淺析求解向量題目常用的妙招

江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué) 陳 英

淺析求解向量題目常用的妙招

江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué) 陳 英

向量題目是試卷中必定出現(xiàn)的題目，直接解答向量題目，往往找不到入手點(diǎn)，可以從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以輕松解答。從代數(shù)角度來(lái)講，可以將向量問(wèn)題實(shí)數(shù)化，從而運(yùn)用數(shù)的性質(zhì)加以處理；從幾何角度來(lái)講，向量問(wèn)題可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想加以處理。文中介紹了求解向量題目常用的妙招，以求能夠更好地解決向量問(wèn)題。

向量題目；高中數(shù)學(xué)；妙招

向量，是指既有大小又有方向的量，它的本質(zhì)解釋了向量具有“數(shù)”和“形”的雙重身份。向量題目的難度并不是很大，而是轉(zhuǎn)化起來(lái)存在困難，導(dǎo)致容易出現(xiàn)問(wèn)題。在解決向量題目時(shí)，可以根據(jù)具體問(wèn)題，從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度著手轉(zhuǎn)化，在實(shí)踐中反思，形成解決向量題目的妙招。

一、靈活“建系”，巧妙解答向量題目

遇到平面圖形的向量問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)需求靈活建立平面直角坐標(biāo)系，然后再通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算巧妙地解決問(wèn)題，這正是體現(xiàn)向量“代數(shù)化”手段的重要性，更是解決向量問(wèn)題的妙招。

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)。若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，那么的取值范圍是 。

圖 1

【分析】 該題目解決之前，首先要根據(jù)題意構(gòu)建一個(gè)平面坐標(biāo)系xcy，且將等腰直角三角形ABC置放于平面坐標(biāo)系xcy中（如 圖1）。根據(jù)圖1可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A（1,0），N（0,1/2），M（1/2,1/2）。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則可以得出y-1/2）。由此可解出答案。

【評(píng)注】 該題目是一道綜合性的題目，通過(guò)抽象思維很難找到出路，而通過(guò)建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，就能夠找到解題思路，同時(shí)還能夠找到切入點(diǎn)。“平移”是運(yùn)用線性規(guī)劃解題過(guò)程中常常用到的技巧，在此題目中，就是運(yùn)用“平移”技巧建立不等式，最終解決問(wèn)題。

二、構(gòu)造“基底”，巧妙解答向量題目

平面向量問(wèn)題往往較為抽象，看到題目只覺(jué)得眼花繚亂，根本不能夠抓住題目的切入點(diǎn)，更不能正確、省時(shí)地解決問(wèn)題。如若遇到平面向量的相關(guān)問(wèn)題，能夠根據(jù)具體情況，選擇一組恰當(dāng)基底，就能夠?qū)┈嵉膯?wèn)題化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。選擇基底不能夠隨便選擇，而是要依據(jù)平面向量的基本定理和向量相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。選擇恰當(dāng)基底e1、e2，就可以將原來(lái)的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為e1、e2的代數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題。

圖2

三、借助“圖形”，巧妙解答向量題目

向量具有“數(shù)”和“形”的雙重身份，因此在遇到向量問(wèn)題時(shí)，不僅要能夠靈活地運(yùn)用平面向量的加法法則和減法法則，還要能夠明確其幾何意義，且能夠結(jié)合題意恰當(dāng)運(yùn)用。因?yàn)閷?duì)于抽象的問(wèn)題，往往可以通過(guò)圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化，且有助于找到正確的解題思路，從而順利地完成題目。

例3 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，O為原點(diǎn)，A（-1,0）,B（0，的最大值是 。

【分析】 該題目單純依據(jù)思維，根本不能夠找到一個(gè)明確的解題思路。本題目可以根據(jù)題意將圖形畫在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中（如圖3），將其抽象為一個(gè)以點(diǎn)O和點(diǎn)C為圓心的兩個(gè)圓。

圖 3

【評(píng)注】 將題意形成具體的某個(gè)圖形并不是解題的關(guān)鍵，該題目根據(jù)題意繪制圖形，處理的關(guān)鍵在于：將分別轉(zhuǎn)化成為與兩個(gè)向量；二，做，且使三，靈活運(yùn)用向量不等式：取等號(hào)的充分必要條件。

向量題目可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的方式，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，概括來(lái)講，就是從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度進(jìn)行解答。從代數(shù)角度來(lái)講，可以將向量問(wèn)題實(shí)數(shù)化，從而運(yùn)用數(shù)的性質(zhì)加以處理；從幾何角度來(lái)講，向量問(wèn)題可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想加以處理。

[1]滕傳民.平面向量題目的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（09）.

[2]蔣明建.破解向量難題…挖掘潛在信息[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（09）.