構建坐標系 巧解壓軸題

江蘇省南通市田家炳中學(226001) 呂雯雯

構建坐標系 巧解壓軸題

江蘇省南通市田家炳中學(226001) 呂雯雯

17世紀,法國數學家笛卡爾創(chuàng)建坐標系,架起溝通代數與幾何的橋梁,解決了傳統(tǒng)幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷和代數過分受法則和公式的限制而缺乏活力的不足,沿著這條思路前進,在眾多數學家的努力下數學的歷史發(fā)生了重要的轉折,建立了解析幾何學．

雖然,初中階段不學習解析幾何,但初中階段已經學習了將代數和幾何溝通起來的橋梁——平面直角坐標,因此我們可以嘗試構建平面直角坐標來解決一些幾何問題．

試題一2014年江蘇省連云港市中考壓軸題最后一問．

圖1

某數學興趣小組對線段上的動點進行探究,已知 AB=8．如圖,點 P為線段AB上的一個動點,分別以AP,BP為邊在同側作正方形APDC,BPEF,若點M,N是線段AB上的兩點,且AM=BN=1,點G,H分別是邊CD,EF的中點．請直接寫出點P從M到N的運動過程中,GH的中點O所經過的路徑長及OM+OB的最小值．

筆者從網上找到的參考答案如下：

分別過G,O,H點作AB的垂線,垂足為R,S,T,則四邊形GRTH是梯形．∵O是GH的中點,∴OS=運動路徑在AB的上方且與AB的距離為4的平行線上．∵MN=6,點P在MN 上運動,且O是GH的中點,∴點O的運動路徑為線段XY,且

(在求得點O的運動路徑為線段XY的情況下,求OM+OB的最小值就是典型的“將軍飲馬”問題,筆者在此不再贅述解答過程)

看完此問的解答過程,筆者深深嘆服解答者輔助線構造之精妙．同時又感覺到解題過程中的一段推理(∵MN=6,點P在MN上運動,且O是GH的中點,∴點O的運動路徑為線段XY,且挺難理解．

這么精妙的輔助線如何才能想到呢?難道只能靠天外飛仙的靈光一閃?

透過現象看本質,筆者認為這輔助線構造之靈感就是來源于構造平面直角坐標系來解決幾何問題：如果以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸,那么要想表示出G,O,H三個點的坐標,就自然需要添加這樣的輔助線．

另外,在構建平面直角坐標系后,也很容易說清楚“點O的運動路徑為線段XY,且的緣由．

因此,本題通過構造平面直角坐標系,會使得解題思路更明晰,解題方法更簡潔．具體解答過程如下．

圖2

解：以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．設點P的坐標為 (m,0),則 C(0,m),點O的坐標是點O在直線y=4上運動．∵點P在MN上運動,∴1≤m≤7．∴點O運動的起始點是終止點是其運動的路徑長為3．

試題二2014年江蘇徐州壓軸題最后一問．

如圖,矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點E從點A出發(fā),沿射線AD移動．以CE為直徑作⊙O,點F為⊙O與射線BD的公共點,連接EF,CF,過點E作EG⊥EF,EG與⊙O相交于點G,連接CG．當⊙O與射線BD相切時,點E停止移動．在點E移動的過程中,求點G移動路線長．

分析：先找出點G的起始點和終止點：當點E在點A時,點G恰好在點D,所以起始點就是點D;當點F與點D重合時,點G的位置就是終止點(如圖3所示)．但此時還是不清楚點G移動路線是一個什么樣的圖形,可以構造平面直角坐標系,設法表示出點G的坐標,根據點G的坐標來判斷點G的運動路線是怎樣的圖形．

圖3

圖4

簡解：連接DG,作GM⊥AD,垂足為M．建立以點D為原點,AD所在直線為x軸的平面直角坐標系(如圖4所示)．∵ ∠FDG= ∠FEG=90°,∴ ∠BDA+ ∠GDM=90°．∵ ∠BDA+ ∠DBA=90°,∴ ∠DBA= ∠GDM．則點G的坐標為所以點G在直線上運動．

根據題意可知點G的運動路線就是圖1中線段DG,容易求出其長度為

做完這兩題,可以發(fā)現：兩道難度較大的中考壓軸題的最后一問,在構建平面直角坐標系、采用代數的方法來求解后,變得思路明晰,解法簡潔．因此,構建平面直角坐標系是解決幾何問題是一個好的方法．那么什么樣類型的幾何題適合采用此種方法呢?透過這兩個例題可以看出一些端倪．筆者在此拋磚引玉,希望引起行家的進一步探討．