例說(shuō)軸對(duì)稱(chēng)在解題中的妙用

重慶市魯能巴蜀中學(xué)校 杜星蘭

例說(shuō)軸對(duì)稱(chēng)在解題中的妙用

重慶市魯能巴蜀中學(xué)校 杜星蘭

本文研究的主要目標(biāo)就是應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)理論嘗試解題，并從中發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)解題存在的實(shí)踐意義，讓學(xué)生更好地掌握科學(xué)的解題方法，并沿用到生活當(dāng)中。

軸對(duì)稱(chēng)；解題；妙用

伴隨時(shí)代的不斷發(fā)展以及社會(huì)文明的不斷進(jìn)步，人們?cè)絹?lái)越重視教育工作的質(zhì)量升級(jí)目標(biāo)，通過(guò)科學(xué)的學(xué)習(xí)方式能夠培養(yǎng)學(xué)生更加優(yōu)秀的綜合能力。因此，本文就針對(duì)軸對(duì)稱(chēng)的解題思路進(jìn)行分析，希望能夠讓學(xué)生掌握更為靈活的解題思維。

一、選擇最優(yōu)路線(xiàn)問(wèn)題

采取軸對(duì)稱(chēng)的方式在解題的過(guò)程中充分應(yīng)用，能夠滿(mǎn)足實(shí)際的解題需求，即應(yīng)用翻折變換的方式勾畫(huà)基礎(chǔ)途徑，進(jìn)而獲得解題思路，從而得到答案。本次研究首先從選擇最優(yōu)路線(xiàn)的解題用法入手，從中體會(huì)解題應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的妙處。

例1 如圖1所示，瓜農(nóng)從A處去挑水，然后回到B處，A處為瓜農(nóng)的家，B處是瓜棚的位置，嘗試尋找在什么位置取水能夠走最短的路程？解題：尋找A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)CD的翻折變換對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，選擇連接A1B與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)M。根據(jù)題目給出的信息進(jìn)行解題，理順對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)能夠得知，AM=A1M。因?yàn)锳M+BM=A1M+BM=A1B，因此獲得兩點(diǎn)之間的直線(xiàn)最短。所以，點(diǎn)M為本題答案。

圖1

例2 根據(jù)圖2理解，兩條道路之間形成的夾角α＜90°。在兩條道路之間存在一個(gè)汽油儲(chǔ)存地點(diǎn)，該地點(diǎn)表示為P。如果希望在兩條道路上都設(shè)置一個(gè)加油站，應(yīng)當(dāng)能選擇的位置是哪里？要求能夠?qū)蓚€(gè)加油站設(shè)置在與汽油儲(chǔ)存地點(diǎn)分別達(dá)到比較近的位置，即從汽油儲(chǔ)存位置到一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站后回到原點(diǎn)的距離最近。嘗試分析這樣的題目，就是把生活中實(shí)際存在的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理論。即已知條件為∠ABC和∠ABC內(nèi)的P點(diǎn)，∠ABC為α，且α＜90°，在射線(xiàn)BA和BC的線(xiàn)路中尋找符合要求的Q點(diǎn)、R點(diǎn)，促使折線(xiàn)(PQ+QR+RP)后得到的線(xiàn)路長(zhǎng)度最短。這樣的方式說(shuō)明，如果解題過(guò)程中應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)中的翻折變換方式，就能夠從P點(diǎn)找到BA和BC的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即P1，P2，然后就能夠?yàn)檎覍ぷ疃搪窂降膯?wèn)題找到解題方案。具體解題方案就是，在BA和BC兩側(cè)找到關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，分別是P1，P2，并連接P1，P2，與BA、BC交于點(diǎn)Q和點(diǎn)R，最終獲得的點(diǎn)Q、點(diǎn)R就是答案。

圖2

二、臺(tái)球運(yùn)動(dòng)反射原理

臺(tái)球運(yùn)動(dòng)在固定的桌面范疇內(nèi)，存在不同的球位置，因此能夠促成非常有趣的數(shù)學(xué)題目，應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的翻轉(zhuǎn)變換方式進(jìn)行解題，可以獲得很多科學(xué)的思路，進(jìn)而滿(mǎn)足數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需求。如圖3所示，在矩形的臺(tái)球桌中存在C，D，E，F(xiàn)四個(gè)點(diǎn)，其中A、B分別表示黑色球和白色球，假使通過(guò)球桿擊打黑色球，就能夠在黑色球達(dá)到桌邊時(shí)碰撞EF線(xiàn)，然后反彈回去恰好擊中白色球，希望達(dá)成這樣的擊打線(xiàn)路，應(yīng)當(dāng)如何控制黑色球的運(yùn)動(dòng)軌跡路線(xiàn)？為了能夠解答這道題目，第一步需要在臺(tái)球桌的線(xiàn)路內(nèi)尋找能夠反彈球的線(xiàn)路及其規(guī)律，將A球擊打到臺(tái)球桌面的EF射線(xiàn)上，就會(huì)遇到M點(diǎn)，進(jìn)而通過(guò)反彈可以滿(mǎn)足集中B球的要求，MN就是EF的垂線(xiàn)，∠AMN和∠BMN分別稱(chēng)之為入射角和反射角。了解并掌握自然反射中存在的規(guī)律信息，就能夠發(fā)現(xiàn)，假如光線(xiàn)從A的角度射入，然后通過(guò)鏡面的操作呈現(xiàn)出M反射就會(huì)到達(dá)B點(diǎn)?！螦MN與∠BMN是相等的，這也是反射原理的內(nèi)容，而出現(xiàn)在M點(diǎn)的角度也是最佳的反射點(diǎn)，首先，通過(guò)延長(zhǎng)BM獲得A1，進(jìn)而能夠得到MA1=MA，并且可以發(fā)現(xiàn)A在EF右側(cè)存在對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即A1，連接A,B與EF交于M點(diǎn)，即M是最優(yōu)點(diǎn)。其次，在EF上存在的任意一個(gè)點(diǎn)再到A、B點(diǎn)上的距離之和，都顯示AM+MB為最短線(xiàn)路。

圖3

三、幾何證明題中的應(yīng)用

利用軸對(duì)稱(chēng)和翻轉(zhuǎn)變換的理論能夠在幾何證明題中充分應(yīng)用，并輔助得到良好的題目解答方案。在幾何圖形中，非常常見(jiàn)的圖形都是由線(xiàn)、角組成的，其中包含等腰三角形等。為了能夠證明幾何題目中才能存在的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，就需要根據(jù)翻折變換的方式將不對(duì)稱(chēng)的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)檩S對(duì)稱(chēng)圖形，進(jìn)而達(dá)成解題證明的需求。如圖4所示，△ABC是等邊三角形，將線(xiàn)段BA延長(zhǎng)到E，再將線(xiàn)段BC延長(zhǎng)到D，使AE與BD相等，然后連接CE和DE，求證CE=DE。嘗試分析，假如CE=DE，那么在CD的中垂線(xiàn)兩側(cè)存在對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段關(guān)系，根據(jù)這一原則進(jìn)行圖形的補(bǔ)充，采取翻折變換的方式能夠補(bǔ)全圖形，最終延長(zhǎng)BD到 F，其中DF=BC，補(bǔ)充一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的圖形，就能夠獲得等邊三角形EBF，通過(guò)證明△EBC≌△EFD即可獲得證明結(jié)果。

圖4

通過(guò)切實(shí)有效的分析、探討和總結(jié)能夠發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生感性認(rèn)知的調(diào)節(jié)，滿(mǎn)足學(xué)生自身對(duì)實(shí)踐學(xué)習(xí)的要求，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中，通過(guò)自己的操作實(shí)現(xiàn)對(duì)軸對(duì)稱(chēng)理論的理解，進(jìn)而能夠讓學(xué)生在翻轉(zhuǎn)變換的過(guò)程中體驗(yàn)相關(guān)的信息，進(jìn)而借助自身學(xué)習(xí)到的理論實(shí)現(xiàn)對(duì)生活中存在問(wèn)題的解答，從而讓學(xué)生在大腦思維中構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模式，讓學(xué)生更好地將學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活當(dāng)中。

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