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    添項構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項

    2017-08-11 12:10:55陜西侯有岐
    教學考試(高考數(shù)學) 2017年2期
    關(guān)鍵詞:法求加數(shù)漢中市

    陜西 侯有岐

    (作者單位:陜西省漢中市四○五中學)

    添項構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項

    數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法.一般情況下,給出數(shù)列的遞推公式,可以求出數(shù)列的通項公式,依據(jù)數(shù)列的通項公式可以進一步研究數(shù)列的其他性質(zhì).本文擬從下列幾個方面例析添項構(gòu)造數(shù)列求遞推數(shù)列的通項公式的有關(guān)技巧.

    一、an+1=f(an)型此類問題只需給遞推式兩邊同加數(shù)λ即可

    【例1】在數(shù)列{an}中,若a1=1,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),求該數(shù)列的通項公式an.

    【評注】已知an+1=f(an)型遞推公式求數(shù)列通項問題,常常在遞推式兩邊加數(shù)λ,構(gòu)造數(shù)列{an+λ},此時數(shù)列{an+λ}往往是以a1+λ為首項的等比數(shù)列,從而求出an.

    【變式1】在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3,求該數(shù)列的通項公式an.

    【答案】an=2n+1-3.

    二、an+1=pan+qan-1型此類問題只需給遞推式兩邊同加λan即可

    【例2】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,求數(shù)列{an}的通項公式.

    【解析】遞推式兩邊同時加λan+1,整理得

    所以an+2-an+1=(an+1-an)+2,所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項,2為公差的等差數(shù)列,由此可得an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,

    所以a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3,

    將以上各式相加得an-a1=(n-1)2.

    即an=n2-2n+2,

    所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2.

    【評注】已知an+1=pan+qan-1型遞推公式求數(shù)列通項問題,常常在遞推式兩邊加λan,構(gòu)造數(shù)列{an+λan-1},此時令an+λan-1=bn,則問題轉(zhuǎn)化為類型一:bn+1=f(bn)型求解.

    【變式2】在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=5,an+1=5an-6an-1(n≥2),求該數(shù)列的通項公式an.

    三、an+1=pan+f(n)型

    已知an+1=pan+f(n)型遞推公式求數(shù)列通項問題,(1)若f(n)=abn+c,則兩邊同時加上λ1bn+1+λ2(c=0取λ2=0),構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ1bn+λ2}求解;(2)若f(n)=an2+bn+c,則兩邊同時加上λ3(n+1)2+λ4(n+1)+λ5.構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ3n2+λ4n+λ5}求解.

    【例3】數(shù)列{an}滿足a1為常數(shù),an=3n-1-2an-1,求數(shù)列{an}的通項公式.

    【例4】在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2n,求該數(shù)列的通項公式an.

    【解析】遞推式兩邊同時加λ1(n+1)+λ2,

    四、an+1=pan+qan-1+f(n)型另外添加λan

    【例5】數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1,an=-an-1+2an-2+2n-2(n≥3),求數(shù)列{an}的通項公式.

    【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·2n-1,整理得

    所以可得an=-2an-1+2n-1-1(n≥2),

    再給上式兩邊同時加λ2·2n+λ3,

    【評注】已知an+1=pan+qan-1+f(n)型遞推公式求數(shù)列通項問題,與類型三類似,只要另外添加λan,構(gòu)造等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為類型三求解.

    【變式3】在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=3,an=an-1+2an-2+3n-2(n≥3),求該數(shù)列的通項公式an.

    【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·3n-1,整理得

    所以數(shù)列{an+an-1-3n-1}是以λ+1=2為公比,以a2+a1-3=1為首項的等比數(shù)列,由此可得an+an-1-3n-1=2n-2,即an=-an-1+3n-1+2n-2,

    再給上式兩邊同時加λ2·3n+λ3·2n-1+λ4,

    整理得an+λ2·3n+λ3·2n-1+λ4=-[an-1+(-3λ2-1)·3n-1+(-2λ3-1)·2n-2-λ4],

    令λ2=-3λ2-1,λ3=-2λ3-1,λ4=-λ4,

    (作者單位:陜西省漢中市四○五中學)

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