初中數(shù)學(xué)解題思路初探

王翠紅

初中數(shù)學(xué)是一門邏輯思維較強(qiáng)的學(xué)科，在其教學(xué)中解題一直是其重點(diǎn)難點(diǎn).本文將基于筆者教學(xué)實(shí)際，重點(diǎn)圍繞于初中數(shù)學(xué)解題思路展開探究，以供廣大教師參考.

一、因式分解解題思路

目前因式分解思路所能使用的方法眾多，除教學(xué)中常見的公式法、十字相乘以及公因式提升等外，待定系數(shù)、添（拆）項(xiàng)或換元等也是較為有效的方法.

例1已知x=3+3，y=3-3，求xy-yx的值.

分析由于xy-yx=x2-y2xy=（x+y）（x-y）xy，故只要求出x+y、x-y，xy的值，代入即可.

解∵ x=3+3，y=3-3，

∴x+y=6，x-y=23，xy=6.

∴xy-yx=（x+y）（x-y）xy=6×236=23.

二、配方解題思路

配方解題思路主要是指借助于恒等變形方法將式子之中一些項(xiàng)配成數(shù)個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪之和，隨后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行解題.

例2超市中出售一種成本是60元的不粘鍋，為了獲取合理利潤，超市經(jīng)營者除了確保折后價(jià)格不能低過成本，并且利潤小于45%.隨后通過一段時(shí)間銷售后可知，該不粘鍋銷量y與售價(jià)x二者關(guān)系構(gòu)成y=ax+b這一函數(shù)式.此外，已知當(dāng)售價(jià)x為65元時(shí)，銷量y是55個(gè)；當(dāng)售價(jià)x為75元時(shí)，銷量y是45個(gè).假設(shè)超市銷售不粘鍋獲取z元利潤時(shí)，其和售價(jià)x會(huì)構(gòu)成怎樣的關(guān)系式？并且超市要想獲取最大利潤，售價(jià)x應(yīng)是多少元？此時(shí)最大利潤是多少？

解題思路由題目所提供條件來看，y=ax+b、x=65，y=55以及x=75，y=45可以將銷量y的解析式算出來.而單個(gè)不粘鍋利潤為x-60，因此超市銷售利潤z=y（x-60）.

解∵ 由題意可知，y=ax+b，x=65，y=55以及x=75，y=45，

∴55=65a+b ①，45=75a+b ②.

由①②解得a=-1，b=120，即y=-x+120.

∵單個(gè)不粘鍋成本為60元，售價(jià)為x元，

∴單個(gè)不粘鍋利潤為（x-60）元.

∴超市不粘鍋銷售利潤z=y（x-60），即z=-x2+180x-7200.

配方變?yōu)閦=-（x-90）2+900.此外由題意，可知折后價(jià)格不能低過成本，并且利潤小于45%，即60≤x≤60×（1+45%），解出60≤x≤87.這就意味著當(dāng)單個(gè)不粘鍋售價(jià)為87元時(shí)，超市所獲利潤最大.此時(shí)將x=87代入到z=-（x-90）2+900，得到最大利潤z為891元.

三、換元解題思路

換元解題思路主要指在某個(gè)復(fù)雜性較大的式子中，通過運(yùn)用一個(gè)新的未知變?cè)獙⑹阶又袕?fù)雜部分替換，這樣一來大大地簡(jiǎn)化原有式子，有助于有效地解題.

例3解方程3（a+1）a2+1+a2+1a+1=4.

解題思路根據(jù)對(duì)題目3（a+1）a2+1+a2+1a+1觀察可知，該式子中a+1a2+1與a2+1a+1二者存在極為密切的關(guān)系，因而該題解題中只需將它們其中一個(gè)設(shè)元，隨后將整個(gè)式子換元化簡(jiǎn)即可解出該題.

解注意到左端兩個(gè)分式之間存在的倒數(shù)關(guān)系，假設(shè)b=a2+1a+1，那么原式方程可變?yōu)?b+b=4.

去分母可得b2-4b+3=0，解得b1=1，b2=3.

將b1=1，b2=3分別代入b=a2+1a+1，解出a1=0，a2=1，a3=3+172，a4=3-172.

四、建模解題思路

建模解題思路是指學(xué)生在面對(duì)某些難度與復(fù)雜性極大的題目時(shí)，并且采取常規(guī)方法難以解題，在這種情況下學(xué)生在理清題目基礎(chǔ)上就問題予以建模，化為熟知的形式，不但有助于他們提升解題效率，同時(shí)解題正確性也大大地提高.

例4小明家要購買空調(diào)，淘寶中有兩款功率不同的較為喜歡，其中節(jié)能空調(diào)價(jià)格為3000元，功率是150瓦，而普通空調(diào)價(jià)格為2000元，功率是200瓦，假設(shè)電費(fèi)恒定為每千瓦時(shí)0.5元.那么如果小明家購買節(jié)能空調(diào)時(shí)，這兩款空調(diào)使用年齡超多久最合算？

解題思路該題目中涉及條件較多，常規(guī)方法是難以有效地解題，對(duì)此應(yīng)從問題著手，小明家購買節(jié)能空調(diào)時(shí)，這兩款空調(diào)使用年齡超多久最合算？即核心意思在于那款空調(diào)最后總價(jià)最低（總價(jià)=價(jià)格+電費(fèi)），此時(shí)學(xué)生只需構(gòu)建兩款空調(diào)不等式模型即可解出.

解假設(shè)空調(diào)使用小時(shí)數(shù)為a，由題可知節(jié)能空調(diào)價(jià)格為3000元，功率是150瓦，而普通空調(diào)價(jià)格為2000元，功率是200瓦，假設(shè)電費(fèi)恒定為每千瓦時(shí)0.5元.

∴建?？傻?000+0. 2×0. 5a>3000+0. 15×0. 5a，解出a>4000.即小明家購買節(jié)能空調(diào)時(shí)，這兩款空調(diào)使用年齡超4000小時(shí)最合算.