境圖是1只黑兔、2只灰兔、3只白兔，一共拔了2根胡蘿卜、6根紅蘿卜、10根白蘿卜，所有的蘿卜無(wú)序擺放。在教學(xué)中教師要讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺，通過(guò)“擺一擺”體會(huì)到，要將三種蘿卜進(jìn)行比較，最好的辦法就是先將三種蘿卜分類(lèi)，然后進(jìn)行有序擺放，并做到一一對(duì)應(yīng)；這樣一眼就能看到哪種蘿卜多，多多少。再引申到另一種比較方法，把2根胡蘿卜當(dāng)做1份，6根紅蘿卜可以分成3份，就是3份2根，即紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍；那白蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的5倍。

2.圈一圈

將紅蘿卜和白蘿卜進(jìn)行比較時(shí)，讓學(xué)生圈一圈，紅蘿卜有幾個(gè)2根，白蘿卜有幾個(gè)2根；進(jìn)而得出紅蘿卜、白蘿卜的根數(shù)分別是胡蘿卜的幾倍。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手圈一圈，初步感知倍的含義。

3.畫(huà)一畫(huà)

“倍”的概念建立在幾個(gè)幾的基礎(chǔ)上，有幾個(gè)幾引申得到。為了讓學(xué)生深刻理解“倍”的概念，教師可以引導(dǎo)學(xué)生多畫(huà)幾組，例如：〇有3個(gè)，△的個(gè)數(shù)是〇的2倍，請(qǐng)畫(huà)出△的個(gè)數(shù)；★的個(gè)數(shù)是□的3倍，請(qǐng)畫(huà)出★和□的個(gè)數(shù)。同桌之間相互出題，讓對(duì)方畫(huà)一畫(huà)，加深“倍”的理解。

4.說(shuō)一說(shuō)

不管是在“擺一擺”環(huán)節(jié)，還是在“圈一圈”“畫(huà)一畫(huà)”環(huán)節(jié)，教師都應(yīng)對(duì)引導(dǎo)學(xué)生用完整的語(yǔ)言說(shuō)出“倍”的來(lái)歷。例如：胡蘿卜2根，紅蘿卜有3個(gè)2根，所以紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍；培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力。

5.想一想

如果小兔子吃掉了1根紅蘿卜，現(xiàn)在白蘿卜的根數(shù)與紅蘿卜的根數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？在動(dòng)畫(huà)的引導(dǎo)下，不斷改變所比較的兩個(gè)量的數(shù)量，在豐富的比較活動(dòng)中，進(jìn)一步理解倍的含義，引導(dǎo)學(xué)生想一想倍的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)量在相互比較，即用其中的一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量包含了幾個(gè)這個(gè)量就是它的幾倍，感受比的“標(biāo)準(zhǔn)”的重要。

二、幾何直觀——理清相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中把“幾何直觀”作為核心概念提出，并明確其內(nèi)涵“主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題”。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在“解決問(wèn)題”內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出示意圖或線段圖，幫助學(xué)生理清相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系，會(huì)使課堂教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

本冊(cè)教材中“倍的認(rèn)識(shí)”例2（第51頁(yè)）是借助示意圖幫助學(xué)生理解擦桌椅的人數(shù)與掃地人數(shù)之間的關(guān)系，要求擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍，就是求12里面有幾個(gè)4，用除法計(jì)算。例3（第52頁(yè)）是借助線段圖（如上圖）幫助學(xué)生理解象棋的價(jià)錢(qián)與軍棋價(jià)錢(qián)之間的關(guān)系，要求象棋的價(jià)錢(qián)，就是求4個(gè)8是多少元。

關(guān)于倍的實(shí)際問(wèn)題，主要有三類(lèi)：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍；求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少；已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)。在解決問(wèn)題中，借助直觀示意圖和線段圖分析數(shù)量，展示了倍比關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)：“兩個(gè)量比較，一個(gè)量包含幾個(gè)另一個(gè)量”，并運(yùn)用除法和乘法解決，在提高學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)倍概念的認(rèn)識(shí)。

三、比較抽象——尋找解決問(wèn)題的策略

烏申斯基說(shuō)：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的……”。“倍”表示兩類(lèi)事物在量的比較中的一種關(guān)系，是看不見(jiàn)摸不著的，借助形象理解抽象的“倍”，經(jīng)歷倍的認(rèn)識(shí)從“直觀模型”到“抽象數(shù)量關(guān)系”的轉(zhuǎn)化，并用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，把“倍的認(rèn)識(shí)”提升到概念性的水平。

本冊(cè)教材中“倍的認(rèn)識(shí)”例2、例3的2個(gè)解決問(wèn)題，意在加強(qiáng)“倍”的知識(shí)在生活中的應(yīng)用，立足學(xué)生的親身實(shí)踐，根據(jù)學(xué)生對(duì)“倍”概念的理解，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出相應(yīng)的示意圖或線段圖，理清相關(guān)的數(shù)學(xué)之間關(guān)系，找到解決問(wèn)題的方法，并在比較、抽象中提煉問(wèn)題的本質(zhì)，尋找解決類(lèi)似問(wèn)題的策略。

認(rèn)識(shí)“倍”概念的過(guò)程，就是一個(gè)幫助學(xué)生逐漸抽象，最后領(lǐng)悟本質(zhì)的過(guò)程。而要抽象，就必須進(jìn)行比較，沒(méi)有比較就無(wú)法找到共同的部分。因此可以說(shuō)比較是抽象的前提，抽象是比較的目的，學(xué)生正是在不斷對(duì)比與抽象中把握了概念“倍”。

編輯 郭小琴