幾種實(shí)正規(guī)矩陣的性質(zhì)

張建剛，申 冉

1.上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海，200234;2.東華大學(xué)理學(xué)院，上海，201620

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幾種實(shí)正規(guī)矩陣的性質(zhì)

張建剛1，申 冉2

1.上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海，200234;2.東華大學(xué)理學(xué)院，上海，201620

有針對(duì)性地研究了幾種實(shí)正規(guī)矩陣的部分性質(zhì)，特別是針對(duì)特征值和對(duì)角化等方面，得到它們的聯(lián)系和區(qū)別之處。給出了實(shí)正規(guī)矩陣(正交矩陣)是實(shí)對(duì)稱陣(正定矩陣)的充要條件，同時(shí)研究了可逆矩陣關(guān)于實(shí)正規(guī)矩陣的分解性質(zhì)。

正規(guī)矩陣；正交矩陣；對(duì)稱矩陣;正定矩陣

1 問題提出

正規(guī)矩陣是矩陣?yán)碚摰闹饕芯繉?duì)象之一。 正交矩陣、實(shí)對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣以及正定矩陣都是實(shí)的正規(guī)矩陣。本文通過有針對(duì)性地研究這幾類實(shí)的正規(guī)矩陣的部分性質(zhì)，特別是針對(duì)特征值和對(duì)角化等方面，得到它們的聯(lián)系和區(qū)別之處。

如無特別說明，本文所討論的矩陣都是實(shí)數(shù)域上的矩陣。實(shí)數(shù)域上所有n階方陣的集合記作Mn(R)，對(duì)任意的A∈Mn(R)，AT表示轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示伴隨矩陣，A-1表示逆矩陣(如果存在)，En表示n階單位陣。

文中所涉及到的其他術(shù)語，參見文獻(xiàn)[1]。

2 幾種正規(guī)矩陣的性質(zhì)比較

定義2.1如果A∈Mn(R)，滿足AAT=ATA=En，即AT=A-1，則稱A為正交矩陣[1]298-343。

正交矩陣具有以下性質(zhì)：

(1)正交矩陣的乘積和正交矩陣的逆矩陣都是正交矩陣。兩個(gè)正交矩陣的和未必正交，如令A(yù)=E2,B=-E2，則有A+B不是正交矩陣。

(2)正交矩陣的特征值的模等于1，其實(shí)的特征值只能為1或-1。

(3)上(下)三角正交矩陣必為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上的元素只能為1或-1。

定義2.2設(shè)A∈Mn(R)且A可逆，則A可以分解為A=QR，其中，Q為正交矩陣，R是一個(gè)對(duì)角線上全為正數(shù)的上三角矩陣，并且這種分解形式是唯一的(上述分解稱為正交三角分解)。

上述分解形式，在研究可逆矩陣的性質(zhì)時(shí)是非常有幫助的。

定義2.3如果A∈Mn(R)，且滿足A=AT，即對(duì)任意的i=1,2,…,n;j=1,2,…n，都有aij=aji，則稱A為對(duì)稱矩陣[1]298-343。

對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)對(duì)稱矩陣的和還是對(duì)稱矩陣。兩個(gè)對(duì)稱矩陣A,B的乘積AB仍是對(duì)稱矩陣的充要條件是AB=BA。

(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，且屬于不同特征值的特征向量正交。

(3)若A∈Mn(R)為對(duì)稱陣，則存在正交陣Q，使得QTAQ為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上元素為A的全部特征值(稱為實(shí)對(duì)稱陣的正交對(duì)角化)。

由正交陣的定義可知，n階實(shí)矩陣A是正交陣當(dāng)且僅當(dāng)AAT=En。對(duì)于對(duì)稱陣，有下面的結(jié)論。

命題2.4設(shè)A∈Mn(R)，則A是對(duì)稱陣當(dāng)且僅當(dāng)AAT=A2。

證明必要性是顯然的。下證充分性，首先注意到下面的事實(shí)，若B∈Mn(R)，則：

B=0?BBT=0?tr(BBT)=0

另一方面，由條件AAT=A2，有：

tr((A-AT)(A-AT)T)

=tr((A-AT)(AT-A))

=tr(ATA-(AT)2)

=tr(AT(A-AT))

=tr((A-AT)AT)

=tr(AAT-(A2)T)

=tr(AAT)-tr(A2)=0

因此，A-AT=0，即A=AT，A是對(duì)稱陣。

由上述命題，容易得到下面正交矩陣和對(duì)稱矩陣之間的關(guān)系。

命題2.5設(shè)A∈Mn(R)，則下列三個(gè)條件中任意兩個(gè)成立，則另一個(gè)也成立。

(1)A是一個(gè)對(duì)稱矩陣。

(2)A是一個(gè)正交矩陣。

(3)A2=En(以下稱滿足此條件的矩陣為對(duì)合陣)。

例子2.6設(shè)A∈Mn(R),且A是對(duì)稱矩陣， 若A也是對(duì)合陣。證明存在正交矩陣Q，使得：

證明由對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(3)，存在正交陣Q，使得QTAQ為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上元素為A的全部特征值。另一方面，設(shè)A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為α，則有Aα=λα。結(jié)合條件A2=En，容易看到λ2=1，從而A的特征值為1或者-1，所以結(jié)論成立。

矩陣A∈Mn(R)可以對(duì)角化，當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值都是實(shí)數(shù)，且A的所有特征值對(duì)應(yīng)的特征子空間的維數(shù)之和等于n。而正交陣的特征值不一定是實(shí)數(shù)，所以不是所有的正交矩陣都能對(duì)角化。但有下面的結(jié)論：

命題2.7設(shè)A∈Mn(R)，且A為正交矩陣，則A的特征值都是實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)A是對(duì)稱陣。

由上述結(jié)論可知，一般的正交陣未必可以對(duì)角化，但如果特征值都是實(shí)數(shù)，則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化。

推論2.8設(shè)A∈Mn(R)，且A為正交矩陣，若A的特征值都是實(shí)數(shù)，則：

(2)rank(A+En)+rank(A-En)=n。

(2)若A的特征值為1，則由(1)可知，A=En。同理，若A的特征值為-1，A=-En。若1,-1都是A的特征值，由于A可以對(duì)角化，故dimV1+dimV-1=n，其中V1,V-1分別是1,-1對(duì)應(yīng)的特征子空間。又因?yàn)?/p>

dimV1=n-rank(En-A)

=n-rank(A-En)

dimV-1=n-rank(-En-A)

=n-rank(A+En)

故得證。

由命題2.5和2.7容易得到下面的結(jié)論。

推論2.9設(shè)A∈Mn(R)，且A為正交矩陣，則下列命題等價(jià)：

(1)A的特征值都是實(shí)數(shù)。

(2)A是對(duì)稱陣。

(3)A為對(duì)合陣。

定義2.10設(shè)A∈Mn(R)，且A=AT，如果二次型XTAX是正定的，其中X為n維列向量，則稱A為正定矩陣。

正定矩陣的基本性質(zhì)：

(1)設(shè)A,B∈Mn(R)，m∈Z，k是正實(shí)數(shù)，若A,B都正定，則A-1，A*，Am，A+B，kA都正定。

(2)實(shí)對(duì)稱陣A是正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值都大于零。

(3)實(shí)矩陣A是正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A合同于單位矩陣(即存在實(shí)可逆陣C，滿足A=CTC)；當(dāng)且僅當(dāng)A正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，且對(duì)角線上為其全部(正的)特征值。

命題2.11實(shí)(對(duì)稱)矩陣A是正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆上三角矩陣R，滿足A=RTR。

證明充分性由正定矩陣的基本性質(zhì)(3)易得，下證必要性。由正定矩陣的基本性質(zhì)(3)，存在可逆陣C， 使得A=CTC；另一方面，由引理2.2，C可以分解為C=QR，其中Q為正交矩陣，R是一個(gè)對(duì)角線上全為正數(shù)的上三角矩陣，則A=(QR)TQR=RTQTQR=RTR。

命題2.12正交矩陣A是正定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A是單位陣。

證明充分性是顯然的，下證必要性。若正交矩陣A是正定矩陣，則A必為實(shí)對(duì)稱陣，由命題2.5和例子2.6的證明可知，A的特征值只能為1或者-1。又因?yàn)檎ň仃嚨奶卣髦刀即笥?，故A的特征值只能為1，由正定矩陣的基本性質(zhì)(3)易得，A正交相似于單位陣，所以A是單位陣。

關(guān)于正定矩陣乘積的正定性，有著類似于實(shí)對(duì)稱矩陣乘積的對(duì)稱性的結(jié)論。

命題2.13兩個(gè)正定矩陣A,B的乘積是正定矩陣的充要條件AB=BA。特別的，正定矩陣的方冪是正定的。

證明必要性為顯然。這是因?yàn)檎囈欢ㄊ菍?duì)稱陣，所以如果A,B的乘積是正定矩陣，則AB必為對(duì)稱陣，由對(duì)稱陣的基本性質(zhì)(1)，AB=BA。

下證充分性。首先由對(duì)稱陣的基本性質(zhì)，若AB=BA，則AB是對(duì)稱陣。因?yàn)锳,B都是正定矩陣，由正定矩陣的基本性質(zhì)(3)，分別存在實(shí)的可逆陣P,Q，使得A=PTP,B=QTQ，則AB=PTPQTQ。進(jìn)一步，容易看到：

QABQ-1=QPTPQTQQ-1

=QPTPQT=(PQT)TPQT

由正定陣的基本性質(zhì)，(PQT)TPQT是一個(gè)正定陣，所以上式說明AB與一個(gè)正定矩陣相似，故AB的特征值都是正數(shù)，所以AB也是正定陣。

命題2.14設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A正定，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的正定矩陣B，滿足A=B2。

證明充分性由命題2.13為顯然，下面證明必要性。由正定矩陣的正交相似性，存在正交陣U，使得：

UTAU=diag(λ1,λ2,…,λn)

即B=C。

推論2.15設(shè)A∈Mn(R)且A可逆，則A可以分解為一個(gè)正交陣和一個(gè)正定陣之積，也可以分解為一個(gè)正定陣與一個(gè)正交陣之積。特別地，若A正交，則分解形式唯一。

A=(AT)-1B2=(AT)-1BB

分別記(AT)-1B=P,B1(AT)-1=Q，則A=PB,A=B1Q，下證P,Q分別為正交矩陣。事實(shí)上：

PPT=(AT)-1B(AT)-1(B)T

=(AT)-1BBTA-1=(AT)-1B2A-1

=(AT)-1ATAA-1=En

QTQ=(B1(AT)-1)TB1(AT)-1

=A-1AAT(AT)-1=En

故結(jié)論成立。特別地，若A正交，設(shè)A=PB，其中P是正交陣，B是正定陣，則有P-1A=B。由于P-1A正交而B正定，由命題2.12，B=En。類似的可以證明另一種分解形式也是唯一的。

定義2.16如果A∈Mn(R)，滿足AAT=ATA，則稱A為(實(shí))正規(guī)矩陣。

不難看到，上述所討論的正交矩陣，對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣和正定矩陣都是正規(guī)矩陣。

正規(guī)矩陣的基本性質(zhì)：

(1)設(shè)A∈Mn(R)是正規(guī)矩陣，m∈N，k是任意實(shí)數(shù)，則AT，Am，kA均是正規(guī)矩陣，且A可逆時(shí)，A-1,A*也都是正規(guī)矩陣。

(2)設(shè)A∈Mn(R)是正規(guī)矩陣，若A是上三角陣，則A必為對(duì)角矩陣。

命題2.17設(shè)A∈Mn(R)，且A是正規(guī)矩陣，則A的特征值都是實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)A是對(duì)稱陣。特別地，若特征值都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)A是正定矩陣。

證明充分性是顯然的，只需證明必要性。下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。首先，當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階矩陣成立，即對(duì)任意n-1階的實(shí)正規(guī)陣，如果特征值都是實(shí)數(shù)，則它是對(duì)稱陣。下面考慮階數(shù)為n的情形。

其中，α是n-1維實(shí)的行向量，B是一個(gè)n-1階實(shí)矩陣。記UTAU=C，則CCT=CTC。事實(shí)上，因?yàn)锳AT=ATA，CCT=(UTAU)(UTATU)=UTAATU=UTATAU=(UTATU)(UTAU)=CTC，即有：

特別地，由正定矩陣的基本性質(zhì)，若A的特征值都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它是正定矩陣。

推論2.18設(shè)A∈Mn(R)，且A為正規(guī)矩陣，若A的特征值都是實(shí)數(shù)，則A可以相似對(duì)角化。

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集：上[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2000:542-562

[3]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集：下[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001:390-451

[4]陳祥恩，程輝，喬虎生，等.高等代數(shù)專題選講[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2013：182-201

[5]張建剛，申冉.線性流形的性質(zhì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31(4):90-94

(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.05.027

2016-12-20

國(guó)家自然科學(xué)基金“某些完全正則半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)”(11201305)。

張建剛(1977-)，山東禹城人，博士，副教授，研究方向：代數(shù)半群理論。

O151.2

：A

：1673-2006(2017)05-0094-04