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    廣義結(jié)式矩陣核維數(shù)的證明*

    2014-08-08 06:55:26
    關(guān)鍵詞:結(jié)式公因式工商大學(xué)

    楊 翠 芝

    (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601 )

    結(jié)式矩陣的研究開始于19世紀(jì)中期,因其在線性系統(tǒng)、穩(wěn)定性理論、控制性理論等問題中都起著重要作用,因此備受關(guān)注.文獻(xiàn)[1]討論了經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣與Bezout矩陣的關(guān)系,并給出了經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣的算子表示;文獻(xiàn)[2]討論了兩個多項式的最大公因式與Sylvester結(jié)式矩陣的聯(lián)系,給出了兩個多項式的最大公因式的次數(shù)與Sylvester結(jié)式矩陣秩之間的等式關(guān)系.此處在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上討論廣義結(jié)式矩陣與多項式之間的關(guān)系,給出并證明了兩個多項式的廣義結(jié)式矩陣核維數(shù).

    很顯然,兩個多項式的經(jīng)典Sylvester結(jié)式矩陣是(m+n)×(m+n)的方陣.

    定義1 設(shè)F為代數(shù)閉域,令U∈Fn+1,V∈Fm+1,p≤min{m,n},假設(shè)m,n≥0,則廣義結(jié)式矩陣定義為

    特別地,當(dāng)p=0時,Resp(U,V)稱為經(jīng)典的Sylvester結(jié)式矩陣.

    則(Dm,m+n(W)TX)(t)=W(t)X(t).

    引理2 令q∈Fm+n,w∈Fn+1,p∈Fm,那么Dm,n+m(w)qJ=pJ,當(dāng)且僅當(dāng)存在p1,p2∈Fn使得w(t)q(t)=p1(t)+p(t)tn+tm+np2(t)成立.

    證明由矩陣的運算有等式(1)成立:

    (1)

    (2)

    將式(2)最后一個等式兩邊同乘以Jm,即

    證明取qJ∈kerDn+m-p-υ,n+m-p(w),則q∈Fn+m-p,由引理2,存在p1,p2∈Fυ使得

    w(t)q(t)=p1(t)+tm+n-pp2(t)

    (3)

    式(3)兩邊分別乘以U0(t),V0(t)得

    u(t)q(t)=u0(t)p1(t)+tn+m-pu0(t)p2(t),v(t)q(t)=v0(t)p1(t)+tn+m-pv0(t)p2(t)

    由于degU0(t)≤n-υ,degV0(t)≤m-υ, 由引理2得

    qJ∈kerDm-p, n+m-p(u),qJ∈kerDn-p,n+m-p(v)

    1Dn+m-p-υ,n+m-p(w)?ker Resp(U,V)

    定理2 設(shè)Resp(U,V)是給定多項式U(t),V(t)的廣義結(jié)式矩陣,則

    (i)dimker(Resp(U,V))T=max{0,υ-p};

    (ii)dimker Resp(U,V)=max{υ,p}.

    證明

    (i)

    (4)

    由引理1,式(4)轉(zhuǎn)化成

    U(t)X(t)+V(t)Y(t)=0,X(t)∈Fm-p[t],Y(t)∈Fn-p[t]

    (5)

    W(t)(U0(t)X(t)+V0(t)Y(t))=0?(U0(t)X(t)+V0(t)Y(t)=0?U0(t)X(t)=-V0(t)Y(t)

    (6)

    因為U0(t)|U0(t)X(t),所以U0(t)|-V0(t)Y(t),因為u0(t)與V0(t)互素,所以U0(t)|Y(t).設(shè)Y(t)=U0(t)P(t),由于U0(t)∈Fn-υ+1[t],Y(t)∈Fn-p[t],所以

    2) 當(dāng)υ

    其中U0(t)是生成的多項式)

    (7)

    (3)

    1) 當(dāng)υ≥p時,由(i)可知dimker(Resp(U,V))T=υ-p,所以

    rank Resp(U,V)T=m+n-2p-(υ-p)=m+n-p-υ

    dimker Resp(U,V)=m+n-p-rank Resp(U,V)=m+n-p-rank(Resp(U,V))T=υ

    2) 當(dāng)υ

    rank(Resp(U,V))T=m+n-2p

    dimker Resp(U,V)=m+n-p-rank Resp(U,V)=m+n-p-rank(Resp(U,V))T=p

    綜合(ii)的1),2),知dimkerResp(U,V)=max{υ,p}.

    參考文獻(xiàn):

    [1] FUHRMANN P A. A Polynomial Approach to Linear Algebra [M]. New York:Sprigner-Verlag,1996

    [2] BANETT S. Polynomials and Linear Control Systems[M]. New-York:Marcel Dekker ,1983

    [3] 劉冰,張羽乾. Bernstein-Bezoutian矩陣的若干性質(zhì)[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,28(4):339-442

    [4] 王其林.關(guān)于“正交矩陣的特征多項式及特征根”的注[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011(4):154-155

    [5] 陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用[M]. 北京:高等教育出版社,1990

    [6] CHEN G N, ANG Z H. Bezoutian Representation via Vandermonde Matrices[J]. Linear Algebra Appl,1993(186):35-46

    [7] HEINING G , ALVAREZ M. On Bezoution Reduction with Vandermonde Matrices and Operators [J]. Operator Theory, 1984(13):100-121

    [8] FUHRMANN P A. On Bezoutian Vandermonde Matrices and the Lienard-Chipart Stability Criterion [J]. Linear Algebra Appl ,1989(120):25-33

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