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    一題多解案例剖析

    2017-08-09 11:49:11闕圣東
    初中生世界 2017年28期
    關(guān)鍵詞:過點(diǎn)線段三角形

    ■闕圣東

    一題多解案例剖析

    ■闕圣東

    很多幾何問題,都有不同的解法,思維方式不同,得到的解法也各不相同。給學(xué)生這樣一道題目,學(xué)生思維很開闊,提供了幾種不同的解法,現(xiàn)將解法整理歸納,與同行交流。

    圖1

    一、原題呈現(xiàn)

    如圖,在△ABC中,AB=AC,P是底邊BC上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足為D、E,CF是AB邊上的高,求證:PD+PE=CF。

    二、解法探究

    解法1(作垂直,截長來轉(zhuǎn)化):過點(diǎn)P作PG⊥CF于點(diǎn)G。易證Rt△PGC≌Rt△CEP(AAS),因此CG=PE,所以CF=GF+CG=PD+PE。

    解法2(作平行,截長來轉(zhuǎn)化):過D作DH∥BC交CF于點(diǎn)H。易證Rt△DFH≌Rt△CEP(AAS),因此HF=PE,所以CF=CH+HF=PD+PE。

    解法3(作垂直,補(bǔ)短來轉(zhuǎn)化):過點(diǎn)C作CK⊥DP,交DP的延長線于點(diǎn)K。易證Rt△CKP≌Rt△CEP(AAS),因此PK=PE,所以CF=DK=PD+ PK=PD+PE。

    解法4(巧割補(bǔ),求面積得相等):連接AP。由S△APB+S△APC=S△ABC,得AB·PD+AC·PE=· AB·CF,又因?yàn)锳B=AC,即PD+PE=CF。

    解法5(底角等,妙用三角函數(shù)):在Rt△BDP中,PD=PB·sinB;在Rt△BFC中,CF=BC· sinB;在Rt△CEP中,PE=PC·sin∠ECP,又因?yàn)锳B=AC,因此∠B=∠ECP,所以sinB=sin∠ECP,因?yàn)锽C=PB+PC,即BC·sinB=PB·sinB+PC· sin∠ECP,所以CF=PD+PE。

    解法6(得相似,用比例巧化歸):易證△BDP∽△BFC∽△CEP,因此利用比例的性質(zhì)可得,即所以PD+PE=CF。

    三、解題反思

    這6種方法中的前三種解法是求證“一條線段等于另外兩條線段和”問題的通法,截取較長的線段,或者延長較短的線段。解法4由高想到面積,即利用面積割補(bǔ)是眾多解法中最特殊的解法,更是所有解法中最本質(zhì)的解法。其本質(zhì)就在于面積的轉(zhuǎn)化,將大的三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個小的三角形的面積之和,回到數(shù)學(xué)最本質(zhì)的根源。轉(zhuǎn)化、化歸都是一些基本的數(shù)學(xué)思想方法,除此之外,還有數(shù)形結(jié)合、分類、方程、模型思想等,數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展與應(yīng)用中,因此,我們每一位教師在平時要精心設(shè)計教學(xué)活動,在教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、合作交流,尋求到數(shù)學(xué)的本質(zhì),逐步感悟數(shù)學(xué)思想。

    對于本題的不同解法,問題的切入點(diǎn)不同,則解法不同,解法5三角函數(shù)法從等腰三角形的兩個底角思考,解法6比例化歸由三個三角形都是相似三角形切入,解法不同,則思維方法不同,這就要求學(xué)生不斷擴(kuò)展思維能力,及時矯正解題中暴露的問題,彌補(bǔ)不足,鞏固已有,而知識體系的構(gòu)建可以幫助學(xué)生從不同角度思考解題方法,訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維,使得解題方法最優(yōu)化。同時,變式練習(xí)可使學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基礎(chǔ)技能下,不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力。

    (作者為江蘇省泰州市姜堰區(qū)張甸初級中學(xué)教師)

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