論信息技術(shù)在優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境中的獨(dú)特作用與機(jī)制（下）

文︳黃秦安

論信息技術(shù)在優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境中的獨(dú)特作用與機(jī)制（下）

文︳黃秦安

三、信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué)的情境設(shè)計

關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的情境，有學(xué)者提出把數(shù)學(xué)知識作為一種媒介或交流的方式，強(qiáng)調(diào)了教與學(xué)的互動。這種研究視角特別關(guān)注到了數(shù)學(xué)教育理論與數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐之間的復(fù)雜關(guān)系，并從教學(xué)情境理論中發(fā)展出一種互動理論，對數(shù)學(xué)交流的認(rèn)識論進(jìn)行了分析。[2]在信息技術(shù)領(lǐng)域，對信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合研究是最富有成果的。有學(xué)者從信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的視角對探究教學(xué)模式進(jìn)行了研究。[3]XitaoFeng在“信息技術(shù)與初等數(shù)學(xué)教學(xué)的整合研究”一文中，對信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合進(jìn)行了綜述。[4]比紹普等著名學(xué)者編著的《數(shù)學(xué)教育國際手冊》第2卷第2章“數(shù)學(xué)教育對技術(shù)發(fā)展的回應(yīng)”中，對技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的多維度觀點(diǎn)、技術(shù)對數(shù)學(xué)課程的影響等進(jìn)行了深入的探討。[5]但從整體來看，把技術(shù)看做是一種獨(dú)特情境的研究則相對較少。這也是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合過程中遭遇的一個瓶頸。我們提出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)情境深度融合的視角，其目的就是想在這一研究方向上予以突破。

信息化的數(shù)學(xué)教學(xué)情境對數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)外部環(huán)境、對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展都具有極其重要的意義。通過對數(shù)學(xué)情境的相關(guān)因素深入分析，特別是注意到當(dāng)代信息技術(shù)對教學(xué)范式產(chǎn)生的持續(xù)且重要的影響，我們可以探索數(shù)學(xué)教學(xué)情境與信息技術(shù)境相互融合的建構(gòu)。

1.信息化虛擬教學(xué)空間的創(chuàng)制。教育信息技術(shù)的不斷更新與進(jìn)步為更加有效地創(chuàng)制數(shù)學(xué)教學(xué)情境開辟了廣闊的多媒體虛擬化教學(xué)空間。例如，在幾何教學(xué)中，關(guān)于兩個三角形的全等概念以及判定定理的比較好的教學(xué)情境設(shè)計可以通過幾何畫板等軟件予以動態(tài)演示，使幾何問題情境以更

再如，在指數(shù)函數(shù)y=ax的教學(xué)中，底數(shù)的變化以及相應(yīng)的圖像是教學(xué)的一個難點(diǎn)，可利用幾何畫板畫出y=3x，y=2x，y=（）x，y=（）x的圖像（如圖1）。這樣一來，底數(shù)a的取值與其函數(shù)圖像的變化趨勢就十分清晰地展現(xiàn)出來了。教師還可以把教學(xué)過程設(shè)計成動態(tài)展示，學(xué)生就可以更明顯地看出隨著a的變化，函數(shù)圖像跟著聯(lián)動的趨勢。如此，指數(shù)函數(shù)的教學(xué)效果就會得到很大的提高。加形象和生動的方式呈現(xiàn)。通過動畫探索，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)哪些要素能夠確定，哪些不能完全確定。比如，只有兩個角及其夾邊、兩條邊及其夾角的破損三角形是否可以完全配制出大小形狀一樣的三角形？亦即確定三角形的基本要素是什么？反例是只有三個角是不能確定三角形的。這就為三角形全等的判定設(shè)置了較佳的情境。

圖1

2.提高探究性問題的直觀感。有些探究性問題，借助幾何畫板，可以提升學(xué)生的幾何感知力和想象力。如這樣一個問題：現(xiàn)有圓O，求在沿直線AB滾動的過程中，圓上任意一定點(diǎn)D的軌跡。

如圖2所示，先采用幾何畫板清晰地展現(xiàn)點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡，讓學(xué)生對運(yùn)動軌跡有一個生動的直觀印象。進(jìn)而采用建立平面直角坐標(biāo)系的方法，可以根據(jù)題設(shè)條件求出D點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)方程。

圖2

3.充分利用現(xiàn)代技術(shù)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題解決的方法和途徑。

比普通計算器功能更強(qiáng)大的是圖形計算器。圖形計算器可以提供一種問題探究的微型信息場。運(yùn)用圖形計算器的各種功能，教師可以營造出適宜于開展問題解決的具有個性化和虛擬化的探究氛圍。例如，采用牛頓迭代法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精確度為10-6）。牛頓迭代法的實(shí)質(zhì)是以切線代替曲線求近似解，即切線逼近的方法。在這個過程中，設(shè)曲線方程為y=x3+2x2+10x-20，取方程根的初始近似值x0，過點(diǎn)（x0，f（x0））作方程的切線l，則切線l的方程為y=f′（x0）（x-x0）+（fx0），切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=x0-稱為曲線方程根的一次近似值，以x1代替x0作為方程根的近似值，重復(fù)上述過程直到相鄰兩個近似值的差小于0.00001為止。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過逐步探究掌握牛頓迭代思想，得出方程的近似解。

圖3

圖4

在圖形計算器中輸入y=x3+2x2+10x-20，所畫出的圖形如圖3。從圖3中可以看出，方程的解在1，2之間，取值2作為方程根的一個近似解。過點(diǎn)（2，16）作曲線的切線，與x軸交于一點(diǎn)，求出其橫坐標(biāo)為。以作為新的近似值，繼續(xù)作曲線的切線。如圖4所示，可見切線與x軸的交點(diǎn)逐漸趨于曲線的根。

然后，通過前兩步的探究，再通過逐次迭代，可以得到曲線更為精確的近似解，為1.368808（見圖5）。這樣教學(xué)，學(xué)生可以充分感受牛頓迭代過程中切線逼近的思想，發(fā)展想象力。

圖5

四、信息技術(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境的機(jī)制

當(dāng)代教育技術(shù)范式的構(gòu)建是基于其與傳統(tǒng)教學(xué)的深度融合。信息技術(shù)氛圍對于充分展示、激發(fā)并調(diào)動個體的認(rèn)知活力和思維創(chuàng)造力有獨(dú)特的作用。教與學(xué)兩個維度的主體性以及主體間性在信息技術(shù)環(huán)境中可以實(shí)現(xiàn)廣泛的交互作用。高度信息化的認(rèn)知與思維情境可以最大程度地調(diào)動主體的信息意象性和信息浸入度。構(gòu)建良好的信息化的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，對于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)具有很好的導(dǎo)向性。

數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的新紐帶必然要求數(shù)學(xué)教學(xué)從內(nèi)容到形式的改變。從數(shù)學(xué)課程的設(shè)置看，離散數(shù)學(xué)課程的重要性日益凸顯，并要求數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容與之相適應(yīng)。例如，數(shù)學(xué)計算的概念在計算機(jī)時代，其含義不斷地被更新，彰顯著計算在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要性，量子計算、云計算等概念都是傳統(tǒng)的計算概念難以容納和涵蓋的。信息技術(shù)建立了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的新關(guān)聯(lián)應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中得以體現(xiàn)。數(shù)學(xué)的虛擬與仿真結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境而言，是一場深刻的變革。

在數(shù)學(xué)教學(xué)信息技術(shù)情境的構(gòu)建中，師生的共識、交流和合作是十分重要的。建構(gòu)主義的倡導(dǎo)者維果斯基雖然強(qiáng)調(diào)了學(xué)生自己活動的重要性，但他接著解釋說，這并不意味著教師角色的消失。[6]數(shù)學(xué)教學(xué)的基本過程就是一個客觀的、社會化的數(shù)學(xué)知識與個體知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理結(jié)構(gòu)的交互轉(zhuǎn)換。而在這一過程中，信息技術(shù)（包括計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、無線通訊、數(shù)據(jù)處理等）對于主體之間的有效聯(lián)系和溝通所具有的價值已日益明顯。由于信息技術(shù)的使用，主體間性的空間被放大了，主體間性的交流平臺更加寬闊了，傳統(tǒng)的教學(xué)話語模式得以改變。例如，在傳統(tǒng)范式下，教師對信息和語言符碼的控制近乎一種知識話語的絕對權(quán)威形式，而在信息化的時代，學(xué)生獲取信息的速度和方式甚至經(jīng)常會超越老師，這種反向偏態(tài)化使得教師的話語權(quán)威受到了挑戰(zhàn)。但這并不意味著師生共同體結(jié)構(gòu)的完全顛覆，而是預(yù)示著教師對自身角色的新的預(yù)期和造就。由于信息化的共享性，數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)方式會沿著主體雙向互動的方向前行。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息化會帶來資源共享和信息交換的新途徑。信息化可以促進(jìn)個性化的學(xué)習(xí)。在信息技術(shù)快速發(fā)展的條件下，信息和學(xué)習(xí)資源日益豐富。以不同信息形式表征的知識，給學(xué)習(xí)者提供了多樣的選擇。學(xué)習(xí)者可以選擇最適合自己學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知習(xí)慣的知識信息形式，以達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果。

以個體心理認(rèn)知的發(fā)展為例。為了發(fā)展個體的心理認(rèn)知，必須保持心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)的開放性、動態(tài)性和兼容性。其中概念的認(rèn)知圖式（更廣義看是心理圖式）需要不斷地進(jìn)行相關(guān)信息的重組、轉(zhuǎn)換、接合、擴(kuò)展、壓縮和系統(tǒng)化。當(dāng)知識圖式擴(kuò)展后，最初知識的某些信息界限就被突破了，而有些則保持下來，還有一些新的信息值被添加進(jìn)來。由于信息域的開放度是隨著知識的拓展而不斷增加的，因此，心理容量和認(rèn)知度應(yīng)該與信息的負(fù)荷保持一種平衡。否則，當(dāng)信息量過載時，個體認(rèn)知沒有得到很好的調(diào)整，障礙和沖突就較多，容易發(fā)生遷移與轉(zhuǎn)換的困難。例如，小數(shù)不能減大數(shù)（小學(xué)知識的信息限閥）、負(fù)數(shù)不能開平方（初中知識的信息限閥）、狄利克雷函數(shù)不可積（黎曼積分的信息限閥）等固有知識觀念形成的認(rèn)知定勢，都需要隨著知識域的演變和推進(jìn)，通過新信息的輸入和組織以獲得相應(yīng)的轉(zhuǎn)換。

從語言心理學(xué)的角度看，上述問題的本質(zhì)就是信息的展現(xiàn)形式對于學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)語言的發(fā)展的機(jī)制。這里，如何幫助學(xué)生適時地、連續(xù)地完成以信息形式呈現(xiàn)的邏輯、語言、技術(shù)與心理意象的不斷形成和轉(zhuǎn)換，就成為數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的重要課題。信息技術(shù)的適當(dāng)使用可以促進(jìn)個體數(shù)學(xué)心理意向的發(fā)育。良好的信息技術(shù)境可以為學(xué)習(xí)者提供一個階梯型和網(wǎng)絡(luò)式的認(rèn)知心理發(fā)展平臺。在這個過程中，信息技術(shù)的合理使用會極大地增加數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境的空間容量和變換方式，使得學(xué)生在一種放大的、更為逼真、更多虛擬想象的數(shù)學(xué)教學(xué)空間中感知數(shù)學(xué)的對象、關(guān)系和結(jié)構(gòu)。

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)和重要組成部分，信息技術(shù)境所營造的數(shù)學(xué)教學(xué)情境場可以成為主體間性信息交流的一種主要存在方式。其中信息的載體和轉(zhuǎn)換能夠在廣深的場域中展現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的立體維度。數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程都可以看做是一種基于情境與信息技術(shù)境的場互動形式。以多元技術(shù)方式為依托，在信息的提取、加工和轉(zhuǎn)換過程中，數(shù)學(xué)教學(xué)的多維目標(biāo)可以更好、更快地得以實(shí)現(xiàn)。

（作者單位：陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）

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