二項式中的系數(shù)問題

山東 楊宗柱

(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))

二項式中的系數(shù)問題

一、求展開式中項的系數(shù)

【例1】(2016·北京)在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)

二、求展開式中與系數(shù)相關(guān)的參數(shù)

【點評】已知二項式展開式中某一項的系數(shù)，求相關(guān)參數(shù)的值，是二項式定理的逆向應(yīng)用.解這類問題主要是利用通項公式，建立關(guān)于參數(shù)的方程，由待定系數(shù)法求解.

三、求兩個二項式積的展開式中項的系數(shù)

【例3】(2014·浙江理·5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )

A.45 B.60 C.120 D.210

【點評】求兩個二項式積的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù).

【變式3】 (1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數(shù)為 .

提示：因為(1+2x)3(1-x)4展開式的通項為

又由題意知r+s=2，

四、賦值法求展開式各項系數(shù)的和

【點評】求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1.

( )

A.-60 B.60

C.-30 D.30

五、求系數(shù)最大的“項”

(Ⅰ)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)；

(Ⅱ)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項.

當(dāng)n=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8.

所以n=12或n=-13(舍去).

設(shè)Tk+1項的系數(shù)最大，

【點評】二項式系數(shù)、系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)最大的項一定是展開式中的中間項(或中間兩項)；而系數(shù)最大的項通過解不等式組的方法解決，且一定要考慮到系數(shù)前的符號.

六、綜合應(yīng)用

【點評】本題與基本不等式的應(yīng)用結(jié)合，考查了二項式展開式的項的系數(shù)的逆向應(yīng)用，體現(xiàn)了知識間的交匯.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若(xcosθ+1)5的展開式中x2的系數(shù)與(x+a)4的展開式中x3的系數(shù)相等，試求cos2θ的值.

故cos2θ=2cos2θ-1=0.

(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))