要答案自己做

文︳陳萬龍

要答案自己做

文︳陳萬龍

課堂不僅是時時發(fā)生錯誤或出現(xiàn)意想不到的事情的地方，更是師生互相學習、共同發(fā)展的天地。意外情況的發(fā)生，為師生展示自我提供了契機。然而，部分教師由于備課時過分依賴參考資料，造成了教學上的偏頗或失誤，導致教學專業(yè)水平下降。其實，數(shù)學教師也要“下水作文”：解答問題、探索問題，做到“拳不離手、曲不離口”，才能保持進取精神。教師做題即研究，只有先做題，才可以避免習題的機械重復，使練習做到少而精。教師通過做題，發(fā)現(xiàn)題目本身及其答案的疏漏，并促進學生更加深刻地理解知識、掌握技能，領悟數(shù)學思想方法。要答案，自己認真做——這是特級教師沈唯剛老師30多年教書生涯的經(jīng)驗總結(jié)。對此筆者深有體會，并與大家分享親身經(jīng)歷的幾個小插曲。

一、“老師，這樣的做法有問題”

案例1過x軸上一點P向圓C：x2+（y-2）2=1作兩切線，切點分別為A，B，則△ABC面積的最小值是（）。

這是高三復習課上的一道題。當時有一位學生給出了與參考答案幾乎一樣的解答過程。

設AB與PC的交點為E，則S△PAB=B·PE=又因為點P在x軸上，所以PC取最小值時，就是C點到x軸距離的最小值，即PC=CO＝2時，△PAB的面積最小，最小值為。

學生大都認為解答過程沒有問題。正當我為此同學的解答感到高興時，一位同學站起來說道：“老師，這樣的做法有問題?！蔽倚睦镆惑@：“有問題！”好在自己還算有點經(jīng)驗：“請把你的想法跟大家說一說。”這位同學不慌不忙地說：“只有當AE= PE時，面積才能取到最小值。但在這里AE=PE是不可能的，并且這樣也只能是求出最大值，而事實上，當PC=CO時只能求得最小值。因此，可以肯定這樣的做法是有問題的?！闭媸且徽Z點醒夢中人：“既然取不到，那么怎樣求解此題呢？同學們可互相交流、探討。”幾分鐘后，有同學上臺展示了。隨后，我和學生對上述成果進行了認真的分析和細致的研究，一致認為是正確無誤的：均是通過設角變量，化為此角變量的函數(shù)關系求解，這是處理這類問題的一般方法。

教學反思：教師只有事先認真做題了，才知道已有答案解法的錯誤。若不是把“球”拋給學生，這個問題的處理必定會失敗，甚至有可能使課堂出現(xiàn)冷場局面。教師只有通過事先做題，才能避免這類事情的發(fā)生，使自己在課堂上處變不驚。即使是學生在課堂上的展示非常正確，教師也可以有意示錯，激起學生探究的熱情，更好地促進學生認知的發(fā)展。

二、“老師，這道題本身就有問題”

案例2已知橢圓M的兩個焦點分別為F（1-1，0），F(xiàn)（21，0），P是橢圓上的一點，|PF1·||PF2|=，且滿足∠F1PF2=，則橢圓M的方程是_______。

一位同學上臺展示了他的解法：設|PF1|=m，|PF2|= n。由已知得mn=，又由∠F1PF2=，得m2+n2-2mncos=4。從而有（m+n）2=m2+n2+2mn=20，即（2a）2=20，得a2=5。所以b2=a2-c2=4，故橢圓M的方程為=1。

當大部分學生認為此種解法干凈利落時，一位數(shù)學成績中等的學生怯生生地說：“老師，這道題本身就有問題?！苯淌依镱D時雅雀無聲。該生上臺展示了他的解題過程：

設點P（x，y），則有：

我和同學們仔細檢查了這兩種解法，可以肯定兩種解法的思路都正確，解題的恒等變形與推理過程完全正確。這是為什么？我堅信這是編題者忽視了一個重要性質(zhì)，所能取得的最大值問題。于是我改變教學計劃，讓學生充分討論、交流，最后達成共識，得到結(jié)論：若橢圓=1（a＞b＞0）上的點P對橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的張角θ（0＜θ＜π)余弦值的最小值為-1。此時角θ取得最大值。

教學反思：兩位同學的解法跟我的預設沒有差別，竟然得出了相互矛盾的結(jié)論，這是我始料未及的。我趁機將問題的研究權(quán)交給了學生。學生通過充分思考，挖掘思維潛力，有效地促進思維的深度參與。這樣看來，教師只有通過先做題，才能了解問題的難易程度，然后抓住錯題，變廢為寶，讓解題指導更具針對性。

三、“老師，我的解法比你的更簡單”

這是一次月考中的一道題。從考試的結(jié)果看，幾乎所有的學生都是按通性、通法求解的，但不是因計算復雜出錯，就是因運算量大半途而廢，無功而返。為了鼓勵學生的信心，我和學生一道進行了詳細的解答。

解：由題意知A（-2，0），直線l：y=k（x+2）。

運算確實極其復雜，我要求學生對此解答認真反思，看看有沒有值得借鑒的。此時，一位同學說：“老師，我的解法比你的簡單多了。”我非常高興，讓他將自己的解法和其余同學一起分享。

解：設B（2x0，2y0），則=1，且線段AB的中點N（x0-1，y0）。

故當x0=-時，取得最大值，為。

學生們對此解法感到非常驚訝也很佩服，我的心情也久久不能平靜。此同學利用線段AB的中點坐標將斜率表示出來，而這恰恰抓住了此題的本質(zhì)特征，真是思之越深，解之越簡。

教學反思：學生對本題的簡明解法，確實讓人賞心悅目，拍案叫絕。學生學習數(shù)學的發(fā)散思維，在這里也得到了難能可貴的展示。反復回味上述簡單解法，他那快捷明朗、機智靈活的思維，恐怕是我們教師都難以做到的。這無疑告訴我們，教師要放下架子，真正做到教學上以學生為主體，以教師為主導，讓學生在自主探索、交流合作的過程中獲得對數(shù)學較為全面的體驗，體驗做數(shù)學的樂趣。教師送給學生一個信任，學生會還你一個奇跡。

四、“老師，此題就只有這樣一種解法？”

案例4求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx·cosx的最大值。

在高三的一次復習課上，我再次選用了這樣一個問題。其實，在學習必修課本時就出現(xiàn)過類似的問題，不過，還是有同學不知怎樣處理。我給出了如下的解法：

當很多同學都為自己想不到問題的解答而顯得有點沮喪時，一個同學站起來說：“老師，此題就只有這樣一種解法嗎？但這與您平時常說應將此類問題轉(zhuǎn)化為只含有一個角的某個三角函數(shù)的關系式不相符?！边@位同學提出了一個很值得思考的問題?！安徊m大家說，我確實沒有這樣想過。今天就借此機會，我們一起來研究研究。”經(jīng)老師這樣一說，同學們熱情高漲，躍躍欲試。不一會，同學A進行了如下解答：y=sin（x+）+sin2x，當x=時，sin（x+）與sin2x均能取得最大值1，故有y的最大值為

這樣解答真是令人眼前一亮，解答過程不僅簡潔、新穎，還突破了慣用的換元法?！氨绢}真的就不能轉(zhuǎn)化為一個角的某個三角函數(shù)。”這時同學B上臺板演了他的解答：

很明顯，這也是一個非常不錯的解答。同學A的解法雖然簡單，但若求其最小值就無能為力了。而同學B的解法很好地解決了這一問題，可以說同學B的解法更具一般性。

教學反思：在教師都沒有想到的情況下，學生通過自身的努力得到了本題的不同解法，可謂是層層遞進，突破難點，課堂達到高潮。教學中對問題的解答，教師必須讓學生真正參與，及時根據(jù)學生的信息反饋對解題過程作出調(diào)控。特別是當學生的思路與教師的設想有差距，但對深入地理解問題又具有一定價值時，教師要因勢利導，教會學生尋求思路的方法，引導學生分析方法的優(yōu)劣。只有這樣，才能使不同層次學生的解題能力得以提高。

結(jié)束語：我們知道教師做題并不比學生高明，有時學生能發(fā)現(xiàn)你還未發(fā)現(xiàn)的錯誤與疏漏，學生的解答可能比你的更簡潔。教師認真地做題是講題的必要條件。只有認真研究問題，研究解法、變式，研究學生解決問題時可能出現(xiàn)的難點或疑點，才能在課堂上很好地開發(fā)利用動態(tài)生成資源，才能在講解時充分暴露你解題的思維過程，從而使學生在潛移默化中學會分析問題、解決問題的思維方法，真正做到從學會到會學，從會學到會創(chuàng)。

（作者單位：華容縣第二中學）