一類特殊混合跳-擴(kuò)散模型的歐式回望期權(quán)定價(jià)

楊朝強(qiáng)

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)圖書館經(jīng)典資料室,蘭州730101)

征稿啟事

一類特殊混合跳-擴(kuò)散模型的歐式回望期權(quán)定價(jià)

楊朝強(qiáng)

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)圖書館經(jīng)典資料室,蘭州730101)

利用分?jǐn)?shù)Girsanov公式和分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分,建立了一個(gè)基于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、Poisson過程的線性組合的金融市場模型,結(jié)合Merton假設(shè)條件以及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所滿足的隨機(jī)微分方程的Cauchy初值問題,給出了混合跳-擴(kuò)散模型下的歐式看跌期權(quán)定價(jià)的Merton公式,給出了混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下連續(xù)支付紅利的歐式固定履約價(jià)和浮動(dòng)履約價(jià)的看漲回望期權(quán)及看跌回望期權(quán)定價(jià)公式.數(shù)值模擬與仿真結(jié)果驗(yàn)證了模型的有效性和準(zhǔn)確性.

混合跳擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);Merton假設(shè)條件;分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分;歐式回望期權(quán)

0 引言

近年來關(guān)于拋物型隨機(jī)偏微分方程模型的研究越來越受到學(xué)者們的關(guān)注,拋物型隨機(jī)偏微分方程理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于隨機(jī)過程與隨機(jī)分析、金融數(shù)學(xué)與金融工程、運(yùn)籌學(xué)與控制論等領(lǐng)域.混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(mfBm)模型是一類特殊的拋物型隨機(jī)微分方程,是高斯過程的衍生過程.眾所周知的期權(quán)定價(jià)理論是金融數(shù)學(xué)和金融工程的核心理論,混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的線性組合,已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)理論.文獻(xiàn)[1]最早把布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)組合在一起研究了歐式期權(quán)的定價(jià)；文獻(xiàn)[2]研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)樣本軌道的Holder連續(xù)性和自相似性;文獻(xiàn)[3-6]已經(jīng)多次應(yīng)用跳-擴(kuò)散模型來刻畫股票價(jià)格的隨機(jī)跳行為,并給出了相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)公式,但這種跳-擴(kuò)散模型無法處理Wick積分,同時(shí)無法定義適合的隨機(jī)積分來刻畫股價(jià)的變化,于是使用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫金融資產(chǎn)的波動(dòng)過程是比較合理的[7-10].由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的It?o公式和分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分所建立的Black-Scholes(簡稱B-S模型)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了B-S模型的定義和屬性,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)所建立的分?jǐn)?shù)B-S模型不能準(zhǔn)確地描述資產(chǎn)的浮動(dòng)收益和金融市場的波動(dòng)情形[9].事實(shí)上,由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性、厚尾性和長程關(guān)聯(lián)性,使得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)既不是Markov過程又不是半鞅,這給隨機(jī)分析和隨機(jī)計(jì)算帶來了極大的困難.于是有些學(xué)者[11-12]提出用混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(mj-dfBm)模型來刻畫金融市場的波動(dòng)行為.

本文研究一類特殊的混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型,不同于文獻(xiàn)[12]的混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型,本文的模型是基于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、Poisson過程的線性組合,利用It?o公式和分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分建立了一個(gè)新的市場定價(jià)模型,給出了連續(xù)支付紅利的歐式固定履約和浮動(dòng)履約回望期權(quán)的定價(jià)公式,為了刻畫利率的異常波動(dòng)情形.最后給出的數(shù)值模擬與仿真驗(yàn)證了模型的有效性.結(jié)果表明,本文的混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型便于計(jì)算,可操作性強(qiáng),不但能有效地刻畫金融市場的隱含波動(dòng)率的變化,而且能夠合理地解釋金融市場的“微笑”現(xiàn)象.

1 預(yù)備及引理

定義1[1]設(shè)0＜H＜1,Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),是一個(gè)連續(xù)高斯過程定義含有參數(shù)α,β和H的混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),是由Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的線性組合,定義概率空間(?,F,P),對(duì)任意的t∈R+,滿足

其中Bt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),是含有參數(shù)H的獨(dú)立分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),α,β是兩個(gè)給定的實(shí)數(shù)且滿足(α,β)(0,0).

性質(zhì)1[2]混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有如下性質(zhì).

其中∧表示兩個(gè)數(shù)中取最小;

其中r是常數(shù)無風(fēng)險(xiǎn)利率.

引理1—引理5的證明詳見文獻(xiàn)[1,9,10].

2 混合跳擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定價(jià)模型與分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分

2.1 混合跳擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定價(jià)模型

假設(shè)某一支期權(quán)的價(jià)值Vt=V(St,t)依賴于St和t,動(dòng)態(tài)股票價(jià)格滿足如下隨機(jī)微分方程

其中μ是期望收益率,σ1,σ2,Bt,的定義見引理3,Bt和是相互獨(dú)立的.

引理6[11]設(shè)Vt=V(S,t)是二元可微函數(shù).若隨機(jī)過程St適合隨機(jī)微分方程

引理7設(shè)Vt=V(St,t),V是二元可微函數(shù).若隨機(jī)過程St適合隨機(jī)微分方程

證明假設(shè)d Pt服從如下形式的兩點(diǎn)分布:

在時(shí)間區(qū)間[t,t+d t]內(nèi),可以確定事件ω1發(fā)生的概率為P(ω1)=1?λd t,事件ω2發(fā)生的概率為P(ω2)=λd t,記St+＞St表示股票價(jià)格St在t時(shí)刻上跳,St+＜St表示股票價(jià)格St在t時(shí)刻下跳,注意到非負(fù),于是St+=St(1+jt)＞0.設(shè)∏是通過簡單的對(duì)沖原理?得到一個(gè)金融衍生產(chǎn)品,選取適當(dāng)?shù)?使得投資組合在(t,t+d t)上是無風(fēng)險(xiǎn)的,即∏∏根據(jù)模型(3),投資組合∏有如下兩種情況.

(i)如果跳事件不發(fā)生,對(duì)于二元可微函數(shù)Vt=V(S,t),利用公式,有

(ii)如果跳事件發(fā)生,則

于是在混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型中,歐式期權(quán)定價(jià)模型可以表示為含有期望算子的拋物型積分方程.

仿照引理6的證明,對(duì)二元可微函數(shù)d Vt泰勒展開,則有

把式(6)代入式(5),可得

證畢.

2.2 分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分與混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)隨機(jī)微分方程

其中?表示W(wǎng)ick乘積.

其中F,G∈(δ)?H.

假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率的債券價(jià)格Bt滿足

根據(jù)定義2,引理8和引理9,可以考慮如下混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)隨機(jī)微分方程

其中r是期望收益率,q是股息分紅率,σ1,σ2,σ3都是常數(shù),且Bt,BHt,Pt是相互獨(dú)立的.作為原生資產(chǎn)的股票是連續(xù)支付股息紅利的.

其中S≤Jn,E是V的期望算子.

3 主要結(jié)果

3.1 歐式固定履約回望期權(quán)和歐式浮動(dòng)履約回望期權(quán)

回望期權(quán)是指該期權(quán)持有者在期權(quán)到期日可以觀察期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程,通過選擇資產(chǎn)價(jià)格的最高價(jià)格或最低價(jià)格進(jìn)行交易,是一種典型復(fù)雜的新型奇異期權(quán).設(shè)T為回望周期[T0,T]的終止時(shí)間,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格St在t(0≤t≤T)時(shí)刻取得的最大值和最小值分別表示為[14]

回望期權(quán)有固定履約回望期權(quán)和浮動(dòng)履約回望期權(quán)兩類.浮動(dòng)履約回望看漲期權(quán)是指該期權(quán)持有者在回望期內(nèi)有權(quán)利以最低的交易價(jià)格買入資產(chǎn),浮動(dòng)履約回望看跌期權(quán)是指該期權(quán)持有者在回望期內(nèi)有權(quán)利以最高的交易價(jià)格買出資產(chǎn),因此或者到期實(shí)際支付額看漲或看跌分別為.而對(duì)于固定履約回望期權(quán)是提前約定敲定價(jià)格K,固定履約看漲或看跌實(shí)際支付額分別為

引理10[14]假設(shè)一支歐式固定履約回望看漲期權(quán)的到期實(shí)際支付額為?K,設(shè)St=S,=M,Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測度,則在任意t(T0≤t≤T)時(shí)刻回望看漲期權(quán)價(jià)格可表示為

引理11[14]假設(shè)一支歐式浮動(dòng)履約回望看漲期權(quán)的到期實(shí)際支付額為ST?設(shè)St=S,=m,,Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測度,則在任意t(T0≤t≤T)時(shí)刻回望看漲期權(quán)價(jià)格可表示為

3.2 定價(jià)公式

設(shè)V(t,S,J)表示回望期權(quán)在任意t(T0≤t≤T)時(shí)刻的價(jià)格,根據(jù)2.2小節(jié)的討論,歐式回望期權(quán)滿足如下拋物型隨機(jī)偏微分方程

其中T0≤t≤T,并且V(t,S,J)在如下區(qū)域連續(xù)可微. {

終端條件為

類似于引理10和引理11的推導(dǎo),在(13)–(16)的條件下,下面以定理的形式給出歐式固定履約回望期權(quán)和浮動(dòng)履約回望期權(quán)的定價(jià)公式.

定理1設(shè)到期日為T,對(duì)于歐式固定履約回望期權(quán),在模型(13)的環(huán)境下歐式固定履約回望看跌和看漲期權(quán)的價(jià)格為

其中

證明在風(fēng)險(xiǎn)中性金融市場,根據(jù)引理5和引理10,到期日為T的歐式固定履約回望看跌期權(quán)可以表達(dá)為

設(shè)

則

注意到Poisson跳過程的跳躍強(qiáng)度為λ,利用Poisson分布函數(shù)性質(zhì),得

利用同樣的證明過程可以得到式(18).

對(duì)照引理11以及定理1,可以給出歐式浮動(dòng)履約回望看跌和看漲期權(quán)的價(jià)格公式.

定理2設(shè)到期日為T,對(duì)于歐式浮動(dòng)履約回望期權(quán),在模型(13)的環(huán)境下歐式浮動(dòng)履約回望看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格為

證明過程類似于定理1.

注記1根據(jù)定理1和定理2,歐式固定履約回望看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間滿足如下的平價(jià)關(guān)系

Eberlein E和Papapantoleon A[16]也得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在L′evy跳過程的環(huán)境下歐式固定履約回望看漲期權(quán)和歐式浮動(dòng)履約回望看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系公式.

4 數(shù)值模擬及分析

4.1 幾種定價(jià)模型的對(duì)比

對(duì)不含有跳過程的純混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(pmfBm)模型,含有跳過程的混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(jmfBm)模型[7],以及本文的混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(mj-dfBm)模型分別作一般假設(shè)下的理論價(jià)格對(duì)比,為了更突出模型之間的異同,參數(shù)的選擇沒有選取已有的實(shí)證數(shù)據(jù),所有模擬結(jié)果由Matlab運(yùn)行生成,模型所用到的所有參數(shù)值見表1.

表1 不同模型下選擇的參數(shù)值Tab.1 The valuations of the chosen parameters used in these models

把表1的相應(yīng)參數(shù)分別代入到各類模型中,記Pp?m,Pj?m,Pm?j分別為pmfBm模型, jmfBm模型,mj-dfBm模型下歐式固定履約回望看跌期權(quán)價(jià)格,計(jì)算結(jié)果見表2.

表2 不同模型下歐式固定履約回望看跌期權(quán)價(jià)格Tab.2 European lookback fi xed strike put option prices for various models

4.2 相關(guān)參數(shù)對(duì)模型的影響

考慮混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式固定履約回望看跌期權(quán)定價(jià)模型各參數(shù)的變化,在取不同的跳參數(shù)值時(shí),相應(yīng)的H,λ,μj,σj參數(shù)值的變化情況如圖1所示.這里邊界參數(shù)設(shè)定為r=0.025 0,q=0.032 0,σ1=0.107 3,K=100,H=0.558,J=0.003 5,t=0,T=2,λ= 7.68,μj=?000 721,σj=0.001 9,σ2=0.021 5,σ3=0.000 720 2.圖1表明,回望看跌期權(quán)價(jià)格隨著參數(shù)H,λ,μj,σj的單調(diào)增加而單調(diào)減少.類似的單調(diào)現(xiàn)象也出現(xiàn)在文獻(xiàn)[12,15]中.

繼續(xù)考慮混合跳擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式固定履約回望看跌期權(quán)定價(jià)模型的隱含波動(dòng)率變化,在選定參數(shù)r=0.025 0,q=0.032 0,σ1=0.107 3,K=100,H=0.558,J=0.003 5, t=0,T=0.5(年),λ=10.22,μj=?000 721,σj=0.001 9,σ2=0.021 5,σ3=0.000 720 2時(shí),繪制曲面圖形如圖2所示.很顯然,隨著持有貨幣比率(m/K)的減少,在回望期權(quán)的有效回望期內(nèi),模型對(duì)回望期權(quán)的隱含波動(dòng)率表現(xiàn)出明顯的“微笑”現(xiàn)象.

圖1 不同參數(shù)下歐式固定履約回望看跌期權(quán)價(jià)格Fig.1 European lookback fixed strike put option prices for various parameters

圖2 混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式固定履約回望看跌期權(quán)模型的隱含波動(dòng)率模擬Fig.2 Smile surface generated by the mj-dfBm model

5 結(jié)論

本文的定價(jià)模型考慮了標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、Poisson過程的線性組合,利用It?o公式和分?jǐn)?shù)Wick-It?o-Skorohod積分建立了一個(gè)新的市場定價(jià)模型,給出了連續(xù)支付紅利的歐式固定履約和浮動(dòng)履約回望期權(quán)的定價(jià)公式,通過具體數(shù)值和相關(guān)參數(shù)對(duì)定價(jià)公式的模擬驗(yàn)證,表明該模型在刻畫期權(quán)在短期交割或長期交割前表現(xiàn)出的異常波動(dòng)跳現(xiàn)象是相當(dāng)合理的并且是有效性的,從回望看跌期權(quán)價(jià)格的遞減表現(xiàn)上來看,明顯略快于其他模型,更加接近不確定金融市場.本文的混合跳-擴(kuò)散分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型便于計(jì)算,可操作性強(qiáng),不但能有效地刻畫金融市場的隱含波動(dòng)率的變化,而且能夠合理地解釋金融市場的“微笑”現(xiàn)象.本文的結(jié)論在合理解釋金融現(xiàn)象的同時(shí),也豐富了期權(quán)定價(jià)理論,對(duì)其他類型奇異期權(quán)的研究以及一些復(fù)雜金融衍生品定價(jià)的研究具有參考意義.

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(責(zé)任編輯：林磊)

Pricing European lookback option by a special kind of mixed jump-diff usion model

YANG Zhao-qiang
(Classic Library Reference Room,Lanzhou University of Finance and Economics, Lanzhou 730101,China)

By using fractional Girsanov formula and fractional Wick-It?o-Skorohod integral,based on a linear combination of Brownian motion,fractional Brownian motion and Poisson process,a new market pricing model is built.Under the conditions of Merton assumptions,we analyze the Cauchy initial problem of stochastic parabolic partial diff erential equations.Then the pricing Merton-formula of European option meets the pricing model for the European fixed strike and floating strike price of the lookback option. Finally the pricing formulas of fixed strike and floating strike lookback call option and lookback put option are proved.Numerical simulations illustrate that our model are valid and accurate.

mixed jump-diff usion fractional Brownian motion;Merton assumptions; fractional Wick-It?o-Skorohod integral;European lookback option

F830.91;O211.6

：A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.04.001

1000-5641(2017)04-0001-17

2016-09-02

蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)青年教師科研項(xiàng)目(Lzufe2017)

楊朝強(qiáng),男,碩士,研究方向?yàn)殡S機(jī)過程與金融數(shù)學(xué).E-mail：woyuyanjiang@163.com.