抽樣法與靈敏度法keff不確定度量化?

胡澤華1)2)? 葉濤1)2) 劉雄國1)2) 王佳1)2)

1)(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所,北京 100094)2)(中國工程物理研究院高性能數(shù)值模擬軟件中心,北京 100088)(2016年7月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

抽樣法與靈敏度法keff不確定度量化?

胡澤華1)2)? 葉濤1)2) 劉雄國1)2) 王佳1)2)

1)(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所,北京 100094)2)(中國工程物理研究院高性能數(shù)值模擬軟件中心,北京 100088)(2016年7月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

核反應(yīng)堆的中子學模擬計算中,核數(shù)據(jù)的不確定度導致的積分量計算結(jié)果的不確定度,通常采用基于微擾理論的靈敏度與不確定度分析方法(簡稱靈敏度法)量化.靈敏度分析法原則上只適用于線性模型,且一般輸運計算程序難以直接進行靈敏度分析.而抽樣法直接抽樣核數(shù)據(jù)輸入中子學計算程序進行計算,通過對計算結(jié)果的統(tǒng)計分析評估計算量的不確定度.抽樣法易于實現(xiàn)、計算精確、且適用性強.在靈敏度分析與不確定度量化程序SURE中,增加了抽樣法不確定度的量化功能.為將抽樣法不確定度量化應(yīng)用于復雜問題的模擬計算,需對其進行細致的考核.為此,選取簡單的臨界基準實驗?zāi)Ｐ?分別采用靈敏度分析法和抽樣法進行不確定度量化,得到了各核素各反應(yīng)道核數(shù)據(jù)導致的keff計算不確定度.對比顯示,兩種方法的不確定度計算結(jié)果有很好的符合,驗證了SURE程序抽樣法功能的正確性.抽樣法計算的keff符合正態(tài)分布,說明在一般核數(shù)據(jù)的不確定度范圍內(nèi),keff與核數(shù)據(jù)近似成線性關(guān)系,利用靈敏度分析法評估keff計算值的不確定度是適用的.

不確定度量化,隨機抽樣法,靈敏度,核數(shù)據(jù)

1引 言

數(shù)值模擬是目前核反應(yīng)堆工程設(shè)計與安全分析的重要基礎(chǔ),而不確定度是計算結(jié)果可信度的量度.在核反應(yīng)堆工程領(lǐng)域,安全性是需要關(guān)注的首要問題;而經(jīng)濟性則決定了商業(yè)核電的競爭力.科學量化模擬計算的不確定度,對合理平衡核工程設(shè)計的安全性與經(jīng)濟性具有重要的意義,因而越來越受到關(guān)注.隨著新型反應(yīng)堆(GEN-IV)[1]研究與實驗的發(fā)展,對反應(yīng)堆數(shù)值模擬不確定度量化的可靠性與精度提出了更高的要求[2].發(fā)展可靠的反應(yīng)堆數(shù)值模擬的不確定度分析方法,對提高數(shù)值模擬的可信度十分必要.

模擬計算的不確定度源自多方面因素,而輸入數(shù)據(jù)(如系統(tǒng)的物質(zhì)性質(zhì)、幾何尺寸)引入的不確定度是其中的重要部分.源自輸入數(shù)據(jù)的不確定度屬認知不確定度,已經(jīng)發(fā)展了多種方法進行不確定度量化(簡稱UQ).這些方法大致可分為兩類:確定論方法和隨機統(tǒng)計方法.兩者的主要區(qū)別在于:確定論方法基于對計算模型的簡化近似進行,只在一定范圍內(nèi)適用,計算速度快;而統(tǒng)計方法在理論上是精確的,但需要進行大量的計算,基本上是普適的.

在反應(yīng)堆領(lǐng)域,常用的確定論UQ方法有:傳統(tǒng)的基于一階微擾近似的靈敏度與不確定度(S/U)分析方法[3]和最近引入的多項式混沌展開(PCE)方法等[4].靈敏度分析方法在核反應(yīng)堆的中子學計算中有長期的廣泛應(yīng)用[5?9].S/U分析方法基于一階微擾近似計算響應(yīng)量對核數(shù)據(jù)等輸入?yún)?shù)的靈敏度系數(shù)S,再利用線性近似的不確定度傳遞公式,由S結(jié)合核數(shù)據(jù)的協(xié)方差得到核數(shù)據(jù)導致的積分響應(yīng)量計算不確定度.靈敏度分析方法可用于分析中子有效增殖因數(shù)(keff)、反應(yīng)率等響應(yīng)量的不確定度,計算速度快,在一定范圍內(nèi)結(jié)果也比較可靠,但難以普遍適用于多物理復雜問題計算的不確定度量化.近幾年,在流體力學和結(jié)構(gòu)力學等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的PCE方法也被引入核數(shù)據(jù)評價[10]以及反應(yīng)堆計算的不確定度分析[4,11,12].相比基于微擾的靈敏度分析法,PCE方法計算量大,但適用性較好.

隨機統(tǒng)計法不確定度量化,通常稱為Monte Carlo(MC)法或抽樣方法,通過對問題進行一系列的模擬,統(tǒng)計得到計算結(jié)果的不確定度.抽樣方法UQ,除去統(tǒng)計不確定度(可通過增加抽樣次數(shù)降低)外是精確的,是普適的UQ方法,但是所需的計算量大.近來,隨著計算能力的快速提升,多種基于隨機抽樣的UQ方法逐步發(fā)展,并得到較廣泛的應(yīng)用[13?16].隨機抽樣法在模擬計算的隨機輸入?yún)?shù)空間內(nèi)進行抽樣,獲取系列隨機參數(shù)組,將各參數(shù)組代入計算程序中完成計算,得到系列計算結(jié)果;通過對計算結(jié)果的統(tǒng)計分析得到期望值與方差.抽樣法不需要了解模擬計算過程,可將計算過程視為“黑箱”,因此易于實現(xiàn);但抽樣法要進行多次模擬計算以得到收斂的結(jié)果,需要大量的計算時間.

靈敏度分析與不確定度量化程序SURE[9],基于微擾理論發(fā)展了keff、反應(yīng)性系數(shù)等積分量對全套核數(shù)據(jù)的靈敏度分析功能;利用靈敏度系數(shù)結(jié)合協(xié)方差數(shù)據(jù),量化核數(shù)據(jù)導致的積分量計算不確定度.通過與直接法計算和成熟程序[8]的對比,SURE程序的靈敏度分析與不確定度量化功能,已得到比較充分的驗證.為拓展SURE程序不確定度量化的適用范圍,發(fā)展了隨機抽樣法不確定度量化功能.在將抽樣法應(yīng)用于實際復雜問題的不確定度量化前,為保證可靠性,需對SURE中實現(xiàn)的抽樣法功能的可靠性進行比較充分的驗證.由于靈敏度分析法不確定度量化是基于線性近似的,其適用范圍也值得細致考查.

本文通過與傳統(tǒng)的靈敏度法不確定度計算結(jié)果的對比,驗證SURE中新發(fā)展的抽樣法不確定度量化功能的正確性.鑒于抽樣法是“精確”的UQ方法,通過兩種方法計算結(jié)果的對比,也考察了基于線性近似的靈敏度法不確定度量化的適用性范圍.本文的第2部分介紹核數(shù)據(jù)及其協(xié)防的基本概念,以及計算中所采用的核參數(shù)和程序;第3部分介紹靈敏度法和抽樣法不確定度量化理論;第4部分介紹計算分析采用的兩個基準實驗?zāi)Ｐ?第5部分給出靈敏度分析法和抽樣法的不確定度量化結(jié)果;最后給出結(jié)論.

2核數(shù)據(jù)與輸運計算

2.1 核數(shù)據(jù)及其協(xié)方差

核(反應(yīng))數(shù)據(jù)主要描述粒子與原子核發(fā)生反應(yīng)的概率(以截面表述),以及反應(yīng)后出射粒子的能量和角度分布信息(以雙微分截面表述)等,是中子輸運問題計算的主要輸入?yún)?shù),也是計算不確定度的主要來源.核數(shù)據(jù)主要基于實驗測量數(shù)據(jù)評價得到,其真值是未知的,應(yīng)視為服從正態(tài)分布的隨機量.最新的評價核數(shù)據(jù)庫[17],不僅包含核數(shù)據(jù)的期望值,還包含協(xié)方差.核數(shù)據(jù)的協(xié)方差描述核數(shù)據(jù)的不確定度及數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián),是進行不確定度量化的基礎(chǔ)數(shù)據(jù).核數(shù)據(jù)σi的期望值與協(xié)方差cov(σi,σj)構(gòu)建了核數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率分布,可視為多維正態(tài)分布.

2.2 輸運計算與核數(shù)據(jù)處理

本文對比考察靈敏度分析法與隨機抽樣法的keff不確定度量化,分別利用SURE程序的靈敏度分析模塊Sensitivity和抽樣模塊Sample進行計算.靈敏度分析法需分別進行一次輸運計算和伴隨輸運計算,得到通量和伴隨通量;抽樣法需進行多次輸運計算,以統(tǒng)計keff計算結(jié)果.兩方法中均采用一維多群SN輸運程序ANISN[18]進行輸運計算.

輸運計算所需的多群輸運核數(shù)據(jù),靈敏度分析所需的多群核反應(yīng)截面與分反應(yīng)道群轉(zhuǎn)移矩陣,以及不確定度量化所需的多群協(xié)方差數(shù)據(jù),均采用NJOY[19]的172群結(jié)構(gòu),基于ENDF/B-VII.1評價庫[17]的中子核數(shù)據(jù)制作而成.圖1為235U的核數(shù)據(jù)的部分協(xié)方差,圖1(a)為非彈散射截面172群協(xié)方差;圖1(b)為輻射俘獲截面協(xié)方差;圖1(c)為彈散截面與非彈散射截面間的協(xié)方差;圖1(d)為裂變截面與俘獲截面間的協(xié)方差.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)235U核數(shù)據(jù)的172群核數(shù)據(jù)協(xié)方差 (a)非彈散射;(b)輻射俘獲;(c)非彈散射-彈散;(d)裂變-輻射俘獲Fig.1.(color online)172group covariance data for235U nuclear data:(a)Inelastic scattering;(b)radiative capture;(c)inelastic scattering-elastic scattering;(d) fi ssion-radiative capture.

3keff的不確定度量化方法

分別簡述傳統(tǒng)的基于微擾理論靈敏度分析的keff模擬計算不確定度量化方法和近來得到廣泛應(yīng)用的基于隨機抽樣的不確定度量化方法.

3.1 靈敏度分析法

靈敏度分析法不確定度量化通過一次輸運計算和一次伴隨輸運計算得到中子角通量和伴隨角通量,再基于微擾理論得到keff計算對全套核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù);由靈敏度系數(shù)結(jié)合協(xié)方差,計算核數(shù)據(jù)不確定度導致keff計算的不確定度.

模擬計算中,靈敏度指輸入?yún)?shù)變化導致的輸出量(計算結(jié)果)的變化量,(相對)靈敏度系數(shù)(sensitivity coefficient)SR,α定義為輸出量的相對變化量與導致其變化的輸入量相對變化量之比:

其中,R為模擬計算的輸出量(響應(yīng)量、積分量),α為計算的輸入?yún)?shù)(如核數(shù)據(jù)、核素豐度等).

記λ=1/keff,根據(jù)一階微擾理論,keff計算對核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù)表示為

其中,?為?(r,E,?)的簡寫,由keff本征值輸運方程

計算得到;??為??(r,E,?)的簡寫,由keff本征值伴隨輸運方程

計算得到;B和F分別為輸運算符和裂變算符,分別表示為

可見,求得角通量和伴隨角通量,即可由(2)式得到keff對核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù).一般利用確定論多群SN離散坐標輸運方法,進行一次輸運計算和一次伴隨輸運計算,求解通量和伴隨通量.近來發(fā)展了基于連續(xù)能量MC計算的伴隨通量統(tǒng)計方法[20],進行keff對連續(xù)能量核數(shù)據(jù)的靈敏度分析.本文采用多群SN方法進行輸運和伴隨輸運計算.

假定keff計算值與核數(shù)據(jù)間是線性關(guān)系,利用靈敏度系數(shù)結(jié)合協(xié)方差數(shù)據(jù),由不確定度傳遞公式

即可量化keff計算的不確定度,其中,σi為第i個核數(shù)據(jù),Sk,σi為keff對核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù),Cσi,σj為核數(shù)據(jù)間的協(xié)方差矩陣.

3.2 隨機抽樣法

一般可將多群SN輸運計算中使用的N個核數(shù)據(jù)的隨機分布視為N維正態(tài)分布,利用核數(shù)據(jù)的期望值σi(i=1,N)及其協(xié)方差C(σi,σj)可建立核數(shù)據(jù)的N維正態(tài)分布空間.

若考慮其中的n(n≤N)個核數(shù)據(jù),核數(shù)據(jù)及其期望值組成的列矩陣分別記為

協(xié)方差矩陣記為C,則n個核數(shù)據(jù)的概率密度分布為

為在n維正態(tài)分布空間內(nèi)進行隨機抽樣,首先對協(xié)方差矩陣C進行奇異值分解,得到T矩陣,使得

再從標準正態(tài)分布中抽樣n個隨機數(shù),記為Z,則的核數(shù)據(jù)抽樣為

在核數(shù)據(jù)的隨機分布空間進行抽樣,每次抽樣得到一套核數(shù)據(jù),將抽樣核數(shù)據(jù)輸入計算程序,得到一個keff計算值.進行M次抽樣,計算得到M個keff值.通過對keff計算結(jié)果進行統(tǒng)計分析,得到keff計算的期望值和方差:

與靈敏度分析法不同,抽樣法不需要假定keff與核數(shù)據(jù)間成線性關(guān)系.由于抽樣法不需線性假定,且可將計算程序視為“黑箱”使用,因而抽樣法不但計算精確,而且具有更廣泛的適用性.

抽樣法中,在量化某一反應(yīng)道數(shù)據(jù)導致的不確定度時,在該反應(yīng)道數(shù)據(jù)隨機分布內(nèi)抽樣,統(tǒng)計計算結(jié)果的標準差;在量化兩反應(yīng)道關(guān)聯(lián)導致的不確定度Uc時,首先在兩反應(yīng)道核數(shù)據(jù)的聯(lián)合隨機分布內(nèi)進行抽樣,得到keff不確定度量化值U0,再分別獨立量化兩反應(yīng)道數(shù)據(jù)導致的不確定度U1和U2,利用下式

得到反應(yīng)道關(guān)聯(lián)導致的不確定度.

4基準實驗?zāi)Ｐ?/h2>

由于抽樣法不確定度量化,需進行大量的模擬計算,計算時間消耗大.為節(jié)約時間,選取了簡單的基準實驗?zāi)Ｐ虶odiva和Jezebel[21]進行計算.Godiva和Jezebel都是美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室開展的臨界積分實驗.Godiva為球形高濃鈾(235U)裸臨界基準裝置,半徑為8.7407cm,keff的基準實驗值為1.0±0.001;Jezebel-239Pu為球形239Pu裸基準裝置,半徑為6.38493cm,keff的基準實驗值為1.0±0.002.兩裝置的核素成分見表1.

表1 Godiva和Jezebel的核子數(shù)密度Table 1.Atom densities for the Godiva and Jezebel Benchmark.

5計算分析

利用SURE程序的靈敏度分析模塊和抽樣模塊,分別對基準模型Godiva和Jezebel,計算了各核素的彈散(n,n)、非彈(n,n′),n 2n(n,2n)、裂變(n,f)和輻射俘獲截面(n,gamma),以及平均裂變中子數(shù)(nubar)導致的keff計算不確定度.

5.1 Godiva基準實驗?zāi)Ｐ?/p>

通常的輸運計算,直接采用核數(shù)據(jù)的期望值.采用制作的172群核數(shù)據(jù)(期望值),計算的Godiva基準實驗的keff為1.0006;采用隨機抽樣法,抽樣10000組核數(shù)據(jù)(這里主要是為了考察keff計算的分布規(guī)律進行了10000次抽樣,實際的抽樣法量化中,并不必要進行這么多次抽樣計算),計算得到keff期望值(平均值)為1.0010,兩者相差僅為4×10?4,符合很好.采用靈敏度法量化的全部核數(shù)據(jù)導致的keff計算不確定度為1.206%,采用抽樣量化為1.212%,兩者相差6×10?5,符合得很好.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)Godiva基準模型抽樣法不確定度量化I(PDF為概率密度函數(shù)) (a)彈散截面導致的keff計算值分布;(b)非彈截面導致的keff計算值分布;(c)彈散與非彈截面導致的keff計算值分布;(d)三者對比Fig.2.(color online)Uncertainty quanti fi cation using sampling method for Godiva Benchmark I(PDF is probability density function):(a)keffdistribution due to elastic cross sections;(b)keffdistribution due to inelastic cross sections;(c)keffdistribution due to elastic and inelastic cross sections;(d)comparison of the three cases.

進一步采用抽樣法分別量化各核素各反應(yīng)道截面數(shù)據(jù)導致的Godiva基準實驗的keff計算不確定度,每次計算抽樣10000次.如圖2所示,圖2(a)—(c)為keff抽樣計算值分布直方圖與keff抽樣計算的平均值與標準差u為參數(shù)的正態(tài)分布曲線.圖2(a)和圖2(b)分別給出了235U的彈性散射截面與非彈性散射截面的隨機分布導致的keff計算值分布;圖2(c)給出了235U的彈性散射截面與非彈性散射截面的聯(lián)合隨機分布導致的keff計算值分布.可見,三種情況下,keff計算值的隨機分布均很好地符合正態(tài)分布.由于截面由正態(tài)分布抽樣得到,keff分布符合正態(tài)分布表明在三種情況下截面的抽樣擾動值與keff計算擾動值基本符合線性關(guān)系.圖2(d)給出了三種情況下keff分布擬合正態(tài)分布曲線.可見,彈散截面導致的keff計算不確定度最小,非彈導致的不確定度最大,彈散與非彈共同導致的不確定度介于兩者之間.這是由于彈散與非彈截面間是負相關(guān)(如圖1(c)),而彈散與非彈截面主要有正的靈敏度系數(shù),因而其對不確定度的貢獻為負值.

圖3對比了235U的裂變截面、輻射俘獲截面以及裂變-輻射俘獲截面聯(lián)合分布下的keff抽樣計算結(jié)果.圖3(a)—(c)分別為裂變、輻射俘獲和裂變-輻射俘獲截面隨機分布下keff抽樣計算值分布直方圖與keff抽樣計算的平均值與標準差u為參數(shù)的正態(tài)分布曲線,圖3(d)給出了三種情況下keff分布擬合正態(tài)分布曲線.可見,裂變與俘獲截面共同導致的keff計算不確定度最大,其次為俘獲截面.裂變截面與俘獲截面基本上是負相關(guān)(如圖1(d)),但裂變截面有正的靈敏度,俘獲截面為負的靈敏度,兩者的關(guān)聯(lián)對不確定度的貢獻為正.俘獲截面的抽樣擾動值仍與keff計算擾動值也基本符合線性關(guān)系.

利用MATLAB軟件的normplot命令分別繪制了彈散截面和俘獲截面抽樣的keff計算值的正態(tài)概率分布圖,分布點越接近直線越符合正態(tài)分布.如圖4所示,兩種情況下keff分布均基本符合正態(tài)分布,只是不確定度較大的俘獲截面抽樣的keff分布略偏離正態(tài)分布一些.

采用靈敏度分析法,先計算keff對各核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù),再結(jié)合協(xié)方差數(shù)據(jù),利用不確定度傳遞(7)式,計算了各核素各反應(yīng)道截面不確定度導致的keff的不確定度.抽樣法與靈敏度法量化的keff不確定度的對比見表2.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)Godiva基準模型抽樣法不確定度量化II (a)裂變截面導致的keff計算值分布;(b)俘獲截面導致的keff計算值分布;(c)裂變與俘獲截面導致的keff計算值分布;(d)三者對比Fig.3.(color online)Uncertainty quanti fi cation using sampling method for Godiva Benchmark II(PDF is Probability Density Function):(a)keffdistribution due to fi ssion cross sections;(b)keffdistribution due to capture cross sections;(c)keffdistribution due to fi ssion and capture cross sections;(d)comparison of the three cases.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)正態(tài)概率分布 (a)彈散截面抽樣的keff分布;(b)俘獲截面抽樣的keff分布Fig.4.(color online)Normal probability distribution:(a)keffdistribution due to elastic cross sections;(b)keffdistribution due to capture cross sections.

表2 各核素各反應(yīng)道核數(shù)據(jù)導致的Godiva模型keff計算不確定度Table 2.Uncertainties of kefffrom every nuclides and every reaction types for Godiva.

可見,對各核素各反應(yīng)道,采用靈敏度分析法和抽樣法得到的keff計算不確定度量化結(jié)果,均有很好的符合,最大偏差＜6%.SURE程序靈敏度分析法不確定度量化結(jié)果已通過與成熟程序(TSUNAMI,SUSD等[5])結(jié)果比較得到充分的驗證.抽樣法不確定度量化結(jié)果與靈敏度法結(jié)果符合很好,一方面表明SURE抽樣法不確定度量化結(jié)果的可靠性,另一方面也進一步印證了靈敏度法量化的可靠性.

鑒于靈敏度法中采用的不確定度傳遞公式是基于輸入數(shù)據(jù)與計算結(jié)果間是線性關(guān)系的假定,靈敏度法與抽樣法的結(jié)果符合很好也顯示對Godiva模型的計算,在核數(shù)據(jù)協(xié)方差的擾動范圍內(nèi),keff計算值與核數(shù)據(jù)成線性關(guān)系.

5.2 Jezebel基準實驗?zāi)Ｐ?/p>

采用核數(shù)據(jù)期望值,計算的Jezebel基準實驗的keff為0.99996,采用隨機抽樣法計算得到keff期望值為1.0001,兩者相差僅為1.4×10?4,符合得很好.進一步,采用靈敏度分析法和抽樣法分別量化各核素各反應(yīng)道截面數(shù)據(jù)導致的Jezebel基準實驗的keff計算不確定度,結(jié)果見表3.

可見,與Godiva模型計算相似,對各核素各反應(yīng)道,采用靈敏度分析法和抽樣法得到的keff計算不確定度量化結(jié)果均有很好的符合,最大偏差僅為2.3%.

表3 各核素各反應(yīng)道核數(shù)據(jù)導致的Jezebel模型keff計算不確定度Table 3.Uncertainties of kefffrom every nuclides and every reaction types for Jezebel.

6結(jié) 論

分別采用SURE程序的靈敏度分析方法和隨機抽樣方法,對兩個典型臨界基準實驗Godiva和Jezebel,計算了各核素各反應(yīng)道核數(shù)據(jù)不確定度導致的keff計算的不確定度.對比顯示,兩方法得到的不確定度量化結(jié)果符合很好.在多維正態(tài)分布空間內(nèi),對核數(shù)據(jù)進行抽樣,代入輸運程序得到keff計算值.統(tǒng)計分析表明,keff計算值很好地符合了正態(tài)分布,驗證了在一般核數(shù)據(jù)的不確定度范圍內(nèi)keff與核數(shù)據(jù)近似成線性關(guān)系.這表明在一般的核數(shù)據(jù)不確定度范圍內(nèi),基于線性模型的靈敏度法不確定度量化方法是可靠的.但對不確定度很大的核數(shù)據(jù),靈敏度法不確定度量化的可靠性需進一步考察.對各核素各反應(yīng)道截面,抽樣法不確定度量化結(jié)果與靈敏度法結(jié)果均有很好的符合,驗證了SURE程序抽樣法模塊的可靠性,在進一步檢驗后將應(yīng)用于復雜非線性問題模擬計算的不確定度量化.為減少計算時間,將在抽樣法的基礎(chǔ)上發(fā)展多項式混沌展開方法用于復雜的多物理問題的靈敏度分析與不確定度量化.

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PACS:28.20.—v,28.20.Gd,28.41.AkDOI:10.7498/aps.66.012801

*Project supported by the Key Laboratory of Neutron Physics of China Academy of Engineering Physics(Grant No.2013AA02),Sub-item of Special Project of the National Energy Bureau,China(Grant No.2015ZX06002008),National Magnetic Con fi nement Fusion Energy Research Project,China(Grant No.2015GB108002).

?Corresponding author.E-mail:hu_zehua@iapcm.ac.cn

Uncertainty quanti fi cation in the calculation of keffusing sensitity and stochastic sampling method?

Hu Ze-Hua1)2)?Ye Tao1)2)Liu Xiong-Guo1)2)Wang Jia1)2)

1)(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing 100094,China)2)(Software Center for High Performance Numerical Simulation,China Academy of Engineering Physics,Beijing 100088,China)(Received 7 July 2016;revised manuscript received 30 September 2016)

The sensitivity and uncertainty analysis(S/U)method based on the fi rst order perturbation theory is commonly employed to calculate the uncertainties in-nuclear reactor’s integral parameters,such as the neutron e ff ective multiplication factor(keff),due to uncertainties in nuclear data.However,this method is only theoretically suitable for the linear model because of its fi rst order approximation.Moreover,S/U method is difficult to incorporate into a neutronics code,because the adjoint angular fl ux is needed to obtain the sensitivity coefficient of an integral parameter to nuclear data.Meanwhile,the sampling approach based on parametric random sampling of input parameters,an easy implemented method,evaluates the uncertainties in the integral parameters by performing a set of neutronics simulations inputted with a set of stochastic nuclear data sampled from a multinomial normal distribution with nuclear cross section mean values and covariance data.The sampling approach is considered as a more exact method,as linear approximation is not needed.With the increase of computational power,the sampling methods with consuming more time are now possible.The sampling approach is incorporated into SURE,a sensitivity and uncertainty analysis code developed in IAPCM,as a functional module.A careful veri fi cation of the new function is necessary before it is used to analyze complicated problems,such as multi-physical coupling calculations of nuclear reactor.Two simple fast criticality benchmark experiments,namely Godiva(HEU-MET-FAST-001)and Jezebel(PU-MET-FAST-001),are selected to verify the sampling module of SURE.The uncertainties in nuclear data are given by multigroup covariance matrices processed from ENDF/B-VII.1data.The uncertainties in the computed value of keffresulting from uncertainties in the nuclear data are calculated with both S/U and sampling methods.The uncertainties due to reaction cross sections for each nuclide in two benchmarks given by two methods with the multigroup covariance matrices are in good agreement.Since the S/U module of SURE code is veri fi ed extensively,the correctness of the sampling function of the code is con fi rmed as well.The distribution of the kefffrom the sampling approach obeys the normal distribution pretty well,which indicates that keffvaries linearly with the nuclear data under its uncertainty range,since the nuclear data used in calculations are assumed to be normal distribution in the sampling method.The results from the sampling method also support the S/U method with linear approximation as a suitable uncertainty quanti fi cation method for keffcalculation.

uncertainty quanti fi cation,stochastic sampling method,sensitivity,nuclear data

10.7498/aps.66.012801

?中國物理研究院中子物理學重點實驗室基金(批準號:2013AA02)、能源局06重大專項(批準號:2015ZX06002008)和國家磁約束

核聚變能研究專項(批準號:2015GB108002)資助的課題.

?通信作者.E-mail:hu_zehua@iapcm.ac.cn