識別題目特征 巧用解題方法

潘少華

本文對二元一次方程組的解題方法展開探究，為幫助學(xué)生提高二元一次方程組特征識別的能力，從而準(zhǔn)確地選擇適用的解題方法，對癥下藥，在解題中實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果.

一、代入法

代入消元法是二元一次方程組進(jìn)行消元的一種相對原始的方法，它是將方程組中的一個(gè)相對簡單的二元一次方程用其中一個(gè)未知數(shù)表示另外一個(gè)未知數(shù)的新代數(shù)式，將新代數(shù)式代入原方程組中相對復(fù)雜的二元一次方程中，使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程的解題方法.

例1解方程組

（1）x-y=3①

4x+3y=47②（2）2x+y=3①

4x+5y=12②

解析對于第一個(gè)方程，可以利用整體代入法來解決問題：將①轉(zhuǎn)換為x=y+3，然后代入②式，解得y=5，x=8.而對于第二個(gè)方程，它與方程組的特征2相符，所以可以利用代入法來解決問題：將②轉(zhuǎn)換為2（2x+y）+3y=12，將2x+y=3代入其中，解得y=2，x=1/2.

代入法是二元一次方程組消元的有效手段，利用先轉(zhuǎn)化后代入的方法即消去了一個(gè)未知數(shù)，方便運(yùn)算.教師通過引導(dǎo)學(xué)生歸納出可以運(yùn)用代入法的解題的兩種方式，進(jìn)一步幫助學(xué)生在獨(dú)立解題時(shí)能在第一時(shí)間判斷出解題的有效方法，提高了解題的效率.

二、加減法

加減消元法是解二元一次方程組技巧性相對較強(qiáng)的一種方法，它是以一個(gè)未知數(shù)為消元目標(biāo)，將方程組中的一個(gè)二元一次方程針對這個(gè)目標(biāo)“元”在等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為與另一個(gè)二元一次方程同未知數(shù)系數(shù)或互為相反數(shù)的二元一次方程，最后進(jìn)行加減運(yùn)算消元.

例2解方程組

（1）2y-4x=2①

4x+3y=23②（2））3x+2y=3①

2x+3y=12②

解析對于第一個(gè)方程，可以直接利用加減法來解決問題：①+②得5y=25，解得y=5，x=2.同樣第二個(gè)方程可以利用加減消元法來解決問題：①+②得5x+5y=25，化簡得x+y=5③；將②③組成新的方程組，利用代入法來解題，解得x=-3，y=6.

加減法相對于代入法來說，解題過程更加的精煉，但是這必須建立在對方程組進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握識別方程特征的能力，起到透視本質(zhì)的目的.

三、換元法

換元消元法是針對復(fù)雜的二元一次方程組進(jìn)行消元的一種方法，解題思路是：在二元一次方程組中，將方程組中所包含的共有部分視為一個(gè)整體，并將其等同為一個(gè)新的未知數(shù)；將新的未知數(shù)帶入到原方程組中，將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于新未知數(shù)的新二元一次方程組，求解新的方程組，解出新的未知數(shù)；最后利用新的未知數(shù)與原方程的關(guān)系，求解原方程.

例3解方程組

（1）3x+y+2x-y=3①

9x+y+3x-y=6②（2）x4=y3①

2x+5y=23②

解析對于第一個(gè)方程組，①，②兩式均包含了x+y，x-y兩個(gè)相同的特征元素.它與方程組的特征情況a相符，所以可以利用換元法來解決問題：設(shè)1x+y=a，1x-y=b，原方程組可轉(zhuǎn)化為：3a+2b=3③

9a+3b=6④利用加減消元法來解a=13，b=1，則1x+y=13，

1x-y=1，解得x=2，

y=1.

而第二個(gè)方程組的①式為比例形式，可以利用換元法來解決問題：設(shè)x4=y3=k，則x=4k，y=3k；代入②式中，得8k+15k=23，所以k=1.代入假設(shè)中，則x=4，y=3.

換元法的實(shí)質(zhì)是將方程組中復(fù)雜的部分，用新的未知數(shù)替代，從而將復(fù)雜的運(yùn)算化繁為簡，避免了大量的計(jì)算過程.換元法一般應(yīng)用于形式比較復(fù)雜的二元一次方程組的解題中.通過總結(jié)明確了換元法的題目特征后，在解題時(shí)思路自然清晰.

綜上所述，學(xué)生只有在熟知方程組特性的基礎(chǔ)上，才能在解題時(shí)“對癥下藥”，選擇合適的方法，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的解題目的.教師要通過有效的練習(xí)，讓學(xué)生掌握不同方程組的特性，分析運(yùn)用解題方法的條件，靈活地應(yīng)對題型的變式，只有這樣才能充分的掌握二元一次方程組的解題方法，養(yǎng)成科學(xué)有效的數(shù)學(xué)思維，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).2016年12月10日理科考試研究·物理版理科考試研究·