反饋控制棘輪的定向輸運(yùn)效率研究?

范黎明 呂明濤 黃仁忠 高天附? 鄭志剛

1)(沈陽(yáng)師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽(yáng) 110034)2)(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門 361021)(2016年6月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

反饋控制棘輪的定向輸運(yùn)效率研究?

范黎明1)呂明濤1)黃仁忠1)高天附1)?鄭志剛2)

1)(沈陽(yáng)師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽(yáng) 110034)2)(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門 361021)(2016年6月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

研究了反饋耦合布朗棘輪中粒子處于負(fù)載力、時(shí)變外力及噪聲作用下的定向輸運(yùn)問(wèn)題.詳細(xì)討論了外力作用時(shí)間的不對(duì)稱性、外勢(shì)空間的不對(duì)稱性及外力周期等對(duì)反饋耦合棘輪中粒子輸運(yùn)效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),外力的時(shí)間不對(duì)稱度能促進(jìn)反饋棘輪中粒子的定向輸運(yùn),隨時(shí)間不對(duì)稱度的增大,反饋棘輪中粒子能獲得較大的效率.然而,外勢(shì)空間的不對(duì)稱度能有效抑制耦合棘輪中粒子的擴(kuò)散,達(dá)到增強(qiáng)耦合粒子定向輸運(yùn)的效果.同時(shí)還發(fā)現(xiàn),存在最優(yōu)的噪聲強(qiáng)度能使耦合粒子的輸運(yùn)效率達(dá)到最大.

反饋控制,時(shí)空不對(duì)稱性,定向輸運(yùn),能量轉(zhuǎn)化效率

1引 言

從熱運(yùn)動(dòng)環(huán)境中獲取能量一直是人類的夢(mèng)想.根據(jù)熱力學(xué)第二定律,當(dāng)系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí),定向輸運(yùn)是不可能產(chǎn)生的.由此可知若系統(tǒng)的時(shí)空對(duì)稱性破缺(非對(duì)稱周期勢(shì)[1,2]、非對(duì)稱周期力[3]、噪聲作用[4?7]等)才會(huì)產(chǎn)生定向輸運(yùn).棘輪系統(tǒng)正是這樣一種處于非平衡態(tài)并能產(chǎn)生定向輸運(yùn)的系統(tǒng)[8?10].為了研究系統(tǒng)的定向輸運(yùn),人們提出了各種布朗棘輪模型[11?13].通過(guò)分析布朗粒子的運(yùn)動(dòng)情況,可清晰地了解棘輪系統(tǒng)中粒子的定向輸運(yùn)特性[14].所得理論結(jié)果在實(shí)驗(yàn)上還可應(yīng)用于提高納米量級(jí)分子馬達(dá)的性能[15?18].

目前,有關(guān)棘輪中粒子的輸運(yùn)性能已得到廣泛研究.如Ai等[19]研究了外力頻率對(duì)定向輸運(yùn)的影響,發(fā)現(xiàn)外力頻率能影響布朗馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)方向.除了外力作用,負(fù)載力不僅會(huì)降低分子馬達(dá)的輸運(yùn)能力,而且還會(huì)使肌球蛋白VI在接觸位點(diǎn)的平均駐留時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)[20].更為有趣的是耦合作用也會(huì)促進(jìn)粒子的定向輸運(yùn),當(dāng)單個(gè)布朗粒子陷于勢(shì)阱底部并處于大阻尼時(shí),不能形成定向輸運(yùn).然而當(dāng)考慮多粒子耦合時(shí),粒子可跨越勢(shì)壘并能產(chǎn)生輸運(yùn)現(xiàn)象[21].在生物體內(nèi)部的定向輸運(yùn)過(guò)程中,正是這種耦合作用促進(jìn)了分子馬達(dá)的輸運(yùn)性能[22].因此,研究耦合作用能夠幫助我們獲得馬達(dá)系統(tǒng)的定向輸運(yùn)能力[23].此外,棘輪系統(tǒng)的優(yōu)化控制也是研究粒子間合作定向輸運(yùn)的重要方面.通過(guò)不斷對(duì)開環(huán)控制策略進(jìn)行改進(jìn),文獻(xiàn)[24—28]提出了依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的閉環(huán)控制方法.實(shí)驗(yàn)上這種控制方式的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)監(jiān)測(cè)溶液中膠體粒子任一時(shí)刻的狀態(tài)來(lái)決定外勢(shì)的打開或關(guān)閉[29].這種控制方式不僅可為分子馬達(dá)的步進(jìn)機(jī)理及效率做出解釋[30?32],而且還可優(yōu)化棘輪技術(shù)[33].因此我們將結(jié)合實(shí)驗(yàn)上的這種控制方法進(jìn)一步研究反饋耦合布朗棘輪中粒子的定向輸運(yùn)性能.

近年來(lái),關(guān)于布朗棘輪中粒子定向輸運(yùn)性能的研究雖已取得很多突破性的進(jìn)展[34,35],但是反饋耦合棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率了解得并不是十分清楚.因此分析耦合粒子的能量轉(zhuǎn)化效率對(duì)深入了解耦合作用下的反饋控制棘輪中粒子的輸運(yùn)特性也是非常必要的.研究效率問(wèn)題不僅幫助我們從能量角度了解棘輪系統(tǒng)中粒子的輸運(yùn)性能,還可清晰地獲得棘輪系統(tǒng)中粒子對(duì)輸入能量的利用率[36].目前實(shí)驗(yàn)上已發(fā)現(xiàn)分子馬達(dá)的能量轉(zhuǎn)化效率很高,有的甚至接近百分之百,而現(xiàn)有理論計(jì)算得到的結(jié)果與馬達(dá)實(shí)際的效率相比還有很大差距[37].因此,理論上找到影響效率的關(guān)鍵因素,并對(duì)此進(jìn)行優(yōu)化來(lái)提高棘輪系統(tǒng)中粒子對(duì)輸入能量的有效利用率至關(guān)重要.棘輪系統(tǒng)中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率越高,說(shuō)明定向輸運(yùn)的性能越理想.

為全面了解反饋棘輪中粒子的定向輸運(yùn)性能,本文采用含負(fù)載力、時(shí)變外力的反饋耦合布朗棘輪模型,研究外勢(shì)的空間不對(duì)稱性、外力的時(shí)間不對(duì)稱性及外力作用周期等對(duì)耦合布朗粒子的平均速度、擴(kuò)散及能量轉(zhuǎn)化效率的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn):隨外力的時(shí)間不對(duì)稱度的增加,反饋棘輪中粒子的速度、擴(kuò)散及效率的最優(yōu)值均隨之增大;為提高系統(tǒng)中粒子的輸運(yùn)性能,本文還詳細(xì)討論了反饋耦合棘輪中粒子的效率,同時(shí)所得結(jié)論可為納米機(jī)器動(dòng)力系統(tǒng)效率的提高起到理論指導(dǎo)作用[38].需要指出的是,在某一外力作用周期下,存在合適的外勢(shì)空間不對(duì)稱度能使反饋棘輪中粒子的輸運(yùn)性能達(dá)到最大.

2模 型

本文主要研究過(guò)阻尼下的耦合布朗粒子.受非對(duì)稱周期勢(shì)U(xi)、非對(duì)稱周期外力F(t)、反饋控制ε(t)、負(fù)載力λ及噪聲的作用,其動(dòng)力學(xué)行為可由過(guò)阻尼朗之萬(wàn)方程描述[39,40]:

其中,兩個(gè)耦合布朗粒子在t時(shí)刻的位置分別表示為x1(t)和x2(t);γ為介質(zhì)的阻尼系數(shù);考慮粒子間的相互作用為彈性耦合,且彈性系數(shù)為k,自然長(zhǎng)度為l;λ為布朗粒子受到的負(fù)載力;F(t)為t時(shí)刻耦合布朗粒子受到的非對(duì)稱周期外力,如圖1所示.

圖1中A表示周期外力的振幅,τ為外力作用時(shí)間的周期.一個(gè)周期內(nèi),A的作用時(shí)間為τ1,?A的作用時(shí)間為τ2,當(dāng)τ1= τ2時(shí),正、負(fù)外力會(huì)相互抵消,當(dāng)τ1?= τ2時(shí),總的外力效果會(huì)產(chǎn)生一個(gè)凈力[3]. 用σt(σt= τ1/τ2)表示外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度.由此可知外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度越大,說(shuō)明一個(gè)周期內(nèi)A的作用時(shí)間就越長(zhǎng),相同時(shí)間內(nèi)向耦合棘輪中粒子輸入的能量也越多.此外,ξ1(t)與ξ2(t)為高斯白噪聲,且滿足〈ξi(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(t)〉=2Dδijδ(t? t′), 其中D為噪聲強(qiáng)度.方程中G(xi(t))表示粒子受到棘輪勢(shì)的作用,具有如下關(guān)系:

U(xi)為周期外勢(shì),其表述如下,

其中d表示勢(shì)壘高度,如圖(2)所示.本文采用棘輪勢(shì)的周期L=1.外勢(shì)的不對(duì)稱系數(shù)可表示為σs=c/(L?c)(0＜c＜L),反映棘輪勢(shì)空間的不對(duì)稱程度.因此σs可決定棘輪勢(shì)的結(jié)構(gòu).

圖1 非對(duì)稱周期外力示意圖Fig.1.The schematic diagram of asymmetric periodic external force.

圖2 耦合布朗棘輪結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2.The schematic diagram of coupled Brownian ratchets.

方程(1),(2)中ε(t)為控制棘輪勢(shì)打開或關(guān)閉的開關(guān).如果布朗粒子受到外勢(shì)的平均作用大于零,那么耦合棘輪處于打開的狀態(tài)(ε(t)=1),如果受到外勢(shì)的平均作用小于或等于零,耦合棘輪處于關(guān)閉的狀態(tài)(ε(t)=0),所以控制開關(guān)ε(t)可表示為

其中Θ為亥維賽函數(shù),g(t)表示耦合布朗粒子在棘輪勢(shì)中受到的平均作用力,即

因此方程(1)和(2)表示為受反饋控制的耦合布朗粒子運(yùn)動(dòng)方程.

為了研究耦合布朗粒子的定向輸運(yùn),本文計(jì)算了耦合布朗粒子質(zhì)心的平均速度.其表達(dá)式如下[36,41]:

其中,〈·〉表示系綜平均.由于耦合布朗粒子會(huì)發(fā)生擴(kuò)散現(xiàn)象,因此引入平均有效擴(kuò)散系數(shù)Deff來(lái)描述粒子質(zhì)心位移的漲落,其表達(dá)式如下[34]:

式中,T為耦合粒子的演化時(shí)間.對(duì)于反饋耦合棘輪來(lái)說(shuō),僅知道耦合粒子質(zhì)心的平均速度和擴(kuò)散還不足以對(duì)反饋棘輪中粒子的定向輸運(yùn)性能進(jìn)行全面了解,因此本文還將重點(diǎn)討論耦合棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率η,其表達(dá)式如下[23]:

其中,〈Vi〉為粒子的平均速度.該效率表示為一定時(shí)間內(nèi)耦合棘輪中粒子克服負(fù)載所做的有用功與外力輸入到系統(tǒng)的總能量之比.需要注意的是,采用(9)式計(jì)算效率時(shí),如果外力F(t)很小,分母中由外力輸入到系統(tǒng)的總能量也會(huì)很小,此時(shí)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果會(huì)有一定波動(dòng).

本文采用隨機(jī)龍格-庫(kù)塔算法對(duì)方程(1)和(2)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.為了獲得穩(wěn)定的系綜平均值,計(jì)算時(shí)模擬5×103條軌道,每個(gè)軌道演化50個(gè)周期,其中時(shí)間步長(zhǎng)h=10?3.文中所有物理量均采用無(wú)量綱化處理,無(wú)特殊說(shuō)明參量取γ=1.0,l=0.4,L=1.0,d=2.5.

3結(jié)果與討論

3.1 外力振幅的影響

圖3(a)為不同外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度σt下耦合布朗棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度隨外力振幅A的變化關(guān)系曲線.從圖中可發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)最優(yōu)振幅強(qiáng)度能使耦合粒子的定向輸運(yùn)達(dá)到最大.當(dāng)時(shí)間不對(duì)稱度σt逐漸增大時(shí),耦合棘輪中粒子質(zhì)心平均速度的最大值也會(huì)隨之增大,且粒子質(zhì)心達(dá)到最大速度時(shí)所需的最優(yōu)振幅逐漸減小.這是因?yàn)殡S著σt的增大,每個(gè)周期內(nèi)施加在耦合棘輪中粒子正向力的作用時(shí)間增加,這樣即使在較小的外力振幅作用下由外力輸入到耦合棘輪中粒子的總能量也會(huì)增大,這樣耦合粒子越過(guò)勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng)的概率增加,促使耦合布朗棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度變大.

圖3(b)給出了改變外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度σt時(shí),外力振幅A對(duì)耦合棘輪中粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)的影響.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)振幅達(dá)到某一合適值時(shí),耦合粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)會(huì)達(dá)到一個(gè)最大值.然而,隨著時(shí)間不對(duì)稱度σt的增加,平均有效擴(kuò)散系數(shù)的最大值也會(huì)隨之增大,且最大值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)振幅強(qiáng)度會(huì)隨之減小.說(shuō)明外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度對(duì)耦合粒子質(zhì)心的擴(kuò)散同樣能起促進(jìn)作用.

為了更好地研究反饋棘輪中粒子定向輸運(yùn)的性能,本文還探討了外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度σt對(duì)棘輪中粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響,結(jié)果如圖3(c)所示.需要說(shuō)明的是,采用(9)式計(jì)算效率,當(dāng)外力振幅很小時(shí),分母所示的由外力輸入到系統(tǒng)中粒子的總能量將趨于零.此時(shí)數(shù)值計(jì)算的效率會(huì)很大,結(jié)果會(huì)導(dǎo)致圖像有一定的波動(dòng),所以在不影響分析反饋棘輪中粒子輸運(yùn)性能的前提下我們的振幅取值如圖3(c)所示.可以發(fā)現(xiàn)棘輪中粒子效率不是外力振幅A的單調(diào)函數(shù),且存在振幅的最優(yōu)值能使耦合棘輪中粒子的效率達(dá)到最大.因?yàn)楫?dāng)外力輸入的能量足以驅(qū)動(dòng)粒子跨越勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng)后,如果再繼續(xù)增大振幅輸入更多的能量,此時(shí)耦合粒子并不能對(duì)輸入的全部能量進(jìn)行有效利用,從而導(dǎo)致能量轉(zhuǎn)化效率降低.總體來(lái)看,當(dāng)外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度σt增大時(shí),反饋棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率也會(huì)隨之增大,且效率最大值所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)振幅強(qiáng)度逐漸減小.如當(dāng)σt=9.0時(shí),可利用較小的外力振幅就能使反饋棘輪中粒子獲得較大的輸運(yùn)效率.說(shuō)明外力作用時(shí)間的不對(duì)稱度能促進(jìn)反饋控制棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Deff和(c)能量轉(zhuǎn)化效率η隨外力振幅A的變化曲線,其中D=0.01,k=1.0,λ=5.0,σs=0.96,τ=10Fig.3.(color online)The curves of(a)the centerof-mass velocity 〈V 〉,(b)the average effective diffusion coefficient Deffand(c)the energy conversion effi ciency η varying with the amplitude of external force A,where D=0.01,k=1.0,λ =5.0,σs=0.96,τ=10.

3.2 外力作用周期的影響

圖4(a)給出了不同外勢(shì)不對(duì)稱系數(shù)σs下,耦合棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度隨外力作用周期τ的變化關(guān)系.從圖中可發(fā)現(xiàn),在外力作用周期不太大時(shí),耦合布朗粒子質(zhì)心的平均速度呈準(zhǔn)周期變化,且當(dāng)外力周期較小時(shí)速度的波動(dòng)很大,這是因?yàn)楫?dāng)外力作用周期較小時(shí),外力振幅A方向變化的頻率較快,因此會(huì)導(dǎo)致耦合粒子受力不穩(wěn)定,所以速度圖像振蕩較明顯;然而當(dāng)外力作用周期較大時(shí),外力振幅A方向變化的頻率較慢,因此粒子受力趨于穩(wěn)定且平均速度波動(dòng)較小.研究還發(fā)現(xiàn),隨著外力周期的變化,外勢(shì)的不對(duì)稱度對(duì)反饋棘輪中粒子定向輸運(yùn)的影響也發(fā)生改變.如在較小的外力周期下,當(dāng)σs=0.7時(shí)耦合棘輪中粒子的定向輸運(yùn)最強(qiáng).而當(dāng)外力周期增大時(shí),如τ＞1.0,最優(yōu)的外勢(shì)不對(duì)稱度變?yōu)?.65.因此可通過(guò)選取合適的外勢(shì)空間不對(duì)稱度和外力周期來(lái)共同促進(jìn)反饋棘輪中粒子的定向輸運(yùn).

圖4(b)給出了在不同的外勢(shì)不對(duì)稱系數(shù)σs下耦合粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)隨外力作用周期τ的變化關(guān)系曲線.研究發(fā)現(xiàn),耦合布朗粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)隨外力作用周期τ也呈準(zhǔn)周期變化,隨著外力周期τ的增加,耦合粒子質(zhì)心有效擴(kuò)散系數(shù)變化的幅度逐漸變小,說(shuō)明此時(shí)耦合棘輪中粒子的定向輸運(yùn)逐漸增強(qiáng);然而隨著外勢(shì)不對(duì)稱度σs的增加,我們發(fā)現(xiàn)耦合棘輪中粒子質(zhì)心擴(kuò)散的幅度隨之降低,說(shuō)明利用較大的空間不對(duì)稱度能夠有效地抑制反饋棘輪中粒子質(zhì)心的擴(kuò)散,達(dá)到增強(qiáng)耦合系統(tǒng)中粒子定向輸運(yùn)的效果.

為了更清晰地了解反饋耦合棘輪中粒子的輸運(yùn)性能,本文還進(jìn)一步討論了外力作用周期τ對(duì)系統(tǒng)中粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響,得到的結(jié)果如圖4(c)所示.研究發(fā)現(xiàn),耦合棘輪中粒子效率的變化同粒子平均速度的變化趨勢(shì)一樣不會(huì)隨著外力周期τ呈單調(diào)變化.當(dāng)外力作用周期較小時(shí),方向變化頻率較為頻繁,大部分能量都消耗在F(t)方向的頻繁轉(zhuǎn)變上,因此用來(lái)跨越勢(shì)壘的能量較少;當(dāng)外力作用周期較大時(shí),F(t)方向變化的頻率降低,此時(shí)耦合粒子會(huì)利用更多的能量來(lái)跨越勢(shì)壘并形成定向輸運(yùn).此外,研究還發(fā)現(xiàn),當(dāng)外勢(shì)空間的不對(duì)稱度σs等于0.4或0.7時(shí),隨著周期τ的增加,棘輪系統(tǒng)中粒子能量轉(zhuǎn)化效率逐漸趨于穩(wěn)定;然而當(dāng)外勢(shì)空間的不對(duì)稱度相對(duì)較小如σs等于0.55或0.65時(shí),隨著外力作用周期的增加,耦合棘輪中粒子的效率仍在增大.說(shuō)明較小的外勢(shì)空間不對(duì)稱度對(duì)反饋控制棘輪中粒子效率的提高具有促進(jìn)作用.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Deff和(c)能量轉(zhuǎn)化效率η隨外力周期τ的變化曲線,其中D=0.01,k=0.1,A=3.75,λ=2.0,σt=0.8Fig.4.(color online)The curves of(a)the center-ofmass velocity 〈V 〉,(b)the average e ff ective di ff usion coefficient Deffand(c)the energy conversion efficiency η varying with the period of external force τ,where D=0.01,k=0.1,A=3.75,λ =2.0,σt=0.8.

3.3 噪聲的影響

圖5(a)給出了不同彈簧勁度系數(shù)k下耦合布朗棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度隨噪聲強(qiáng)度D的變化關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn),在不同的彈簧勁度系數(shù)k下,都會(huì)存在一個(gè)最優(yōu)的噪聲強(qiáng)度D使反饋棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度達(dá)到最大.此外,隨著彈簧勁度系數(shù)k的增大,耦合棘輪中粒子質(zhì)心達(dá)到最大速度時(shí)的最優(yōu)噪聲強(qiáng)度也隨之增加.這是因?yàn)殡S著耦合粒子相互作用的增強(qiáng),粒子不容易越過(guò)勢(shì)壘形成定向運(yùn)動(dòng).因此隨著k的增加,耦合棘輪中粒子需要較大的噪聲強(qiáng)度來(lái)促進(jìn)耦合粒子越過(guò)勢(shì)壘,從而形成定向輸運(yùn).這也說(shuō)明噪聲在耦合棘輪中的作用并不總是阻礙系統(tǒng)中粒子的定向輸運(yùn).此外,當(dāng)噪聲強(qiáng)度D很大時(shí),不同彈簧勁度系數(shù)下的棘輪中粒子質(zhì)心速度趨于一致.說(shuō)明當(dāng)系統(tǒng)的噪聲很強(qiáng)時(shí)粒子完全在做自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),粒子間的相互作用對(duì)耦合系統(tǒng)中粒子的定向輸運(yùn)不再起作用.

圖5(b)為不同彈簧勁度系數(shù)k下反饋棘輪中粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)與噪聲強(qiáng)度D的關(guān)系曲線.研究發(fā)現(xiàn),同樣存在合適的噪聲強(qiáng)度D使反饋棘輪中粒子質(zhì)心的平均有效擴(kuò)散系數(shù)達(dá)到最大.說(shuō)明在耦合棘輪中,噪聲并不總是促進(jìn)耦合布朗粒子的自由擴(kuò)散.此外,隨著彈簧勁度系數(shù)k的增大,Deff的最大值也隨之增大,說(shuō)明對(duì)于耦合布朗粒子,在一定條件下耦合強(qiáng)度也能促進(jìn)反饋控制棘輪中粒子的擴(kuò)散.然而,當(dāng)噪聲強(qiáng)度D很大時(shí),不同勁度系數(shù)k下的有效擴(kuò)散趨于一致,說(shuō)明此時(shí)噪聲占據(jù)主導(dǎo)作用,耦合粒子在做自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).

為了更詳細(xì)地研究耦合棘輪中粒子的定向輸運(yùn)性能,圖5(c)進(jìn)一步研究了不同彈簧勁度系數(shù)k下反饋棘輪中粒子能量轉(zhuǎn)化效率隨噪聲強(qiáng)度D的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),同樣存在最優(yōu)的噪聲強(qiáng)度D能使反饋棘輪中粒子的效率達(dá)到最大.因?yàn)楫?dāng)噪聲很弱時(shí),棘輪中粒子熱運(yùn)動(dòng)不明顯,因此粒子很難越過(guò)勢(shì)壘形成定向輸運(yùn);然而在較大噪聲強(qiáng)度下,粒子完全在做自由擴(kuò)散,同樣不利于形成定向輸運(yùn).同時(shí)還發(fā)現(xiàn),當(dāng)噪聲強(qiáng)度D非常弱時(shí),利用較小的勁度系數(shù)能使棘輪系統(tǒng)中粒子獲得較大的效率;而當(dāng)噪聲強(qiáng)度D很大時(shí),不同勁度系數(shù)下反饋棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率趨于一致.說(shuō)明當(dāng)耦合粒子完全在做自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)時(shí),勁度系數(shù)對(duì)耦合棘輪中粒子能量轉(zhuǎn)化的影響不再明顯.也就是說(shuō),利用合適的熱漲落和粒子間的相互作用同樣可提高反饋控制棘輪中粒子的能量轉(zhuǎn)化效率.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴(kuò)散系數(shù)Deff和(c)能量轉(zhuǎn)化效率η隨噪聲強(qiáng)度D的變化A=3.75,λ =2.0,σt=0.8,σs=0.96,τ=10Fig.5.(color online)The curves of(a)the centerof-mass velocity 〈V 〉,(b)the average e ff ective diffusion coefficient Deffand(c)the energy conversion efficiencyηvarying with the noise intensity D,where A=3.75,λ =2.0,σt=0.8,σs=0.96,τ=10.

4結(jié) 論

本文研究了處于負(fù)載力、時(shí)變外力及噪聲作用下反饋耦合布朗棘輪中粒子的定向輸運(yùn)性能.詳細(xì)分析了外勢(shì)的空間不對(duì)稱性、外力的時(shí)間不對(duì)稱性、外力周期及噪聲強(qiáng)度對(duì)耦合布朗粒子質(zhì)心的平均速度、擴(kuò)散及棘輪系統(tǒng)中粒子能量轉(zhuǎn)化效率的影響.研究發(fā)現(xiàn),外力的時(shí)間不對(duì)稱度能促進(jìn)反饋棘輪中粒子的定向輸運(yùn),且在不同的時(shí)間不對(duì)稱度下,耦合布朗粒子質(zhì)心的平均速度、平均有效擴(kuò)散系數(shù)及能量轉(zhuǎn)化效率均能達(dá)到最優(yōu)值.同時(shí),在不同的空間不對(duì)稱度下,棘輪中粒子質(zhì)心的平均速度、擴(kuò)散及系統(tǒng)中粒子能量轉(zhuǎn)化效率隨著外力周期的增加呈準(zhǔn)周期變化.此外,合適的噪聲強(qiáng)度也能促進(jìn)反饋棘輪中粒子的輸運(yùn)效率.上述結(jié)論可應(yīng)用于滲透、粒子分離與提高分子馬達(dá)的效率等方面,對(duì)微觀尺度下生物納米器件的研制具有一定的理論指導(dǎo)作用.

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PACS:05.40.–a,05.40.Jc,02.30.YyDOI:10.7498/aps.66.010501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grand Nos.11475022,11347003)and the Scienti fi c Research Funds of Huaqiao University and the Excellent Talents Program of Shenyang Normal University,China(Grand No.91400114005).

?Corresponding author.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn

Investigation on the directed transport efficiency of feedback-control ratchet?

Fan Li-Ming1)Lü Ming-Tao1)Huang Ren-Zhong1)Gao Tian-Fu1)?Zheng Zhi-Gang2)

1)(College of Physical Science and Technology,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China)2)(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)(Received 7 June 2016;revised manuscript received 30 September 2016)

Brownian motion in the environment of the thermal fl uctuations is a long-study issue in nonequilibrium statistical physics.In recent years,the directed transport properties of Brownian ratchets attract the widespread attention of scholars.When a ratchet system possesses the spatio-temporal symmetry-breaking feature,the directed transport can be produced.Although the breakthrough progress in the directed transport of the Brownian ratchet has been made,the energy conversion efficiency of feedback ratchet is not clear.Therefore,the center-of-mass mean velocity and the energy conversion efficiency of coupled ratchet under the in fl uences of the time asymmetry of external force and the spatial asymmetry of external potential are discussed in detail.

The overdamped coupled Brownian particles are investigated.Nevertheless,the optimized control of the coupled ratchet is the important for directed transport.Therefore,the closed-loop control which depends on the state of the system is adopted.The dynamic behavior of coupled particles can be described by the overdamped Langevin equation,and the equation is numerically solved by using the stochastic Runge-Kutta algorithm.Some properties of the directed transport can be obtained through this method,such as the center-of-mass mean velocity,the energy conversion efficiency,etc.

It is interesting to fi nd that the center-of-mass mean velocity can reach a maximum as the amplitude of external force increases.However,the mean velocity can show the quasi-periodic oscillations with the increase of the period of external force for di ff erent values of the spatial asymmetry of external potential.In addition,it can be found that the feedback ratchet needs strong noise to make the directed transport of the ratchet reach the maximum as the coupled strength increases.On the other hand,the energy conversion efficiencies of the feedback ratchet can achieve their corresponding maximum values with the increase of the amplitude of external force for di ff erent values of the time asymmetry,and the maximum increases as the time asymmetry increases.However,the efficiency can also show the quasi-periodic oscillations with the increase of the period of the external force for di ff erent values of the spatial asymmetry of external potential.Moreover,the energy conversion efficiency can achieve the maximum as the noise strength increases,but the maximum of the efficiency will decrease with the increase of coupling strength.From the discussion above,the optimal values of the time asymmetry,the spatial asymmetry,the period of the external force and the noise strength can promote the directed transport of the feedback coupled Brownian ratchet.These conclusions can provide some guidance in the enhancement of the energy conversion efficiency of a nanomachine.

feedback control,spatio-temporal asymmetry,directed transport,energy conversion efficiency

10.7498/aps.66.010501

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11475022,11347003)、華僑大學(xué)科研啟動(dòng)費(fèi)項(xiàng)目和沈陽(yáng)師范大學(xué)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):91400114005)資助的課題.

?通信作者.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn