S′andor-Yang平均關(guān)于一些二元平均凸組合的確界

徐會(huì)作

(溫州廣播電視大學(xué)經(jīng)管學(xué)院,浙江溫州325013)

S′andor-Yang平均關(guān)于一些二元平均凸組合的確界

徐會(huì)作

(溫州廣播電視大學(xué)經(jīng)管學(xué)院,浙江溫州325013)

運(yùn)用精細(xì)化的實(shí)分析方法,研究了S′andor-Yang平均SQA(a,b)、SAQ(a,b)與算術(shù)平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)凸組合以及算術(shù)平均A(a,b)和反調(diào)和平均C(a,b)凸組合的序關(guān)系.得到了關(guān)于S′andor-Yang平均SQA(a,b)、SAQ(a,b)的四個(gè)精確雙向不等式.

Schwab-Borchardt平均;S′andor-Yang平均;算術(shù)平均;二次平均;反調(diào)和平均

0 引言

我們熟知Schwab-Borchardt平均S B(a,b)關(guān)于正數(shù)a和b都是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,并且關(guān)于a和b是非對(duì)稱和一階齊次的.許多對(duì)稱二元平均都是Schwab-Borchardt平均的特殊情形.例如:P(a,b)=(a?b)/[2 arcsin((a?b)/(a+b))]=S B[G(a,b),A(a,b)]是第一類Seiff ert平均,T(a,b)=(a?b)/[2 arctan((a?b)/(a+b))]=S B[A(a,b),Q(a,b)]是第二類Seiff ert平均, M(a,b)=(a?b)/[2arcsinh((a?b)/(a+b))]=S B[Q(a,b),A(a,b)]是Neuman-S′andor平均, L(a,b)=(a?b)/[2arctanh((a?b)/(a+b))]=S B[A(a,b),G(a,b)]是對(duì)數(shù)平均.

成立.

在文獻(xiàn)[5]中,楊鎮(zhèn)杭證明了S(a,b)=b ea/SB(a,b)?1是一個(gè)關(guān)于正數(shù)a和b的平均,并且介紹了兩個(gè)S′andor-Yang平均如下.

成立,且當(dāng)p≥3/4時(shí)的最佳參數(shù)是λp=eπ/421/p?1/2.

最近,趙鐵洪、錢偉茂和宋迎清[8]證明了對(duì)所有a,b＞0且ab,雙向不等式

本文的主要目的是給出最佳參數(shù)α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1)，使得對(duì)所有a,b＞0且ab,雙向不等式

成立.

1 引理

為了證明我們的主要結(jié)果,本節(jié)給出我們需要的四個(gè)引理.

引理1.1設(shè)p∈(0,1),

則以下結(jié)論成立.

我們由上述系列等式和不等式,并結(jié)合f(x)在分段區(qū)間上的單調(diào)性容易得到引理1.1(2).

引理1.2設(shè)p∈(0,1),

則以下結(jié)論成立.

證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

我們由上述系列等式和不等式,并結(jié)合g(x)在分段區(qū)間上的單調(diào)性,容易得到引理1.2(2).

引理1.3設(shè)p∈(0,1),

則以下結(jié)論成立.

證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

我們由上述系列等式和不等式,并結(jié)合h(x)在分段區(qū)間上的單調(diào)性,容易得到引理1.3(2).

引理1.4設(shè)p∈(0,1),

則以下結(jié)論成立.

證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中

我們由上述系列等式和不等式,并結(jié)合k(x)在分段區(qū)間上的單調(diào)性,容易得到引理1.4(2).

2 主要結(jié)果

定理2.1雙向不等式

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中f(x)的定義由引理1.1給出.

我們分兩種情形證明.

情形1若p=2/3.則從等式(2.5)—(2.7)和(2.9),結(jié)合引理1.1(1)可得結(jié)論

情形2若p=p1.則從等式(2.9)和引理1.1(2)可得結(jié)論：存在λ1∈使得當(dāng)x∈(1,λ1]時(shí),F(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減;當(dāng)x時(shí),F(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增.注意從等式(2.8)可推得

我們從等式(2.5)—(2.7)和(2.11),結(jié)合F(x)的分段單調(diào)性,可得

所以,我們從等式(2.3)—(2.4)和不等式(2.10)、(2.12),并結(jié)合不等式(2.1)等價(jià)(2.13)的事實(shí)，容易得到定理2.1,

定理2.2雙向不等式

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中g(shù)(x)的定義由引理1.2給出.

我們分兩種情形證明.

情形1若p=1/3.則從等式(2.18)—(2.20)和(2.22)以及引理1.2(1)可得結(jié)論

從等式(2.18)—(2.20)和(2.24)結(jié)合G(x)的分段單調(diào)性,可得

所以,我們從等式(2.16)—(2.17)和不等式(2.23)、(2.25),并結(jié)合不等式(2.14)等價(jià)于(2.26)的事實(shí),容易得到定理2.2,

定理2.3雙向不等式

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中h(x)的定義由引理1.3給出.

我們分兩種情形證明.

從等式(2.31)—(2.33)和(2.36)結(jié)合H(x)的分段單調(diào)性,可得

情形2若p=1/3.則從等式(2.31)–(2.33)和(2.35),并結(jié)合引理1.3(1),可得結(jié)論

所以,我們從等式(2.29)—(2.30)和不等式(2.37)、(2.38),并結(jié)合不等式(2.27)等價(jià)于(2.39)的事實(shí),容易得到定理2.3,

定理2.4雙向不等式

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

其中k(x)的定義由引理1.4給出.

我們分兩種情形證明.

從等式(2.44)—(2.46)和(2.49)結(jié)合J(x)的分段單調(diào)性,可得

情形2若p=1/6.從等式(2.44)–(2.46)和(2.48)并結(jié)合引理1.4(1),可得結(jié)論

所以,我們從等式(2.42)–(2.43)和不等式(2.50)、(2.51),并結(jié)合不等式(2.40)等價(jià)于(2.52)的事實(shí),容易得到定理2.4,

[1]BRENNER J L,CARLSON B C.Homogeneous mean values:Weights and asymptotes[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1987,123:265-280.

[2]CARLSON B C.Algorithms involving arithmetic and geometric means[J].The American Mathematical Monthly, 1971,78(5):496-505.

[3]NEUMAN E,S′ANDOR J.On the Schwab-Borchardt mean[J].Mathematica Pannonica,2003,14(2):253-266.

[4]NEUMAN E,S′ANDOR J.On the Schwab-Borchardt mean II[J].Mathematica Pannonica,2006,17(1):49-59.

[5]YANG Z H.Three families of two-parameter means constructed by trigonometric functions[J].Journal of Inequalities and Applications,2013(1),1-27.

[6]YANG Z H,JIANG Y L,SONG Y Q,et al.Sharp inequalities for trigonometric functions[J].Abstract and Applied Analysis,2014,18 pages.

[7]YANG Z H,CHU Y M.Optimal evaluations for the S′andor-Yang mean by power mean[J].Mathematical Inequalities&Applications,2016,19(3):1031-1038.

[8]ZHAO T H,QIAN W M,SONG Y Q.Optimal bounds for two S′andor-type means in terms of power means[J]. Journal of Inequalities and Applications,2016(1):64.

(責(zé)任編輯：林磊)

Sharp bounds for S′andor-Yang means in terms of some bivariate means

XU Hui-zuo
(School of Economics and Management,Wenzhou Broadcast and TV University, Wenzhou Zhejiang 325013,China)

This paper deals with the inequalities involving S′andor-Yang means derived from the Schwab-Borchardt mean using the method of real analysis.The convex combinations of the arithmetic mean A(a,b)and quadratic Q(a,b)(or contra-harmonic mean C(a,b))for the S′andor-Yang means SQA(a,b)and SAQ(a,b)are disscused.The main results obtained are the sharp bounds of the two convex combinations,namely,the best possible parametersα1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈(0,1),such that the double inequalities

hold for all a,b＞0 and a/=b.Here A(a,b),Q(a,b)and C(a,b)denote respectively the classical arithmetic,quadratic,contra-harmonic means of a and b,SQA(a,b)and SAQ(a,b) are two S′andor-Yang means derived from the Schwab-Borchardt mean.

Schwab-Borchardt mean;S′andor-Yang mean;arithmetic mean; quadratic mean;contra-harmonic mean

O178

：A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.004

1000-5641(2017)04-0041-11

2016-10-17

浙江廣播電視大學(xué)科研課題(XKT-15G17)

徐會(huì)作,男,講師,研究方向?yàn)槠骄道碚?、?yīng)用統(tǒng)計(jì).E-mail：21888878@qq.com.