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    初中數(shù)學(xué)解題思路淺探

    2017-07-31 12:27:05黃瑞慶
    理科考試研究·初中 2016年12期
    關(guān)鍵詞:菱形卡片長方形

    黃瑞慶

    解題思路是初中數(shù)學(xué)知識綜合運用的關(guān)鍵所在.基于此,這就需要廣大初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)活動中將一些常見常用的解題思路滲透進去,從而為提高自身教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)生成績打下堅實基礎(chǔ).

    一、方程解題思路

    結(jié)合實踐來看,方程解題思路主要指通過對題目問題中所涉及數(shù)量關(guān)系進行分析,隨后在弄清楚所涉及已知與未知量二者關(guān)系情況下將它們轉(zhuǎn)化成方程,最后在此基礎(chǔ)上進行解題.

    例1現(xiàn)有一張長方形ABCD卡片,將B點向D點折疊,并使它們相互重合在一起,EF為其折痕,如圖所示.已知長方形ABCD卡片中AB與BC長度分別為3cm和5cm,那么請問折疊后所構(gòu)成三角形DEF面積是多少?

    解題思路通過對圖形觀察可以發(fā)現(xiàn),由于B點折疊到D,因而直線BF與DF長度相等,隨后又由于△DCF是直角三角形,根據(jù)勾股定理可將DF長度求出.之后根據(jù)圖中∠CDF+∠EDF=90°以及∠A′DE+∠EDF=90°可推導(dǎo)出∠CDF=∠A′DE,又因為∠A′=∠C=90°,并且A′D=AB=CD可推導(dǎo)出△A′DE與△CDF全等,最后據(jù)此便可將△DEF面積求出.

    解∵由題目可知將B點向D點折疊,并使它們相互重合在一起.∴設(shè)BF為a,則BF=DF=a,∴FC=BC-BF=5-a.∵△DCF為直角三角形,∴由勾股定理可得DF2=CD2+FC2.又∵長方形ABCD卡片中AB長度為3cm,∴DF2=CD2+FC2變?yōu)閍2=(5-a)2+32,解出a=3.4.又∵由圖分析并結(jié)合折疊圖形性質(zhì)可知,∠CDF+∠EDF=90°,∠A′DE+∠EDF=90°,∴∠CDF=∠A′DE.∵∠A′=∠C=90°,且A′D=AB=CD,∴△A′DE≌△CDF,即DF=DE=3.4.在△DEF中其高為AB,∴S△DEF=12DE·AB=12×3.4×5=5.1,即折疊后所構(gòu)成三角形DEF面積是5.1cm2.

    二、多樣性解題思路

    多樣性解題思路指的是采用各種思維方式,從多方位、多層次采用不同的解題方法來對數(shù)學(xué)題進行解答的過程,從而得到多種解題途徑.

    例2菱形ABCD如圖所示,將其沿著對角線AC的方向進行移動,直至A′B′C′D′的位置,所得到其重疊面積(在圖中以陰影表示)為菱形ABCD面積的一半.如果AC=2,那么菱形移動的距離AA′為

    A.1 B.1/2C.2-1D.2/2

    解題思路1在進行選擇過程中,可以選用特殊值法來進行. 因為,正方形屬于特殊的菱形,因此,在解答該題時可以將菱形ABCD假設(shè)為正方形.由于正方形的面積與其對角線平方的1/2相等,因此,可得正方形ABCD面積=12AC2=12×(2)2=1.由題目條件可知正方形ABCD面積的1/2等于重疊部分的面積,所以可知12A′C2=12,因此可推出A′C=1,由圖可知AA′=AC-A′C=2-1.選C.

    解題思路2根據(jù)圖形中的特殊位置關(guān)系可采用相似法來進行解答.平移菱形ABCD后,陰影部分的幾何圖形和原菱形具有相似之處,而正確把握相似形的特征:相似圖形的面積比與相似比的平方相等.從而得出(A′C/AC)2=1/2.而題目中給出已知條件AC=2,將其代入其中便可得出A′C=1.從而AA′=AC-A′C=2-1.選C.

    三、歸納解題思路

    歸納解題思路主要指通過將題目中所提供的一些諸如局部、特殊等已知條件進行分析,隨后在探究并歸納出它們所具有的規(guī)律情況下予以解題.一般來說歸納解題思路通常用于代數(shù)題型之中.

    例3已知1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)字古代數(shù)學(xué)家將其稱為三角形數(shù),此時將1設(shè)為x1,3設(shè)為x2,6設(shè)為x3,以此類推設(shè)為xn.那么請問x80值是多少?

    解題思路在這一列數(shù)中,將后者與前者相減可變?yōu)閤2-x1=2,x3-x2=3,x4-x3=4,x5-x4=5,…,xn-xn-1=n.所以我們可以歸納出其規(guī)律為xn=n(n+1)2,此時學(xué)生只需將80代入其中便可解題.

    解對于題目中的各數(shù),將后一項與前一項相減,可變?yōu)閤2-x1=2,x3-x2=3,x4-x3=4,x5-x4=5,…

    歸納出xn=n(n+1)2.∴x80=80(80+1)2=3240.

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