六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣求解及奇異位形分析

周 輝, 丁 銳, 曹浩峰, 曹 毅

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240；3. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無錫 214122)

六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣求解及奇異位形分析

周 輝1, 3, 丁 銳1, 3, 曹浩峰1, 3, 曹 毅1, 2, 3

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240；3. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無錫 214122)

提出一種由2個(gè)不同的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)串接而成的混聯(lián)機(jī)構(gòu), 針對下端和上端并聯(lián)模塊分別建立速度雅可比矩陣, 然后通過上下兩個(gè)并聯(lián)模塊的運(yùn)動(dòng)關(guān)系, 建立整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體雅可比矩陣.雅可比矩陣是分析機(jī)構(gòu)奇異位形的基礎(chǔ), 通過令機(jī)構(gòu)整體雅可比矩陣行列式為零, 從而得到機(jī)構(gòu)奇異的非線性方程來研究混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形, 同時(shí)運(yùn)用MAPLE軟件繪制出機(jī)構(gòu)的奇異軌跡.該方法建立了由2個(gè)并聯(lián)模塊組成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣, 具有一定的理論意義.

混聯(lián)機(jī)構(gòu)；雅可比矩陣；并聯(lián)模塊；奇異位形

混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合了傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn), 具有承載能力強(qiáng)、剛度大、精度高、工作空間大等優(yōu)點(diǎn), 有效地?cái)U(kuò)大了機(jī)器人的應(yīng)用領(lǐng)域[1].近年來混聯(lián)機(jī)構(gòu)引起了學(xué)術(shù)界的關(guān)注, 但是由于混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型復(fù)雜, 其理論研究仍不成熟, 嚴(yán)重影響了混聯(lián)機(jī)構(gòu)的發(fā)展[2].

雅可比矩陣在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中具有重要地位, 機(jī)器人的分離速度控制、靜力分析、靈活性和可操作度分析等都要用到機(jī)器人的雅可比矩陣, 因此, 機(jī)器人雅可比矩陣的準(zhǔn)確、快速求解顯得尤為重要[3].目前，對單個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣及奇異位形的研究相對比較成熟.Hunt[4]教授最先開始研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性.隨后Fichter[5]、Merlet[6]、Gosselin[7]、Di-Gregorio[8]、黃真[9]等學(xué)者在該領(lǐng)域都做出了重大研究貢獻(xiàn), 對于后續(xù)系統(tǒng)地研究機(jī)構(gòu)奇異有著重要的意義[10].文獻(xiàn)[11]對2-PRS-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析, 通過所求的雅可比矩陣, 分析了機(jī)構(gòu)的逆解奇異、正解奇異和混合奇異.文獻(xiàn)[12]分析了3/6-SPS型Stewart機(jī)構(gòu)奇異軌跡的解析表達(dá)式, 基于此原理提出了分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的等效機(jī)構(gòu)法.文獻(xiàn)[13]對Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定姿態(tài)時(shí)的位置奇異軌跡進(jìn)行了系統(tǒng)的研究, 基于所建立的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣, 推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)位于給定姿態(tài)時(shí)的三維位置奇異軌跡的3次符號表達(dá)式.文獻(xiàn)[14]基于對偶螺旋理論, 基于約束子矩陣和運(yùn)動(dòng)子矩陣給出了非全對稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)完整雅可比矩陣的推導(dǎo)方法.混聯(lián)機(jī)構(gòu)由于機(jī)構(gòu)間運(yùn)動(dòng)影響, 其奇異性問題更復(fù)雜, 對于研究混聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的文獻(xiàn)還很少.文獻(xiàn)[15]對2(2-UPR+SPR)串并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究, 建立了上下2個(gè)相同并聯(lián)模塊組成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣.文獻(xiàn)[16]求解了由2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)串接而成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣, 從而分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能.

本文提出的混聯(lián)機(jī)構(gòu)由2個(gè)不同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊串接而成, 通過構(gòu)建上下兩端并聯(lián)模塊的速度雅可比矩陣, 然后根據(jù)上下2個(gè)并聯(lián)模塊的運(yùn)動(dòng)關(guān)系, 建立整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體雅可比矩陣.在此基礎(chǔ)上, 通過雅可比矩陣分析機(jī)構(gòu)的奇異位形, 對機(jī)構(gòu)的推廣應(yīng)用可提供一定的理論基礎(chǔ).

1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述

本文混聯(lián)機(jī)構(gòu)由2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)起來, 每個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)都有3個(gè)自由度.混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.由圖1可知, 位于混聯(lián)機(jī)構(gòu)下端部分的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2條SPS支鏈和1條RPR支鏈, 其中RPR支鏈3個(gè)運(yùn)動(dòng)副相互垂直，呈R1⊥P⊥R2.上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2條SPS支鏈和1條RRR支鏈, 其中RRR支鏈的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互垂直, 呈R3⊥R4⊥R5, R2和R3的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相互垂直.下面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的驅(qū)動(dòng)是位于3條分支上的3個(gè)移動(dòng)副, 上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的驅(qū)動(dòng)是2個(gè)位于分支上的移動(dòng)副和另一條支鏈上中間的R4轉(zhuǎn)動(dòng)副.上下2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)都是正三角形.

圖1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the hybrid mechanism

整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)目n=15, 包括一個(gè)靜平臺(tái)、一個(gè)動(dòng)平臺(tái)、一個(gè)中間平臺(tái).運(yùn)動(dòng)副數(shù)目g=18, 包括8個(gè)球副S、5個(gè)移動(dòng)副P、5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R.由于SPS支鏈都可以繞著自身兩端的球副旋轉(zhuǎn), 所以每條SPS支鏈存在一個(gè)局部自由度, 因此局部自由度數(shù)目ζ=4.運(yùn)用計(jì)算空間機(jī)構(gòu)自由度的Grübler-Kutzbach公式得到此混聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度[17]為

(1)

式中:fi為運(yùn)動(dòng)副的自由度；ν為冗余自由度.

由式(1)可知, 此雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度.

2 雅可比矩陣求解

為了進(jìn)一步分析機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器與機(jī)構(gòu)輸入之間的速度關(guān)系, 可以求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣, 且機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣在機(jī)構(gòu)奇異性分析和運(yùn)動(dòng)精度的分析中也具有重要作用[5].雖然雅可比矩陣是從機(jī)構(gòu)速度關(guān)系中推導(dǎo)得到的, 但其只與機(jī)構(gòu)的位形、機(jī)構(gòu)類型、尺寸有關(guān), 與機(jī)構(gòu)的速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)無關(guān), 而且雅可比矩陣是一個(gè)時(shí)變線性變換[18].

2.1 下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊

如圖2所示, 2SPS+RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊由靜平臺(tái)B和動(dòng)平臺(tái)m通過3條支鏈連接而成.靜平臺(tái)B是邊長為a的等邊三角形, 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)m是邊長為b的等邊三角形, 兩平臺(tái)中心點(diǎn)分別為O和o, 頂點(diǎn)分別用Ai和Bi(i=1, 2, 3)表示.

圖2 下端并聯(lián)模塊坐標(biāo)系Fig.2 Lower parallel module coordinate system

3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支包括2個(gè)SPS驅(qū)動(dòng)分支r1和r2, 1個(gè)RPR驅(qū)動(dòng)分支r3.2條SPS支鏈ri通過兩端Ai點(diǎn)和Bi點(diǎn)的球副S和中間作為驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)副P將靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)連接起來(i=1, 2)；RPR支鏈r3則通過A3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R、作為驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)副P及B3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R將動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)連接起來.

如圖2所示, 以機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)中心O為原點(diǎn)建立右手直角坐標(biāo)系OXYZ,X軸平行于A1A2,Y軸在B面內(nèi)垂直于A1A2,Z軸垂直于靜平臺(tái).以機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心o為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系oxyz,x軸平行于B1B2,y軸垂直于B1B2,z軸垂直于動(dòng)平臺(tái).

機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)端點(diǎn)在OXYZ坐標(biāo)系中可表示為

(2)

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)端點(diǎn)在oxyz坐標(biāo)系中可表示為

(3)

動(dòng)平臺(tái)各端點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ中可表示為

(4)

則其具體表達(dá)式為

(5)

δi表示驅(qū)動(dòng)桿的單位矢量, 則δi=(Bi-Ai)/ri.由式(2)和(5)可得:

(6)

ei表示從o點(diǎn)到Bi點(diǎn)的矢量, 則ei=Bi-o, 其中,o表示點(diǎn)o的位置矢量.由式(5)可得:

(7)

R1表示RPR支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副R1在{B}中的單位矢量.R2和mR2分別表示RPR支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副R2在{B}和{m}中的單位矢量.

(8)

(9)

(10)

因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)副R1和R2垂直, 則有:

R1·R2=0

(11)

將式(8)和(10)代入式(11), 則有

(12)

(13)

式中:sα,sβ,sγ分別表示sinα, sinβ, sinγ；cα,cβ,cγ分別表示cosα, cosβ, cosγ.

將式(4)和(13)的兩種表達(dá)方式比較可得:

(14)

將式(14)代入式(12)中, 可得:

(15)

由于R1⊥P⊥R2, 所以δ3·R1=0,δ3·R2=0.將式(6)中δ3的表達(dá)式代入式(8)和(10)中可得:

eyl+X0=0

(16)

(17)

假設(shè)o到O的向量為r0, 則r0=r0[zlzmzn]T, 其中r0表示點(diǎn)o到O的距離.則有:

(18)

(19)

將式(19)代入式(17)中并展開, 然后將式(18)代入, 可得:

(20)

由式(2)和(5)可得各驅(qū)動(dòng)桿長表達(dá)式為

(21)

式中:P0=X0xl+Y0xm+Z0xn,Q0=X0yl+Y0ym+Z0yn.

觀察P0和Q0可以發(fā)現(xiàn),P0=[X0Y0Z0]T·[xlxmxn]T,Q0=[X0Y0Z0]T·[ylymyn]T, 其中[X0Y0Z0]就是動(dòng)平臺(tái)上坐標(biāo)系原點(diǎn)o在靜坐標(biāo)系OXYZ中的表達(dá).由式(19)可得,P0=r0[zlzmzn]T·[xlxmxn]T=0, 同理Q0=0.

這樣式(21)可以簡化為

(22)

由式(20)可得:

(23)

由此可得：

若cβ=0, 則X0和Z0都等于零, 即動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)重合, 此時(shí)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生奇異, 所以cβ≠0.那么γ的表達(dá)式可寫成:

(24)

將式(19)代入式(22)中, 并將其中的γ用φ-π/3表示, 化簡后得到:

(25)

(26)

由YXZ歐拉角旋轉(zhuǎn)方式對應(yīng)的(Rα,Rβ,Rγ)表達(dá)形式[19]可知轉(zhuǎn)動(dòng)雅可比矩陣(Jω)為

(27)

所以機(jī)構(gòu)的混合雅可比矩陣(Jθ)為

(28)

2.2 上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊

2SPS+RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖3所示.此并聯(lián)模塊通過3條驅(qū)動(dòng)支鏈連接靜平臺(tái)B和動(dòng)平臺(tái)m.上端并聯(lián)模塊的靜平臺(tái)為下端并聯(lián)模塊的動(dòng)平臺(tái).靜平臺(tái)B是邊長為b、中心點(diǎn)為O的等邊三角形, 動(dòng)平臺(tái)m是邊長為d、中心點(diǎn)為o的等邊三角形, 兩平臺(tái)的三角形頂點(diǎn)分別用Bi和Di(i=1, 2, 3)表示.

圖3 上端并聯(lián)模塊坐標(biāo)系Fig.3 Upper parallel module coordinate system

3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支包括2個(gè)SPS驅(qū)動(dòng)分支r1和r2, 1個(gè)RRR驅(qū)動(dòng)分支r3.2條SPS支鏈rj分別通過位于支鏈兩端Bj點(diǎn)和Dj點(diǎn)的球副S以及中間作為驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)副P連接靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)(j=1, 2)；RRR支鏈r3則通過B3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R, 作為驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R及D3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R將動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)連接起來, 此支鏈的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互垂直.

如圖3所示, 以機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系OXYZ,X軸垂直于B2B3,Y軸平行于B2B3, Z軸垂直于靜平臺(tái).以機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心o為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系oxyz,x軸垂直于D2D3,y軸平行于D2D3,z軸垂直于動(dòng)平臺(tái).

機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)端點(diǎn)在OXYZ坐標(biāo)系中可表示為

(29)

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)端點(diǎn)在oxyz坐標(biāo)系中可表示為

(30)

式中:e為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)o到各端點(diǎn)的距離, 上端并

動(dòng)平臺(tái)各端點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ中可表示為

(31)

則其具體表達(dá)式為

(32)

δi表示3條支鏈的單位矢量, 則δi=(Di-Bi)/ri(i=1, 2, 3).由此可得:

(33)

由2SPS+RRR機(jī)構(gòu)中各轉(zhuǎn)動(dòng)副的方位, 可得第3條支鏈的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副對靜平臺(tái)坐標(biāo)系的矢量為

(34)

由于R1、R2、R3相互垂直, 因此這3個(gè)矢量相互點(diǎn)乘結(jié)果均為0.

(35)

R1·B2B3=0

(36)

由式(35)和(36)可得:

yl=0

(37)

(38)

(39)

把式(37)代入式(38)和(39)中可得:

(40)

采用XZY歐拉角來表示2SPS+RRR機(jī)構(gòu)中坐標(biāo)系oxyz相對于坐標(biāo)系OXYZ的旋轉(zhuǎn), 即動(dòng)坐標(biāo)系oxyz先與靜坐標(biāo)系OXYZ重合, 然后繞靜平臺(tái)坐標(biāo)系X軸旋轉(zhuǎn)α角, 接著繞新坐標(biāo)系的z′軸旋轉(zhuǎn)β, 最后繞新坐標(biāo)系的y″軸旋轉(zhuǎn)γ角得到.則描述機(jī)構(gòu)姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為

(41)

由yl=0, 可得β=0.從而旋轉(zhuǎn)變換矩陣(41)可以簡化為

(42)

由式(31)和(42)兩種變換矩陣可得:

(43)

把式(43)代入式(40)中可得:

(44)

由式(44)可以看出, 此機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位置Xo、Yo、Zo相互耦合.Xo、Yo、Zo是關(guān)于其廣義坐標(biāo)α、γ、Zo的函數(shù).動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)o相對于靜平臺(tái)中心點(diǎn)O的線速度可表示為

(45)

此機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)m相對于靜平臺(tái)B的角速度可表示為歐拉角速度的疊加, 如式(46)所示.

(46)

由式(45)和(46)可得:

(47)

式(47)為上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的末端6維速度與廣義坐標(biāo)速度間的映射關(guān)系,Jo為機(jī)構(gòu)的速度解耦矩陣.

2.3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)整體雅可比矩陣的建立

對于混聯(lián)機(jī)構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)變換矩陣, 定義下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)為B1, 動(dòng)平臺(tái)為m1, 上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)為B2, 動(dòng)平臺(tái)為m2, 則它們之間的變換關(guān)系可以表示為

(48)

由于上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)坐標(biāo)系相對于下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)系繞著Z軸旋轉(zhuǎn)了-30°, 則:

(49)

機(jī)構(gòu)末端平臺(tái)中心o2在基坐標(biāo)系B1中可表示為

(50)

式(50)對時(shí)間求導(dǎo)可以得到:

(51)

機(jī)構(gòu)末端平臺(tái)m2相對于基坐標(biāo)系B1的角速度[15]可表示為

(52)

由式(51)和(52)可知, 混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端平臺(tái)m2相對于基坐標(biāo)系B1的速度為

(53)

在此定義一種運(yùn)算, 設(shè)p=[pxpypz]T, 則G(p)滿足

(54)

則JR1和JR2的表達(dá)式可以寫為

(55)

由2.1和2.2節(jié)分別求解的下端并聯(lián)模塊和上端并聯(lián)模塊的雅可比矩陣可得:

(56)

為了區(qū)分2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊, 位于下端的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS+RPR稱為機(jī)構(gòu)1, 位于上端的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS+RRR稱為機(jī)構(gòu)2, 故對輸入?yún)?shù)加下標(biāo)加以區(qū)分.

將式(56)代入式(53)中, 可得

(57)

(58)

式中:JF為整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向雅可比矩陣.

3 六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性分析

機(jī)構(gòu)的奇異位形是機(jī)構(gòu)的固有屬性, 是機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中的某些特殊的位置, 其對機(jī)構(gòu)的各方面, 如力傳遞性能、關(guān)節(jié)控制等, 都有著巨大的影響.串聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形是指機(jī)構(gòu)末端失去自由度, 而并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形是指動(dòng)平臺(tái)得到了局部的瞬時(shí)自由度, 所以當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異位形, 會(huì)造成機(jī)構(gòu)自由度變化, 引起機(jī)構(gòu)瞬時(shí)可控制關(guān)節(jié)數(shù)目減少, 降低了機(jī)構(gòu)的可操作性, 機(jī)構(gòu)失去穩(wěn)定性[20], 導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的操作速度會(huì)趨于無窮大, 對機(jī)構(gòu)造成不良的沖擊, 機(jī)構(gòu)可能因此被破壞.機(jī)構(gòu)的自由度變化導(dǎo)致在實(shí)際使用過程中可操作度變化.機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí), 機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣行列式為零[21].因此, 在設(shè)計(jì)和應(yīng)用混聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí), 需對其奇異位形進(jìn)行分析, 并避開各奇異位形點(diǎn).

運(yùn)用代數(shù)法分析混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形, 即通過判別混聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣是否滿秩來判定機(jī)構(gòu)是否位于奇異位形.通過求解機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣, 得到一個(gè)6×6的方陣.然后求解此雅可比矩陣的行列式, 再令雅可比矩陣的行列式值為零, 從而求得此非線性方程的根, 得到機(jī)構(gòu)位于奇異位形時(shí)的位置與姿態(tài)參數(shù).

代數(shù)法易于理解且使用廣泛, 但是混聯(lián)機(jī)構(gòu)行列式等于零所對應(yīng)的非線性方程非常復(fù)雜, 求解難度很大.由2.3節(jié)求得了雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向整體雅可比矩陣的符號解, 由于機(jī)構(gòu)的參數(shù)過多, 故對機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)用表1中的數(shù)據(jù)代入, 這樣整個(gè)行列式就只剩6個(gè)參數(shù), 即關(guān)于下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的r0、α1、β1和上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的α2、γ2、Z0.

表1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

給定雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)下端3個(gè)參數(shù), 求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在三維空間中的奇異軌跡的分布, 然后通過MAPLE軟件繪制出此條件下機(jī)構(gòu)的奇異軌跡分布圖.混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在不同的下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的位置姿態(tài)參數(shù)下得到的奇異軌跡分布情況如圖4所示.

為了得到更為一般性的情況下雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異軌跡, 任意給定整個(gè)機(jī)構(gòu)的3個(gè)參數(shù), 從而求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在三維空間中的奇異軌跡的分布.給定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示, 混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在不同的條件下, 在三維空間中的奇異軌跡的分布如圖5所示.

圖4 混聯(lián)機(jī)構(gòu)處于不同的下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的位置姿態(tài)參數(shù)下奇異軌跡

Fig.4 Singularity trajectory of the hybrid mechanism in the different position and orientation parameters of the lower parallel modules

圖5 混聯(lián)機(jī)構(gòu)處于不同條件下的奇異軌跡

Fig.5 Singularity trajectory of the hybrid mechanism in the different condition

觀察圖4和5的奇異軌跡可以發(fā)現(xiàn), 機(jī)構(gòu)不同模塊給定不同的參數(shù)時(shí), 另3個(gè)參數(shù)會(huì)有不同的奇異位形軌跡.由圖4可知: 當(dāng)給定下端機(jī)構(gòu)的參數(shù), 下端姿態(tài)相同,r0越大, 上端3個(gè)參數(shù)的奇異軌跡的缺口越往上；當(dāng)r0相同,α1、β1值越大時(shí), 缺口的變化越平緩.圖5給出了整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)任意的3個(gè)參數(shù)時(shí)的奇異軌跡, 末端給定不同參數(shù)時(shí)整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異軌跡非常復(fù)雜而且多變.同時(shí)在混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位形空間中, 奇異點(diǎn)的出現(xiàn)是連續(xù)的一個(gè)曲面或者高維曲面.通過對雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形分析, 可以得到機(jī)構(gòu)在不同狀態(tài)下的奇異位形曲面的分布, 對更加深入地了解此機(jī)構(gòu)的奇異位形有著重要的理論意義.

4 結(jié) 語

(1) 本文介紹了雙并聯(lián)型六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式, 根據(jù)六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及幾何約束, 分別建立了上端、下端2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的速度傳遞雅可比矩陣, 然后通過上下并聯(lián)模塊的運(yùn)動(dòng)關(guān)系, 將2個(gè)獨(dú)立并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的速度耦合和約束關(guān)系聯(lián)系起來, 分析了整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度傳遞關(guān)系, 從而建立了整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)整體正向雅可比矩陣.

(2) 通過判定整體雅可比矩陣是否滿秩來判斷機(jī)構(gòu)是否奇異, 分析機(jī)構(gòu)的奇異位形, 通過令雅可比矩陣行列式為零得到了一個(gè)非線性方程, 給定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其中不同條件下的3個(gè)參數(shù), 由MAPLE軟件得到其符號解, 并繪制出混聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異軌跡圖.

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(責(zé)任編輯: 徐惠華)

Solution of Jacobian Matrix and Analysis on Singularity Configuration of a 6-DoF Hybrid Mechanism

ZHOUHui1, 3,DINGRui1, 3,CAOHaofeng1, 3,CAOYi1, 2, 3

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 3. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi 214122, China)

A hybrid mechanism which is in serial connection with two 3-DoF parallel mechanisms with different configuration is presented. The integrated Jacobian matrix is combined by the upper and lower parallel modules, through the motion relationship of the two parallel modules. Jacobian matrix is the basis of analyzing the singularity of mechanism. By making the integral Jacobian matrix determinant of the mechanism equal to zero, the nonlinear equation about the singularity of the mechanism is obtained, which is used to study the singularity configuration of the hybrid mechanism, meanwhile the trajectory of singularity is drawn by MAPLE. The Jacobian matrix of the hybrid mechanism composed of two different parallel modules is established, which has a certain theoretical significance.

hybrid mechanism; Jacobian matrix; parallel module; singularity configuration

1671-0444 (2017)03-0416-09

2016-05-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075)；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)；江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(FM-201402)

周 輝(1973—)，女，河北秦皇島人，講師，碩士，研究方向?yàn)榛炻?lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及機(jī)器人技術(shù).E-mail：roboticscenter@qq.com 曹 毅(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail：caoyi@jiangnan.edu.cn

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