與動(dòng)量知識(shí)結(jié)合的易錯(cuò)問題分析

湖北 許 文

與動(dòng)量知識(shí)結(jié)合的易錯(cuò)問題分析

湖北 許 文

學(xué)習(xí)中防止出現(xiàn)錯(cuò)誤，才能取得進(jìn)步。認(rèn)識(shí)每一道錯(cuò)題背后可能隱藏的知識(shí)上的疏漏、理解上的偏差，透過錯(cuò)誤表象看到其本質(zhì)，往往比正確做出一道題收效更大。2017年全國高考物理大綱將動(dòng)量知識(shí)內(nèi)容調(diào)整為必考內(nèi)容，這一調(diào)整必將在高考中有所體現(xiàn)。本文分析高考中與動(dòng)量知識(shí)結(jié)合的易錯(cuò)問題，做到有的放矢，科學(xué)備考。

一、用動(dòng)量定理分析持續(xù)作用問題建模致錯(cuò)

【例1】如圖1所示，一架質(zhì)量為M的武裝直升機(jī)武直－10的旋翼槳旋轉(zhuǎn)向下推空氣獲得反沖力使直升機(jī)懸停在空中。已知向下推出空氣的速度為v，則直升機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為 （ ）

圖1

【錯(cuò)解】因直升機(jī)懸停在空中，旋翼槳旋轉(zhuǎn)向下推空氣獲得反沖力F＝Mg，則直升機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為P＝Fv＝Mgv，B項(xiàng)正確。

【錯(cuò)因】直升機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)帶動(dòng)旋翼槳旋轉(zhuǎn)持續(xù)向下推空氣使其獲得反沖力，發(fā)動(dòng)機(jī)的平均功率是指旋翼槳對(duì)推出空氣做功的平均功率。以上錯(cuò)解在于不能對(duì)持續(xù)作用問題正確建立物理模型。

【正解】在本題的求解過程中，我們可以構(gòu)建這樣一個(gè)物理模型：設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)帶動(dòng)旋翼槳旋轉(zhuǎn)一段很短的時(shí)間Δt，使質(zhì)量為Δm的一團(tuán)空氣體獲得向下的速度v，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)這團(tuán)氣體的作用力為F（FΔmg），直升機(jī)獲得反沖力F′而停在空中不動(dòng)。發(fā)動(dòng)機(jī)在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)這團(tuán)氣體所做的功ΔW應(yīng)等于這團(tuán)氣體的動(dòng)能的增量，即

對(duì)直升機(jī)有F′＝Mg

對(duì)這團(tuán)氣體由動(dòng)量定理有 （F＋Δmg）Δt＝Δmv，

由于FΔmg，上式可以變?yōu)镕Δt＝Δmv

由牛頓第三定律得F與F′的大小應(yīng)相等，即F＝F′

【答案】C

【感悟】持續(xù)作用問題又稱流體問題。液體流、電子流、光子流、氣體流等被廣義地稱為“流體”，其中電子流、光子流、氣體流等又可統(tǒng)稱為粒子流。對(duì)于流體的持續(xù)作用問題，關(guān)鍵的是正確建立物理模型，選取合適的研究對(duì)象。

持續(xù)作用問題的求解要點(diǎn)：

（1）確定研究對(duì)象：選取研究對(duì)象的方法通常用到微元法。對(duì)液體流，通常選取質(zhì)量為Δm的一段液柱為研究對(duì)象；對(duì)于運(yùn)動(dòng)粒子流，通常是選取體積為ΔV的體積元為研究對(duì)象。

（2）選取作用時(shí)間：選取持續(xù)作用過程中一段很短的時(shí)間Δt。注意這段Δt內(nèi)發(fā)生作用的“流體元”的質(zhì)量Δm很小，必要時(shí)這一條件是采用相關(guān)數(shù)學(xué)近似計(jì)算的依據(jù)。

（3）選用相關(guān)規(guī)律：一般可用動(dòng)量定理，也可用牛頓運(yùn)動(dòng)定律與相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。值得注意的是，在很短的作用時(shí)間Δt內(nèi)，研究對(duì)象“流體元”受到的作用力可以認(rèn)為是不變的，或取作用力的平均值。動(dòng)量定理的表達(dá)式是一個(gè)矢量式，可以用在某個(gè)方向上，應(yīng)用時(shí)要注意相關(guān)矢量正方向的選取。

二、動(dòng)量與能量相結(jié)合時(shí)對(duì)暫態(tài)過程分析不清致錯(cuò)

【例2】如圖2所示，A、B、C三個(gè)木塊的質(zhì)量均為m，置于光滑的水平桌面上，B、C之間有一輕質(zhì)彈簧，彈簧的兩端與木塊接觸而不固連。將彈簧壓緊到不能再壓縮時(shí)用細(xì)線（細(xì)線未畫出）把B和C緊連?，F(xiàn)A以初速度v0沿B、C的連線方向朝B運(yùn)動(dòng)，與B相碰并黏合在一起，之后細(xì)線突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。已知C離開彈簧后的速度恰為v0，求彈簧釋放的勢(shì)能。

圖2

【錯(cuò)解】設(shè)A與B碰后A、B的共同速度的大小為v，由動(dòng)量守恒定律得mv0＝2mv①

設(shè)C離開彈簧時(shí)，A、B的速度大小為v1，由動(dòng)量守恒定律得2mv＝2mv1＋mv0②

設(shè)彈簧釋放的彈性勢(shì)能為Ep，從細(xì)線斷開到C與彈簧分開的過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

【錯(cuò)因】由于題給出“B和C間的彈簧壓緊到不能再壓縮”，在A與B碰撞瞬間，也存在B與C碰撞這樣一個(gè)暫態(tài)作用過程，可等效為A與B、C一起碰撞。以上錯(cuò)解沒能認(rèn)清這個(gè)暫態(tài)作用過程，致使列出的表達(dá)式①②③式均有錯(cuò)誤，因而得出的結(jié)果錯(cuò)誤。

【正解】設(shè)A與B、C碰后A、B、C的共同速度的大小為v，由動(dòng)量守恒定律得mv0＝3mv①

設(shè)C離開彈簧時(shí)，A、B的速度大小為v1，由動(dòng)量守恒定律得3mv＝2mv1＋mv0②

設(shè)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep，從細(xì)線斷開到C與彈簧分開的過程中機(jī)械能守恒，有

【感悟】剛性物體間的碰撞是一個(gè)暫態(tài)作用過程。對(duì)這個(gè)暫態(tài)過程的分析，一般可從動(dòng)量的觀點(diǎn)和能量的觀點(diǎn)來進(jìn)行。由于這兩個(gè)觀點(diǎn)研究的是物體或系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化所經(jīng)歷過程中狀態(tài)的改變，不對(duì)過程變化的細(xì)節(jié)做深入的研究，只關(guān)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的結(jié)果及引起變化的原因。因而就很容易忽視對(duì)暫態(tài)過程的分析。含有彈簧的碰撞問題，在碰撞過程中系統(tǒng)的機(jī)械能不一定守恒，如本例中，彈簧伸展之前，A與B碰撞的過程為完全非彈性碰撞，但在碰撞結(jié)束后，彈簧伸展的過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒。

三、動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于原子能級(jí)躍遷因機(jī)理不明確致錯(cuò)

【例3】用電子碰撞靜止的原子，能使原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)。設(shè)電子質(zhì)量為m，原子質(zhì)量為M，原子基態(tài)與激發(fā)態(tài)的能量差為ΔE，求入射電子初動(dòng)能的最小值。

【錯(cuò)解】設(shè)入射電子的初動(dòng)能為Ek，則初動(dòng)量大小為與靜止的原子碰撞后原子的速度為v，碰后電子的速度為零時(shí)，Ek最小。由動(dòng)量守恒定律得，由能量守恒定律得，聯(lián)立以上兩式可得

【錯(cuò)因】以上錯(cuò)解在于對(duì)原子能級(jí)躍遷的機(jī)理不明確。電子碰撞靜止的原子，原子只吸收電子的部分能量而不是全部，因此碰后電子的速度不可能為零。

【正解】設(shè)入射電子的初動(dòng)能為Ek，則初動(dòng)量大小為與靜止的原子碰撞后電子的速度為u，原子的速度為v。由動(dòng)量守恒定律得

【感悟】能量守恒定律與動(dòng)量守恒定律是自然界中最普遍的規(guī)律，它們不僅適用于宏觀低速運(yùn)動(dòng)的物體，也適用于微觀高速運(yùn)動(dòng)的粒子。本題的求解要建立正確的物理情景：電子與原子的“碰撞”過程中損失的機(jī)械能被原子吸收，等于基態(tài)的原子躍遷到激發(fā)態(tài)而增加的原子能量。由于題給出的這一能量是個(gè)定值，由能量守恒定律知入射電子的初動(dòng)能與碰撞后電子或原子的速度大小有關(guān)。通過運(yùn)用兩個(gè)守恒定律導(dǎo)出電子初動(dòng)能與碰后電子或原子的速度大小的表達(dá)式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值。

（作者單位：湖北省武漢市華北科技大學(xué)附屬中學(xué)）