平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)知識的結(jié)合在生活中的應(yīng)用

貴州 胡朝平

平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)知識的結(jié)合在生活中的應(yīng)用

貴州 胡朝平

平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)知識相結(jié)合的問題在現(xiàn)實(shí)生活中有很多事例，解決這類問題要分析研究各階段的獨(dú)立性，其中兩相鄰過程中的速度是聯(lián)系兩過程的紐帶，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)規(guī)律，同時(shí)結(jié)合圖形中的幾何關(guān)系分析，下面以力學(xué)中常見的情況進(jìn)行分析。

一、物體運(yùn)動(dòng)由平拋運(yùn)動(dòng)變化到豎直圓周運(yùn)動(dòng)

【例1】如圖1所示，是某次四驅(qū)車比賽的軌道中某一段，小華控制的四驅(qū)車（可視為質(zhì)點(diǎn)），質(zhì)量為m＝1．0 kg，額定功率為P＝7 W。小華的四驅(qū)車到達(dá)水平平臺上時(shí)，啟動(dòng)四驅(qū)車的發(fā)動(dòng)機(jī)并直接使發(fā)動(dòng)機(jī)的功率達(dá)到額定功率，一段時(shí)間后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)。當(dāng)四驅(qū)車由平臺邊緣P點(diǎn)飛出后，恰好從光滑圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓?。ú挥?jì)空氣阻力，進(jìn)入圓弧時(shí)無機(jī)械能損失）。已知圓弧的半徑R＝0．3 m，θ＝60°，賽車到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度vA＝4 m/s（取g＝10 m/s2）。求：

圖1

（1）賽車做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0；

（2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直高度；

（3）賽車到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)對軌道的壓力。

【解析】（1）賽車到A點(diǎn)的速度如圖2所示，賽車做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0等于vA的水平分速度，由圖可知v0＝vx＝vAcosθ＝4×cos60°＝2 m/s。

（2）由圖可知，賽車運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)時(shí)豎直方向的分速度為

設(shè)P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離為x，豎直高度為h，則

圖2

聯(lián)立以上幾式解得

x≈0．69 m，h＝0．6 m。

（3）取A點(diǎn)為重力勢能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得

設(shè)賽車到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)，軌道對它的彈力為FN，由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式得

代入數(shù)據(jù)得FN≈13．3 N，

由牛頓第三定律可知，賽車對軌道的壓力大小F′N＝FN＝13．3 N，方向豎直向上。

【評析】物體運(yùn)動(dòng)由平拋運(yùn)動(dòng)變化到豎直圓周運(yùn)動(dòng)，分析時(shí)，應(yīng)按如下步驟：

（1）畫好圖示，明確圖中幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識找出相關(guān)量之間的關(guān)系；

（2）抓住速度是聯(lián)系前后兩個(gè)過程的關(guān)鍵物理量，前一過程的末速度是后一過程的初速度；

（3）列出平拋運(yùn)動(dòng)有關(guān)規(guī)律（包括速度、位移、角度關(guān)系式）；

（4）若利用功能關(guān)系解答問題時(shí)，要特別注意兩種曲線運(yùn)動(dòng)結(jié)合處的速度情況。若速度分解，有能量損失，若沒有速度分解，可以利用全過程法解決。

二、物體運(yùn)動(dòng)由圓周運(yùn)動(dòng)變化到平拋運(yùn)動(dòng)

【例2】如圖3所示的S形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對接而成，圓弧半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)。彈射裝置將一個(gè)小球（小球的直徑略小于細(xì)圓管內(nèi)徑）從a點(diǎn)沿水平地面向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，ab段長為L，圓的半徑為R，小球質(zhì)量為m，求：

圖3

（1）若小球經(jīng)d處時(shí)，對軌道上壁有壓力，則它經(jīng)過b處時(shí)的速度滿足什么條件？

（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d處時(shí)的速度至少為多大？

【解析】（1）小球經(jīng)過d處時(shí)，對軌道上壁有壓力，向心力由重力和軌道上壁壓力提供，根據(jù)牛頓第二定律，小球經(jīng)d點(diǎn)時(shí)得

小球經(jīng)d處對軌道上臂有壓力Fd＞0

小球從b到d，由機(jī)械能守恒定律得

（2）設(shè)小球離開d處時(shí)的速度為vd，在運(yùn)動(dòng)過程中與軌道恰好相碰，即小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與圓相切。以d點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖4所示坐標(biāo)系，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

圖4

由①②兩式得

由解析幾何知識得

聯(lián)立③④兩式得

要使得拋物線與圓相切，則方程⑤的Δ判別式為零，

故小球離開軌道d處后，不再碰到軌道，小球離開d出時(shí)的速度至少為

【評析】物體運(yùn)動(dòng)由豎直圓周運(yùn)動(dòng)變化到平拋運(yùn)動(dòng)，分析這類情況分析時(shí)，有以下步驟：

（1）明確豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是“輕桿模型”還是“輕繩模型”，分析物體能夠到達(dá)圓周最高點(diǎn)的臨界條件；

（2）物體在豎直圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求作用力時(shí)，找到指向圓心的向心力，運(yùn)用牛頓第二定律列方程式Fn＝man分析；

（3）光滑軌道上的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，有摩擦的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理或能量守恒定律分析；

（4）畫好圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)圖示，明確圖中幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識（包括幾何關(guān)系、三角函數(shù)和解析幾何知識）找出相關(guān)量的關(guān)系；

（5）列出平拋運(yùn)動(dòng)有關(guān)規(guī)律求解。

（作者單位：貴州省天柱民族中學(xué)）