基于電磁波反射和折射理論的平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型?

張卿 武新軍

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074)(2016年7月8日收到;2016年10月26日收到修改稿)

基于電磁波反射和折射理論的平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型?

張卿 武新軍?

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074)(2016年7月8日收到;2016年10月26日收到修改稿)

針對(duì)大多數(shù)脈沖渦流檢測(cè)解析模型假設(shè)試件壁厚均勻減薄,其解析解中僅包含z方向(試件厚度)信息,不能求解探頭覆蓋區(qū)等依賴r方向(平行試件表面)信息的問(wèn)題,本文提出平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型.該模型在z和r方向均存在介質(zhì)分界面,邊界條件復(fù)雜,求解困難.為此,本文首先假設(shè)平底孔所在層導(dǎo)體與空氣區(qū)域的橫向波數(shù)和縱向波數(shù)均相同,且橫向波數(shù)為僅與r方向結(jié)構(gòu)有關(guān)的實(shí)數(shù),縱向波數(shù)為與該層橫向波數(shù)和導(dǎo)體區(qū)域材料有關(guān)的復(fù)數(shù),在此假設(shè)基礎(chǔ)上應(yīng)用電磁波反射和折射理論,構(gòu)造各層波動(dòng)方程;然后通過(guò)引入r方向結(jié)構(gòu)系數(shù)Wn,將Cheng的矩陣法擴(kuò)展,用擴(kuò)展的矩陣法求解波動(dòng)方程,得到模型的解析表達(dá)式.將該模型應(yīng)用到16MnR平底孔試件檢測(cè)實(shí)例中,并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合,證明了模型的正確性.平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型有助于加深對(duì)脈沖渦流檢測(cè)結(jié)果的理解,同時(shí)能夠?yàn)閞方向逆問(wèn)題求解提供理論依據(jù).

脈沖渦流檢測(cè),反射與折射理論,平底孔,解析模型

1 引 言

壓力容器、電站鍋爐等由鐵磁性材料制成的設(shè)備常用于石油、化工等行業(yè)[1?3],開(kāi)展無(wú)損檢測(cè)與評(píng)估是保障設(shè)備安全運(yùn)行的重要手段.在眾多的無(wú)損檢測(cè)方法中,基于電磁感應(yīng)原理的脈沖渦流檢測(cè)技術(shù)因具有非接觸性、穿透深度大、檢測(cè)速度快等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用[4,5].

脈沖渦流檢測(cè)技術(shù)采用方波或階躍方式激勵(lì),通過(guò)分析接收線圈感應(yīng)電壓得到試件厚度、電導(dǎo)率等信息.解析模型能用顯式表示感應(yīng)電壓與試件厚度、電導(dǎo)率等的關(guān)系,且計(jì)算速度快,物理意義明確,因此對(duì)脈沖渦流檢測(cè)技術(shù)至關(guān)重要.

脈沖渦流檢測(cè)解析模型的基礎(chǔ)主要是Dodd-Deeds模型[6],然而,Dodd-Deeds模型的求解域?yàn)榘霟o(wú)限大,因而其結(jié)果中包含Bessel函數(shù)二重積分項(xiàng),計(jì)算困難.Theodoulidis和Kriezis[7,8]應(yīng)用截?cái)鄥^(qū)域特征函數(shù)展開(kāi)法(truncated region eigenfunction expansion,TREE),將無(wú)限大求解域縮小到一定半徑的圓柱體,則Bessel函數(shù)二重積分轉(zhuǎn)換為級(jí)數(shù)形式,簡(jiǎn)化了Dodd-Deeds模型的求解,擴(kuò)大了解析模型的適用范圍.隨后,范孟豹等[9]應(yīng)用TREE法和電磁波的反射與折射理論推導(dǎo)了多層導(dǎo)電結(jié)構(gòu)渦流檢測(cè)解析模型,簡(jiǎn)化了多層導(dǎo)電結(jié)構(gòu)模型的求解,進(jìn)一步擴(kuò)大了模型的適用范圍.

應(yīng)用上述模型,脈沖渦流檢測(cè)中的諸多問(wèn)題得到了解決,如試件厚度、電導(dǎo)率等逆問(wèn)題求解[10,11],提離效應(yīng)的分析與抑制[12,13],激勵(lì)參數(shù)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響分析[14]等.然而,上述模型假設(shè)試件均勻壁厚減薄,其感應(yīng)電壓表達(dá)式中僅包含試件厚度(即z方向)信息.近年來(lái),隨著脈沖渦流檢測(cè)技術(shù)的快速發(fā)展,探頭覆蓋區(qū)[15,16]、邊緣效應(yīng)[17]、局部壁厚減薄缺陷定量[18]等問(wèn)題的研究越來(lái)越受到重視,求解這類問(wèn)題依賴平行于試件表面方向(r方向)的信息,因此均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測(cè)解析模型不再適用.

為擴(kuò)大解析模型求解問(wèn)題的范圍,本文提出平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型.該模型的解析表達(dá)式中既包含試件z方向的信息,也包含r方向的信息,且當(dāng)平底孔半徑趨向于無(wú)窮大時(shí),可簡(jiǎn)化為均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測(cè)解析模型,因而具有更廣泛的應(yīng)用.

然而,平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型在r和z方向均存在介質(zhì)分界面,因此其邊界條件復(fù)雜.關(guān)于如何求解此類問(wèn)題,Theodoulidis和Bowler做了探索,得到了線圈位于試件邊緣時(shí)的阻抗解析表達(dá)式[19,20].其所用方法的特點(diǎn)是利用TREE法中截?cái)鄥^(qū)域邊界處的磁約束條件構(gòu)造磁矢位表達(dá)式,利用試件邊緣處(試件與空氣交界處)的邊界條件求解橫向波數(shù),從而避免了復(fù)雜邊界條件的求解.利用該方法,渦流檢測(cè)通孔試件[21]等問(wèn)題同樣得到了解決.然而,上述方法僅適用于非鐵磁性材料,對(duì)于鐵磁性材料,由于其磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于1,用該方法得到的橫向波數(shù)的特征方程中包含復(fù)雜的復(fù)變量Bessel函數(shù)項(xiàng),求解復(fù)雜.因此該方法在鐵磁性材料中的應(yīng)用受到了一定的限制[22].

本文采用不同的思路求解平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型.假設(shè)平底孔所在層導(dǎo)體與空氣區(qū)域的電磁波橫向波數(shù)和縱向波數(shù)均相同,且橫向波數(shù)為僅與r方向結(jié)構(gòu)有關(guān)的實(shí)數(shù),縱向波數(shù)為與該層橫向波數(shù)和導(dǎo)體區(qū)域材料有關(guān)的復(fù)數(shù).首先,在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上應(yīng)用電磁波反射和折射理論,構(gòu)造包括平底孔所在層在內(nèi)的各層電磁波動(dòng)方程,其次,將Cheng等[23]的矩陣法擴(kuò)展,用擴(kuò)展的傳遞矩陣法對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行求解,得到接收線圈感應(yīng)電壓表達(dá)式.最后,將該模型應(yīng)用到16MnR平底孔試件檢測(cè)實(shí)例,并對(duì)平底孔試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析,通過(guò)對(duì)比模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,驗(yàn)證模型的正確性.

2 平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型

激勵(lì)和接收線圈位于平底孔試件上方的脈沖渦流檢測(cè)解析模型如圖1,其中試件為線性、均勻且各向同性的介質(zhì);試件厚度為z3,所含平底孔半徑為c,深度為d.應(yīng)用TREE法將模型求解域限制在r=h的圓柱體內(nèi),且為便于分析,按照z方向邊界條件的不同,將整個(gè)求解域劃分為5層,線圈位于1—2層,平底孔位于4層.根據(jù)r方向邊界條件的不同,4層可繼續(xù)劃分為空氣區(qū)域和導(dǎo)體區(qū)域2個(gè)子區(qū)域,r=c為這兩個(gè)子區(qū)域的分界面.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)激勵(lì)和接收線圈置于平底孔試件上方Fig.1.(color on line)D iver and pickupcoils located above the plate with a fl at-bottomhole.

2.1 根據(jù)反射和折射理論構(gòu)造各層磁矢位A表達(dá)式

為建立圖1所示平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型的解析解,首先考慮激勵(lì)電流為諧波電流的情況.應(yīng)用時(shí)諧電磁場(chǎng)的Maxwell方程組和分離變量法,忽略ω2μ0μrε項(xiàng)[24],矢量磁位A可表示為[8]

式中,i為層數(shù);αn為特征方程FiJ1(αnh)+DiY1(αnh)=0的第n個(gè)根,表示電磁波橫向波數(shù)[14];表示電磁波的縱向波數(shù)[25],其中,j為虛數(shù)單位;ω為諧波電流角頻率;ε為介電常數(shù);μ0為真空磁導(dǎo)率;μri和σi分別為i層相對(duì)磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率;J1(αr)和Y1(αr)分別為一階第一類和第二類Bessel函數(shù);Ci,Bi,Fi,Di為系數(shù);N s為求和項(xiàng)數(shù).

(1)式中的Bessel函數(shù)項(xiàng)表示電磁波沿r方向的傳播情況,指數(shù)項(xiàng)表示電磁波沿z方向的傳播情況,其中e?βinz表示電磁波沿 +z方向傳播,稱為正向行波;e+βinz表示電磁波沿?z方向傳播,稱為反向行波.對(duì)于圖1所示的1—3,5層,1層僅有正向行波,則C1=0;5層僅有反向行波,則B5=0.其他層既有正向行波也有反向行波,則Ci,Bi均不為0.同時(shí)考慮到Y(jié)1(αr)在r=0處發(fā)散,則系數(shù)Di必須恒等于0,即D1=D2=D3=D5=0.基于上述分析,1—3,5層的磁矢位A可分別表示為

其中,由于D1=D2=D3=D5=0,αn的特征方程FiJ1(αnh)+DiY1(αnh)=0可簡(jiǎn)化為J1(αnh)=0.

對(duì)于4層,由于r和z方向都存在介質(zhì)分界面,邊界條件復(fù)雜[20],因此在構(gòu)造磁矢位A表達(dá)式時(shí),除了依據(jù)電磁波傳播規(guī)律,還需考慮求解的方便性.

由(1)式可知,磁矢位A的表達(dá)式由兩部分組成:

在構(gòu)造空氣區(qū)域表達(dá)式時(shí),可以將(6)式中的βin替換成αn,或?qū)?7)式中的αn替換成βin[8].對(duì)于4層,為求解方便,一般需保證空氣和導(dǎo)體區(qū)域磁矢位A表達(dá)式中的指數(shù)項(xiàng)相同[20],因此我們選擇第二種方式,則4層表達(dá)式為

因?yàn)檠貁方向,4層正向行波和反向行波都存在,C4,B4均不為0.沿r方向,4層導(dǎo)體區(qū)域僅有入射波,且由于該區(qū)域不存在r=0點(diǎn),則D4/=0.4層空氣域表達(dá)式中D′4=0,且該區(qū)域存在入射波和r=c交界面處產(chǎn)生的反射波,入射波用表示,反射波用表示,疊加之后為,根據(jù)Bessel函數(shù)的性質(zhì),J1(?x)=?J1(x),將其整理為F4J1(β4nr),則(8)式可重新寫(xiě)為

(9)式空氣區(qū)域和導(dǎo)體區(qū)域的橫向波數(shù)不同,因此求解得到αn的特征方程中含有Bessel函數(shù)的復(fù)數(shù)項(xiàng).當(dāng)試件為鐵磁性材料時(shí),αn的特征方程表達(dá)式復(fù)雜,難以求解.基于此,本文對(duì)(9)式做進(jìn)一步簡(jiǎn)化.假設(shè)4層空氣和導(dǎo)體區(qū)域橫向波數(shù)相同,為僅與r方向結(jié)構(gòu)相關(guān)的實(shí)數(shù),縱向波數(shù)相同且僅與該層橫向波數(shù)和導(dǎo)體區(qū)域材料相關(guān),同時(shí)為區(qū)別于其他層,4層的橫向波數(shù)用符號(hào)qn表示,則

根據(jù)r=c處的法向邊界條件,重新整理(10)式,得到

通過(guò)r=c處的切向邊界條件求解系數(shù)D4,

將D4代入J1(qnh)+D4Y1(qnh)=0中,化簡(jiǎn)之后得到橫向波數(shù)qn的特征方程

設(shè)qnh=xn,ref=c/h,μr4?1≈ μr4,則上述特征方程的解即為(14)式所示函數(shù)f(x)的零點(diǎn),

由于函數(shù)f(x)表達(dá)式中的Bessel函數(shù)項(xiàng)不含復(fù)數(shù)項(xiàng),因此用一般的求根方法即可求解.本文選用牛頓法.因c=0可看作平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型的極限情況,則c=0對(duì)應(yīng)的特征方程J1(xn)=0的解可作為用牛頓法的初值,將其代入(15)式所示的牛頓法迭代公式中,經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代,即可求得函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn).qn=xn/h,則橫向波數(shù)qn的解也可得到.

2.2 利用擴(kuò)展的矩陣法求解感應(yīng)電壓表達(dá)式

要求得接收線圈的感應(yīng)電壓表達(dá)式,需對(duì)1—5層磁矢位A((2)—(5)式和(11)式)進(jìn)行求解.根據(jù)電磁波動(dòng)理論,接收線圈所處空間的電磁波可分為入射波和反射波,接收線圈接收到的實(shí)際是反射波的變化率,因此求解接收線圈中的感應(yīng)電壓其實(shí)就是求解反射波.反射波等于入射波和反射系數(shù)的乘積,由(3)式可知,入射波幅值為C2,反射系數(shù)用T(α)表示,則求解反射波即求解C2和T(α).Cheng的矩陣法[23]因表達(dá)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而被廣泛應(yīng)用,因此,本文欲采用矩陣法對(duì)C2和T(α)進(jìn)行求解,然而,由于Cheng的矩陣法僅適用于均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測(cè)解析模型,不能直接用于求解本文研究的r和z方向都存在介質(zhì)分界面的情況,為此,需將Cheng的矩陣法擴(kuò)展.

根據(jù)(16)和(17)式所示的層與層之間的法向和切向邊界條件和(18)式所示的Bessel函數(shù)正交特性[8],(2)—(5)式和(11)式磁矢位A表達(dá)式中系數(shù)Bi和Ci之間的關(guān)系如(19)和(20)式所示.

其中,Wi為r方向結(jié)構(gòu)系數(shù),對(duì)于均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測(cè)解析模型,Wi=1;對(duì)于本文研究的平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)模型,當(dāng)?shù)趇層r方向存在介質(zhì)分界面時(shí),Wi,Wi?1,Wi+1可表示為

根據(jù)Cheng的矩陣法,將系數(shù)表示成矩陣形式,系數(shù)之間的關(guān)系用轉(zhuǎn)換矩陣表示,則(19)和(20)式表示的系數(shù)之間的關(guān)系為

應(yīng)用擴(kuò)展的矩陣法對(duì)C2和T(α)進(jìn)行求解,結(jié)果如(28)和(29)式所示.

則諧波激勵(lì)時(shí),接收線圈的感應(yīng)電壓表達(dá)式為

根據(jù)傅里葉變換,脈沖渦流激勵(lì)可看作一系列諧波激勵(lì)的疊加,因此將各諧波感應(yīng)電壓相加,并對(duì)結(jié)果做離散傅里葉逆變換,即可得到脈沖渦流激勵(lì)時(shí)接收線圈中的時(shí)域感應(yīng)電壓?U(k)序列:

其中,N為采樣點(diǎn)數(shù),k=1,2,3,...,N;ωm為各諧波頻率;I為正弦電流幅值;l1為探頭提離,l2d和l2p分別為激勵(lì)、接收線圈上端面到試件的距離;r1d和r2d分別為激勵(lì)線圈的內(nèi)、外半徑;r1p和r2p分別為接收線圈的內(nèi)、外半徑,nd是激勵(lì)線圈匝數(shù),np是接收線圈匝數(shù).

3 解析模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型的正確性,將該模型應(yīng)用到16MnR平底孔試件檢測(cè)中,并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析.實(shí)驗(yàn)所用系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的HSPEC-III脈沖渦流檢測(cè)系統(tǒng)[26];所用平底孔試件為如圖2所示的16MnR試件,試件厚度z3為20mm,試件中的平底孔深度d為8mm,平底孔半徑分別為10,25,50,75,90 mm.為便于檢測(cè)信號(hào)分析,平底孔試件中設(shè)有不含平底孔的區(qū)域,在圖2中標(biāo)記為參考區(qū)域.在探頭提離l1為5 mm時(shí)對(duì)圖2所示的平底孔試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn),得到參考區(qū)域和不同半徑平底孔區(qū)域的感應(yīng)電壓信號(hào),探頭參數(shù)見(jiàn)表1.

圖2 平底孔試件示意圖Fig.2.The d iagramof the plate with diff erent fl at bottomholes.

表1 探頭參數(shù)Tab le 1.Parameters of the probe.

設(shè)16MnR試件的相對(duì)磁導(dǎo)率μr3= μr4=500,電導(dǎo)率σ3=σ4=1.6MS/m,將表1所列探頭參數(shù)、探頭提離l1=5 mm、試件厚度z3=20 mm、平底孔深度d=8mm和不同的平底孔半徑值代入平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型的感應(yīng)電壓表達(dá)式,即(33)式,計(jì)算參考區(qū)域和不同半徑平底孔區(qū)域的感應(yīng)電壓信號(hào).

為比較解析模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果,設(shè)參考區(qū)域的感應(yīng)電壓信號(hào)為參考信號(hào),其他區(qū)域的信號(hào)大小用其相對(duì)于參考信號(hào)的歐氏距離[27]表示.考慮到脈沖渦流感應(yīng)電壓信號(hào)通常在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下顯示[26],則對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下,其他區(qū)域信號(hào)相對(duì)于參考信號(hào)的歐氏距離可表示為

圖3 解析計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.3.Comparison of the analy tical and experimental resu lts.

其中,U參考表示參考區(qū)域感應(yīng)電壓信號(hào),U其他表示其他區(qū)域感應(yīng)電壓信號(hào).

將解析計(jì)算得到的感應(yīng)電壓信號(hào)與實(shí)驗(yàn)得到的感應(yīng)電壓信號(hào)代入(34)式,則可得到平底孔半徑不同時(shí)的感應(yīng)電壓信號(hào)相對(duì)于參考信號(hào)的歐氏距離.對(duì)比解析計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果,如圖3所示,解析計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合,從而驗(yàn)證了平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型的正確性.

4 結(jié) 論

本文提出了平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型,彌補(bǔ)了現(xiàn)有均勻壁厚減薄脈沖渦流檢測(cè)解析模型僅含試件厚度(z方向)信息的不足.在該模型求解過(guò)程中,由于鐵磁性構(gòu)件磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于1,平底孔所在層的特征方程難以計(jì)算,本文首先應(yīng)用電磁波反射和折射理論構(gòu)造各層磁矢位A的表達(dá)式;然后通過(guò)擴(kuò)展的傳遞矩陣法對(duì)其求解,獲取接收線圈感應(yīng)電壓表達(dá)式.將模型應(yīng)用到16MnR平底孔試件檢測(cè)中,并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.解析模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合,驗(yàn)證了模型的正確性.平底孔試件脈沖渦流檢測(cè)解析模型可對(duì)更多脈沖渦流檢測(cè)問(wèn)題提供理論指導(dǎo),具有重要的工程意義.下一步的研究工作將圍繞該模型在脈沖渦流檢測(cè)中的應(yīng)用展開(kāi).

[1]Fan MB,Y in Y D,CaoBH2012Acta Phys.Sin.61 088105(in Chinese)[范孟豹,尹亞丹,曹丙花2012物理學(xué)報(bào)61 088105]

[2]Fu J J,LeiY Z 2016J.Sci.Instrum.37 617(in Chinese)[付劍津,雷銀照2016儀器儀表學(xué)報(bào)37 617]

[3]Yang L J,Su JM,GaoSW,Liu B2016NDT40 10(in Chinese)[楊理踐,孫靖萌,高松巍,劉斌2016無(wú)損探傷40 10]

[4]Kang X W,Fu Y W 2011Nondestr.Test.33 40(in Chinese)[康小偉,付躍文 2011無(wú)損檢測(cè) 33 40]

[5]W u X J,Zhang Q,Shen G T2016J.Sci.Instrum.37 1698(in Chinese)[武新軍,張卿,沈功田2016儀器儀表學(xué)報(bào)37 1698]

[6]Dodd C V,Deeds W E 1968J.Appl.Phys.39 2829

[7]Theodou lid is TP,Kriezis E E 2005J.Mater.Process.Technol.161 343

[8]Theodou lid is TP,Kriezis E E 2006Eddy Curren t Canonical Problems(with applications tonondestructive evaluation)(Forsyth:Tech Science Press)pp93–135

[9]Fan MB,Huang P J,Ye B,Hou D B,Zhang G X,Zhou Z K2009Acta Phys.Sin.58 5950(in Chinese)[范孟豹,黃平捷,葉波,侯迪波,張光新,周澤魁 2009物理學(xué)報(bào) 58 5950]

[10]Chen X L,Lei Y Z 2015Chin.Phys.B24 030301

[11]Xu Z Y,W u X J,Li J,Kang Y H2012NDT&E In t.51 24

[12]Tian G Y,Li Y,Mandache C 2009IEEE Trans.Magn.45 184

[13]Li J,W u X J,Zhang Q,Sun P F 2015NDT&E In t.75 57

[14]Fu F,Bowler J 2006IEEE Trans.Magn.42 2029

[15]Xu Z Y 2012Ph.D.D issertation(W uhan:Huazhong University of Science and Technology)(in Chinese)[徐志遠(yuǎn)2012博士學(xué)位論文(武漢:華中科技大學(xué))]

[16]Cheng W,Komu ra I2012Proceedings of the 9th In ternational Conference on NDE in Relation toStructura l In tegrity for Nuclear and Pressurized Componen tsSeattle,USA,May 22–24,2012 p336

[17]W ang J,Teng Y P,Fu Y G,Sun MX,Liu Z B,Fan Z Y,Shi K2013Nondestr.Test.35 54(in Chinese)[王健,滕永平,傅迎光,孫明璇,劉再斌,范智勇,石坤 2013無(wú)損檢測(cè)35 54]

[18]X ie S,Chen Z,Takagi T,UchimotoT2012NDT&E In t.51 45

[19]Bowler J R,Theodou lid is TP 2006J.Phys.D:Appl.Phys.39 2862

[20]Theodou lid is TP,Bowler J R 2010IEEE Trans.Magn.46 1034

[21]Theodou lidis TP,Bowler J R 2005Rev.Prog.Quantit.Nondestr.Eva l.24 403

[22]Zhang Q,W u X J,Li J,Sun P F 2014Proceedings of the 19th In ternational W orkshopon E lectromagnetic Nondestructive EvaluationXi’an,China,June 23–28,2014 p95

[23]Cheng C C,Dodd C V,DeedsW E 1971In t.J.Nondestr.Test.3 109

[24]Feng C Z,Ma X K2000An Introduction toEngineering E lectromagnetic Fields(Beijing:Higher Education Press)p228(in Chinese)[馮慈璋,馬西奎2000工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論(北京:高等教育出版社)第228頁(yè)]

[25]Yang Z 2009Ph.D.Dissertation(Shandong:China University of Petroleum)(in Chinese)[楊震2009博士學(xué)位論文(山東:中國(guó)石油大學(xué))]

[26]Xu Z Y,W u X J,Huang C,Kang Y H2011J.Huazhong Univ.Sci.Techn(Nat.Sci.Ed.)39 91(in Chinese)[徐志遠(yuǎn),武新軍,黃琛,康宜華 2011華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)39 91]

[27]X ie MX,GuoJ Z,Zhang HB,Chen K2010Computer Eng.Sci.32 92(in Chinese)[謝明霞,郭建忠,張海波,陳科2010計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)32 92]

PACS:81.70.Ex,03.50.De,41.20.–qDOI:10.7498/aps.66.038102

Analy ticalmodeling for the plate with a fl at-bottomhole based on the refl ection and transmission theory in pu lsed eddy cu rren t testing?

Zhang Qing Wu Xin-Jun?

(School ofMechanical Science and Engineering,Huazhong University of Science and Technology,W uhan 430074,China)(Received 8 Ju ly 2016;revised manuscript received 26 October 2016)

Ferromagnetic structures such as pipes or vessels are widely used in petroleum,chemical and power generation industries.Periodical nondestructive testing(NDT)is vital for continued safe operation.As a NDTtechnology,pu lsed eddy current testing(PECT)technology which is excited by a square-wave pulse rather than a sinusoidalwaveformhas been widely used for its advantages of non-contact and acquisition of information at various depths in one excitation process.In PECT,the analyticalmodeling is important because it gives a better understanding of the signaland benefi ts the inverse process of PECTin extracting information of structures.The foundation of theoreticalmodelof PECTis the Dodd-Deedsmodel presented by Dodd and Deeds in 1968,Theodou lidis and Kriezis represented the integral solution of Dodd-Deedsmodel in the formof series by using the truncated region eigen function expansion(TREE)method.Using the Dodd-Deedsmodel and the TREE method,other analyticalmodelings have been solved.However,most modelings assume that the wall thinning of the specimen is uniform,and the analytical solution only contains the variab les in the z direction(the direction perpendicular tothe surface of the specimen),such as the thickness of the specimen.W ith the rapid development of PECT,problems such as the footprint of the probe,the quantitative analysis of local wall thinning alsoneed tobe solved.These problems are related tothe variable in the r direction(the direction parallel tothe surface of the specimen),sothe analytical modelings mentioned above are not available any more.Tosolve these prob lems,the analyticalmodeling of the plate with a fl at-bottomhole is proposed.Considering the fact that the boundary condition in the analyticalmodeling of the plate with a flat-bottomhole is complicated,the assumption that the transverse wave number and the longitudinal wave number in the layer where the fl at-bottomhole located are the same ismade in this paper,and the transversewave number is set tobe only related tothe structure in the r direction.Firstly,the expressions ofmagnetic vector potential in all the layers are obtained by using the reflection and refraction theory of electromagnetic wave.Then the analytical solution is solved based on the extended Cheng’smatrix method by introducing the construction coeffi cient Wn.Finally,the 16MnR specimen with the flat bottomholes is conducted as an example,and experiments are carried out.The good agreement between resu lts calculated by the analyticalmodel and the experimental resultsmeasured verifies the developed analyticalmodel.

pu lsed eddy current testing,reflection and transmission theory,flat-bottomhole,analytical modeling

10.7498/aps.66.038102

?國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):2016YFC 0801904)和國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):51077059)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xin junwu@mail.hust.edu.cn

*Project supported by the National Key Research and Development Programof China(Grant No.2016YFC0801904)and the National Natu ral Science Foundation of China(G rant No.51077059).

?Corresponding author.E-mail:xin junwu@mail.hust.edu.cn