水平采空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)的類非線性振動(dòng)模型

姜立春，曾俊佳，吳愛(ài)祥

?

水平采空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)的類非線性振動(dòng)模型

姜立春1, 2，曾俊佳2，吳愛(ài)祥3

(1. 華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州，510640；2. 華南理工大學(xué)安全科學(xué)與工程研究所，廣東廣州，510640；3. 北京科技大學(xué)土木與環(huán)境學(xué)院，北京，100083)

在線性多自由度振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，考慮到圍巖對(duì)水平采空區(qū)群的水平地應(yīng)力作用及能量耗散影響，引入水平地應(yīng)力因子和類非線性因子，建立適用于水平采空區(qū)群的類非線性多自由度振動(dòng)模型?；趩蝹€(gè)間柱微差爆破及間隔間柱單段爆破2個(gè)算例，對(duì)類非線性多自由度振動(dòng)模型的合理性進(jìn)行驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：水平地應(yīng)力未對(duì)水平采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)造成明顯的影響，可忽略水平地應(yīng)力的作用(=0)；采用標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)載荷()計(jì)算水平采空區(qū)群各巖體的類非線性因子是可行的，對(duì)于同一礦山，只需計(jì)算1次，便可應(yīng)用到類似工況，節(jié)省了的取值時(shí)間；對(duì)比線性模型，類非線性振動(dòng)模型結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果更加吻合，較好地揭示了水平采空區(qū)群各巖體的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

巖體力學(xué)；水平采空區(qū)群；動(dòng)力響應(yīng)；多自由度振動(dòng)模型；水平地應(yīng)力；能量耗損

金屬礦體在地下空?qǐng)龇ㄩ_(kāi)采過(guò)程中形成大量采空區(qū)，同時(shí)也遺留下大量頂(底)板和間柱殘礦資源。在間柱殘礦進(jìn)行爆破作業(yè)時(shí)，較多關(guān)注間柱本身或其相鄰空區(qū)巖體的單體穩(wěn)定性，而忽略了爆破作業(yè)對(duì)空區(qū)群巖體整體穩(wěn)定性的影響。目前，動(dòng)載荷下采空區(qū)群的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律尚處于探索階段，揭示采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)特性規(guī)律，分析采空區(qū)群的穩(wěn)定性并提出控制技術(shù)措施，是礦業(yè)界亟待解決的難題?，F(xiàn)階段，采空區(qū)(硐室)群巖體的動(dòng)力響應(yīng)特性主要通過(guò)數(shù)值模擬的方法獲得。閆長(zhǎng)斌等[1]利用FLAC3D研究了不同爆破荷載特性(速度、頻率)和空區(qū)間距對(duì)豎向采空區(qū)群的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律及其穩(wěn)定性。隋斌等[2]利用FLAC3D軟件對(duì)地震荷載作用下某地下硐室群圍巖的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了模擬。呂濤等[3]基于顯式有限差分方法建立了二維及三維數(shù)值模型，對(duì)溪洛渡地下硐室群的動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)和地震安全性進(jìn)行了分析與討論。魯文妍等[4]結(jié)合ABAQUS隱式和顯式分析，對(duì)硐室群在地震作用下的動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)進(jìn)行了仿真研究。此外，也有學(xué)者借助傳遞函數(shù)[5]、加卸載比[6]、小波包[7]等方法對(duì)采空區(qū)的動(dòng)力響應(yīng)特性進(jìn)行研究，并取得了一定的成果。線性多自由度振動(dòng)模型源于振動(dòng)力學(xué)，其建立直觀、簡(jiǎn)便，可以用于描述連續(xù)體的動(dòng)力響應(yīng)特性[8?9]，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。本文作者將線性多自由度振動(dòng)模型引入到水平采空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)研究中，根據(jù)礦山實(shí)際情況對(duì)線性振動(dòng)模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了適用于水平采空區(qū)群的類非線性振動(dòng)模型。針對(duì)某地下礦山水平采空區(qū)群間柱殘采工程，采用類非線性模型對(duì)各巖體進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，借助數(shù)值模擬并通過(guò)與線性模型對(duì)比，對(duì)類非線性模型的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證，為采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)研究提供一種新方法。

1 類非線性多自由度振動(dòng)模型

1.1 振型截?cái)?/p>

采空區(qū)巖體呈連續(xù)分布，屬于無(wú)限自由度系統(tǒng)，具有無(wú)限多個(gè)自振頻率。每個(gè)自振頻率對(duì)應(yīng)一種特定的振型，不同的振型對(duì)巖體振動(dòng)產(chǎn)生不同的影響。

巖體受動(dòng)載荷作用后，高階頻率一般不參與到動(dòng)力反應(yīng)中，或高階頻率引起的振型幅值相對(duì)于低階頻率在絕對(duì)值意義上是可以忽略的。原因有3個(gè)：1) 動(dòng)荷載的局限性。振幅、頻率和持時(shí)等動(dòng)力特性不能滿足巖體產(chǎn)生連續(xù)高頻率振動(dòng)的條件；2) 內(nèi)部阻尼的作用。巖體發(fā)生振動(dòng)時(shí)其內(nèi)部孔隙的張開(kāi)閉合以及其變形時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)摩擦，使能量以熱能的形式迅速耗散，高頻率振動(dòng)分量快速減弱；3) 外部阻尼的影響。部分能量會(huì)耗散在周邊圍巖中，使高頻率振動(dòng)分量更快地衰減。

因此，動(dòng)載荷作用下巖體發(fā)生高階頻率振動(dòng)狀況可忽略，可采用振型截?cái)嗟姆椒ǎ们皫纂A較低的自振頻率進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的近似分析。

1.2 模型構(gòu)建

將水平采空區(qū)群巖體劃分為圖1所示的分布結(jié)構(gòu)。當(dāng)水平采空區(qū)群巖體發(fā)生水平振動(dòng)時(shí)，受到動(dòng)荷載、重力和周邊圍巖剪切力等外力作用(圖2)。其中，重力對(duì)巖體的水平振動(dòng)未做有用功，可忽略其影響。

由于地應(yīng)力的影響，水平采空區(qū)群受到圍巖的水平擠壓，頂(底)板巖體處于水平受壓狀態(tài)。另外，從能量的角度來(lái)看，因能量的衍射作用，動(dòng)載荷除了給水平采空區(qū)群巖體提供振動(dòng)的能量，還在圍巖中耗散了部分能量。

基于上述考慮，在模型中引入水平地應(yīng)力因子(≥0)和類非線性因子(≥1)。前者表示使模型左右固定邊界相向靠近，各彈性元件處于初始受壓狀態(tài)，各質(zhì)量慣性元件的和應(yīng)力為0；后者則表示增加巖體內(nèi)部阻尼等效內(nèi)外部阻尼的共同作用。

圖1 水平采空區(qū)群結(jié)構(gòu)分布圖

圖2 單元采空區(qū)力學(xué)分析

根據(jù)各巖體在水平方向相互作用方式，建立由(≥3)個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群多自由度振動(dòng)模型(圖3)，其中，頂(底)板及間柱各等效成一個(gè)質(zhì)量慣性元件，各質(zhì)量慣性元件之間用無(wú)質(zhì)量的彈性元件和代表能量損耗的阻尼元件連接，模型兩端邊界采用已壓縮的固定邊界。

根據(jù)牛頓第三定律及達(dá)朗貝爾原理，由個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群動(dòng)力平衡方程為

式中：，，，，，分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、動(dòng)載荷矩陣、剪切力矩陣及類非線性矩陣；+為考慮水平地應(yīng)力的位移矩陣，和分別為加速度列向量、速度列向量。其中，類非線性矩陣中的各元素只與阻尼矩陣的對(duì)應(yīng)元素相乘；位移矩陣+的對(duì)角元素中為0，并與的對(duì)應(yīng)元素相乘。+，和的表達(dá)式分別為

(2)

(4)

1.3 參數(shù)確定

1.3.1 剛度系數(shù)

彈性元件的剛度系數(shù)為二分之一跨度頂(底)板的水平方向剛度，即

式中：1為頂(底)板彈性模量；1為頂(底)板水平方向橫截面積；為頂(底)板跨度。

1.3.2 阻尼矩陣

阻尼反映了巖體內(nèi)多種耗能因素的綜合影響，一般通過(guò)結(jié)構(gòu)原位振動(dòng)試驗(yàn)的方法獲得[10?11]。在動(dòng)力反應(yīng)問(wèn)題中，一般采用理想化的方法將黏性阻尼等效為實(shí)際阻尼。工程界常用的黏性阻尼為瑞利阻尼[12]，如下式所示：

式中：和分別為質(zhì)量阻尼比例系數(shù)和剛度阻尼比例系數(shù)。

當(dāng)自振頻率為時(shí)，阻尼比ζ為

實(shí)際工程中，通常取巖體阻尼比為0.05，則和為

(8)

考慮到自振頻率帶來(lái)的阻尼誤差，ω和ω應(yīng)選取第1階和第3階自振頻率(即振動(dòng)可能覆蓋的低階自振頻率)進(jìn)行阻尼系數(shù)的計(jì)算。

1.3.3 剪切力

巖體的剪切力為

式中：2為頂(底)板和間柱的剪切模量，2=1/[2(1+)]；2為頂(底)板和間柱與圍巖的接觸面積；為頂(底)板的跨度或間柱的寬度；負(fù)號(hào)表示與位移方向相反。

1.3.4 水平地應(yīng)力因子

建立由3個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群二維數(shù)值模型(圖4)，單元空區(qū)長(zhǎng)為40 m，間柱高為30 m，寬為10 m，巖體力學(xué)參數(shù)參照文獻(xiàn)[13]。

圖中空區(qū)采用增量法依次開(kāi)挖，模型四周設(shè)置自由場(chǎng)邊界，頂部設(shè)置自由邊界，底部設(shè)置靜態(tài)邊界。引入標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)載荷()=5 000sin(10π)，并施加到間柱1個(gè)側(cè)面上。選取無(wú)地應(yīng)力、頂部施加均布載荷為0，5，10和15 MPa等不同地應(yīng)力5種工況，得到監(jiān)測(cè)點(diǎn)在不同工況下的位移響應(yīng)時(shí)程曲線，同時(shí)對(duì)方框中的曲線局部放大，見(jiàn)圖5。

圖3 水平采空區(qū)群多自由度振動(dòng)模型

從圖5(a)可以看出：水平地應(yīng)力對(duì)水平采空區(qū)群的影響不明顯，同一時(shí)間的位移相差不超過(guò)1.64%，可忽略水平地應(yīng)力的影響，即=0。數(shù)值模擬過(guò)程中，可忽略地應(yīng)力的作用。

圖4 3個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群二維數(shù)值模型

(a) 位移響應(yīng)曲線總體圖；(b) 位移響應(yīng)曲線局部放大圖

1.3.5 類非線性因子

根據(jù)前面分析，水平采空區(qū)群多自由度振動(dòng)模型可忽略水平地應(yīng)力因子，因此式(1)可只考慮圍巖耗損的影響，經(jīng)簡(jiǎn)化得

類非線性因子的計(jì)算步驟為：

1) 分別建立線性多自由度振動(dòng)模型(即各巖體=1)和相應(yīng)的數(shù)值模型(不考慮地應(yīng)力作用)；

3) 對(duì)于巖體，初始取p=1，若d＜D，則直接輸出p；若d＞D，令p=×(和為正整數(shù)，越小，p取值越精確，但計(jì)算量越大)，不斷增加以增加p，直至d＜D時(shí)，輸出p。

需要注意的是，計(jì)算巖體的p時(shí)，應(yīng)考慮之前所計(jì)算的1，2，…，p?1對(duì)p的影響，因此需保留1，2，…，p?1。類非線性因子的計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 類非線性因子p計(jì)算流程

2 工程算例

2.1 算例1

取某地下礦山中由3個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群進(jìn)行分析(圖7)。礦房長(zhǎng)度為40 m，礦體厚度為30 m；單元空區(qū)頂板厚5 m、底板厚10 m；間柱寬10 m，高35 m。巖體力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。為回收間柱1殘礦資源，采用削柱法對(duì)間柱1側(cè)面進(jìn)行爆破作業(yè)。

圖7 3個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群數(shù)值模型

在數(shù)值模擬中，忽略地應(yīng)力和模型頂部荷載的影響。根據(jù)類非線性因子的計(jì)算流程，在間柱1側(cè)面施加標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)載荷()，考慮到p需滿足較高的準(zhǔn)確性和較少的計(jì)算量的要求，取=5，得到各巖體類非線性因子為(30，35，1，40，45，75，55，60)。將各巖體的線性模型、類非線性模型結(jié)果與數(shù)值模擬的平均結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，數(shù)值模擬中，間柱1、空區(qū)1頂板和空區(qū)2底板產(chǎn)生了2次位移峰值，且第2次峰值小于第1次峰值；間柱2與空區(qū)3頂板速度則呈現(xiàn)幅值衰減的響應(yīng)規(guī)律，最后達(dá)到平衡狀態(tài)。對(duì)于類非線性模型，間柱1位移、間柱2速度與空區(qū)3頂板速度具有與數(shù)值模擬類似的響應(yīng)規(guī)律，而空區(qū)1頂板和空區(qū)2底板的位移響應(yīng)趨勢(shì)上與數(shù)值模擬結(jié)果存在一定的差別。

對(duì)比線性模型，類非線性模型曲線在動(dòng)力響應(yīng)極值上與數(shù)值模擬結(jié)果具有較高的吻合性，較好地反映了水平采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

表1 巖體力學(xué)參數(shù)

(a) 空區(qū)1頂板位移時(shí)程曲線；(b) 間柱1位移時(shí)程曲線；(c) 空區(qū)2底板位移時(shí)程曲線；(d) 間柱2速度時(shí)程曲線；(e) 空區(qū)3頂板速度時(shí)程曲線

2.2 算例2

取同一地下礦山中由5個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群進(jìn)行分析(圖9)?？諈^(qū)尺寸和巖體力學(xué)參數(shù)與算例1相同。為回收多個(gè)間柱殘礦資源，同時(shí)對(duì)間隔的間柱1和間柱3進(jìn)行單段爆破作業(yè)，單位面積爆破等效荷載(kPa)為

間隔間柱單段爆破可等效為2個(gè)間柱單獨(dú)爆破作用的疊加，爆破交叉影響的各巖體`的取值為單獨(dú)爆破作用下的較小值。因此，根據(jù)算例1中的取值，本算例中′=(30，35，1，40，45，75，30，35，1，40，45，75，55，65)。忽略地應(yīng)力和模型頂部荷載的影響，將各巖體的線性模型、類非線性模型結(jié)果與數(shù)值模擬平均結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖10所示。

但既然決定要改，就要下決心、立規(guī)矩、出政策。為提升我國(guó)食品工業(yè)整體發(fā)展水平，中央與地方開(kāi)始出臺(tái)一系列支持政策，用以推動(dòng)食品工業(yè)前行。

從圖10可知，數(shù)值模擬中所列巖體的位移及速度響應(yīng)均呈幅值逐步遞減的規(guī)律，最后達(dá)到平衡狀態(tài)。與線性模型相比，類非線性模型在動(dòng)力響應(yīng)極值上更接近數(shù)值模擬結(jié)果，且更快達(dá)到平衡狀態(tài)，充分揭示了水平采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

為保證間隔間柱單段爆破作業(yè)的安全性，即防止頂板因振動(dòng)作用力過(guò)大，導(dǎo)致巖體內(nèi)的拉應(yīng)力超過(guò)其極限抗拉強(qiáng)度，發(fā)生失穩(wěn)破壞，需要對(duì)關(guān)鍵空區(qū)頂板的振動(dòng)速度進(jìn)行監(jiān)測(cè)。為了確保監(jiān)測(cè)人員及儀器的安全，禁止直接對(duì)爆破載荷作用的空區(qū)(空區(qū)1和空區(qū)3)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。因此，選取空區(qū)2和空區(qū)4頂板作為監(jiān)測(cè)對(duì)象，如圖11所示。其中，監(jiān)測(cè)點(diǎn)與爆破荷載1和2的距離約50 m，監(jiān)測(cè)點(diǎn)與爆破荷載2的距離約41 m。

圖12所示為監(jiān)測(cè)點(diǎn)和的速度時(shí)程監(jiān)測(cè)曲線。從圖12可以看出，監(jiān)測(cè)點(diǎn)和的最大速度小于0.06 m/s，均低于GB6722—2014“爆破安全規(guī)程”[15]中設(shè)定的地下爆破安全振動(dòng)速度(0.18~0.30 m/s)。因此，間隔間柱單段爆破作業(yè)具有較高的安全性。

圖9 5個(gè)單元空區(qū)組成的水平采空區(qū)群數(shù)值模型

(a) 空區(qū)1頂板位移時(shí)程曲線；(b) 間柱1位移時(shí)程曲線；(c) 間柱2位移時(shí)程曲線；(d) 空區(qū)2底板速度時(shí)程曲線；(e) 空區(qū)3頂板速度時(shí)程曲線；(f) 空區(qū)4頂板速度時(shí)程曲線

圖11 監(jiān)測(cè)點(diǎn)示意圖

(a) 監(jiān)測(cè)點(diǎn)A；(b) 監(jiān)測(cè)點(diǎn)B

3 討論

各空區(qū)頂(底)板及其圍巖的能量損耗量與間柱未有明顯的線性關(guān)系，這是因?yàn)閹r體是非線性介質(zhì)。在水平采空區(qū)群中，各巖體本身動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律具有非線性振動(dòng)的特性，相鄰巖體之間的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律呈非線性變化。對(duì)的非線性取值，即為對(duì)線性振動(dòng)模型的“類非線性”改進(jìn)。

同一空區(qū)頂(底)板類非線性因子的取值接近，說(shuō)明同一空區(qū)頂(底)板圍巖所損耗的能量相近。

2個(gè)算例中，類非線性模型結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果存在一定的時(shí)間差，主要原因是數(shù)值模擬中巖體內(nèi)能量的傳遞具有時(shí)間效應(yīng)，而類非線性模型中的能量傳遞是瞬間完成的。

在水平采空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算過(guò)程中，數(shù)值模擬耗時(shí)數(shù)小時(shí)，而類非線性振動(dòng)模型僅耗時(shí)十幾秒，極大地提高了求取空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)的效率。

目前類非線性多自由振動(dòng)模型僅建立在線性系統(tǒng)的假設(shè)上，而采空區(qū)群屬于非線性系統(tǒng)，構(gòu)建空區(qū)群的非線性振動(dòng)模型是將來(lái)研究的方向。

4 結(jié)論

1) 在線性多自由度振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，考慮到圍巖對(duì)水平采空區(qū)群的水平地應(yīng)力作用及能量耗散影響，引入水平地應(yīng)力因子和類非線性因子，建立了適用于水平采空區(qū)群動(dòng)力響應(yīng)的類非線性多自由度振動(dòng)模型。

2) 水平地應(yīng)力對(duì)水平采空區(qū)群的動(dòng)力響應(yīng)無(wú)明顯的影響，可忽略水平地應(yīng)力因子的作用，即=0。

3) 采用標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)載荷()計(jì)算水平采空區(qū)群各巖體的類非線性因子是可行的。對(duì)于同一礦山，只需進(jìn)行1次的計(jì)算，便可應(yīng)用到類似工況，節(jié)省了的取值時(shí)間。

4) 單個(gè)間柱微差爆破及間隔間柱單段爆破2個(gè)算例結(jié)果表明，與線性模型對(duì)比，類非線性振動(dòng)模型結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果更加吻合，較好地揭示了水平采空區(qū)群各巖體的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

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(編輯 趙俊)

A similar nonlinear vibration model for dynamic response of horizontal goaf group

JIANG Lichun1, 2, ZENG Junjia2, WU Aixiang3

(1. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;2. Institute of Safety Science and Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;3. School of Civil and Environmental Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

On the basis of linear multi-degree of freedom (MDOF) vibration model, considering the effect of horizontal geostatic stress and energy dissipation caused by surrounding rocks, a similar nonlinear vibration model for horizontal goaf group was established by introducing horizontal geostatic stress factorand similar nonlinear factor. Similar nonlinear vibration model was investigated and verified based on two cases of millisecond blasting in single barrier pillar and single deck blasting in interval barrier pillars. The results show that the dynamic response results are not obviously affected by horizontal geostatic stress, and the effect of horizontal geostatic stress could be ignored (=0). It is feasible to use the standard dynamic load() to calculate the similar nonlinear factorof each rock mass in horizontal goaf group, andcould be applied to similar conditions by calculating only once for the same mine, which saves the selecting time of; compared with linear model, similar nonlinear vibration model result is more consistent with numerical simulation result, which effectively reveals the dynamic response law of horizontal goaf group.

rock mass mechanics; horizontal goaf group; dynamic response; MDOF vibration model; horizontal geostatic stress; energy dissipation

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.06.022

TU 45

A

1672?7207(2017)06?1577?08

2016?06?06；

2016?08?25

國(guó)家“十二五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAB08B02)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51174093, 51374035) (Project (2012BAB08B02) supported by the National Science and Technology Pillar Program during the 12th “Five-Year” Plan Period of China? Projects(51174093, 51374035) supported by the National Natural Science Foundation of China)

吳愛(ài)祥，教授，博士生導(dǎo)師，從事金屬礦安全開(kāi)采技術(shù)研究；E-mail：wuaixiang@126.com