列方程解應(yīng)用題教學淺見

李中文

眾所周知，列方程解應(yīng)用題歷來是初中數(shù)學教學的重點，更是難點.傳統(tǒng)的教學方法總是按題目內(nèi)容分類（如，行程問題、工程問題等）并進行解法的探討和研究，也因此，形成了一些行之有效的教學模式與方法.但是，倘能從根本上解決列方程的標準問題，其教學或許能事半功倍，甚至達成“一役而三役濟”的效果.

一、列方程要重視過渡階段的教學

“分散難點，各個擊破”是列方程解應(yīng)用題應(yīng)該遵循的教學原則，所以，在學習代數(shù)式與整式加減時，就可著手訓練學生把文字式的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)式的能力，使學生學會并習慣于用字母表示數(shù)，以培養(yǎng)學生的抽象思維能力.

其次，要訓練學生善于把文字敘述的題目數(shù)學符號化，逐步實現(xiàn)學生從算術(shù)解題思路向代數(shù)解題思路的轉(zhuǎn)化.在有些版本的教材里，在學生學習正負數(shù)有理運算的前后，結(jié)合小學里學過的一些簡單算術(shù)題采取列方程的教學形式，再利用“等量加（減）等量和（差）相等”的原理來求解，然后，和它的算術(shù)解法相對照，使學生探究發(fā)現(xiàn)用算術(shù)方法解題就是把解題思路和解題方法聯(lián)系起來考慮.這樣思路既不容易清晰明白，步驟也不明確；反之，如果采用代數(shù)解法，步驟明確，方法新穎，而且有規(guī)律可循，就化難為易了.如此，既可以培養(yǎng)學生學習代數(shù)知識的興趣，又為學生進一步學習列方程解應(yīng)用題做好了鋪墊.

再次，在列方程解應(yīng)用題的入門教學時，多數(shù)題目是按照“三度量”關(guān)系來列等式的，如，距離=速度×時間，總價=單價×件數(shù)，工作量=工效×工時等等.這些公式在準備工作中也應(yīng)該放在重要的地位上，而且這些知識都可以在學習代數(shù)式的相應(yīng)章節(jié)里聯(lián)系小學的舊知識加以拓展，使它在列方程解應(yīng)用題的教學中起到正遷移的作用.

最后，學生在學習解方程的過程中，可嚴格訓練，使學生能夠準確無誤地進行迅速合理的運算，且能正確驗根.把列方程和解方程的兩個步驟區(qū)分開來，這就把列方程解應(yīng)用題的難點分散開來處理了，為日后列方程解應(yīng)用題創(chuàng)造了良好的條件.

總之，列方程解應(yīng)用題必須使學生闖過翻譯關(guān)、思路關(guān)、列方程和解方程這四個關(guān)口，才能順利利用方程解應(yīng)用題.

二、列方程要重視不變量的研究

方程的形式一般為：f（x）=ξ（x）.其中x并不是變量，而是未求出的未知量，它是個確定量.這樣就可以看出用等號連接起來的兩個量f（x）和ξ（x）僅是形式不同而實質(zhì)一樣的確定量.不妨把這種量稱為不變量.即一旦設(shè)定某未知量為x時，那么根據(jù)應(yīng)用題中的內(nèi)容，必然可以找到含有x的兩個形式不同、實質(zhì)一樣、有相等關(guān)系的確定量f（x）與ξ（x）.

1.當確定量ξ（x）=c（常量）時，題目中一定存在一個明顯的確定量c，它等于含有未知量x的確定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作顯在不變量，我們可以它作為標準來列方程.

例1已知某戰(zhàn)車在公路和小路上的速度分別為40千米/時，30千米/時.現(xiàn)這個戰(zhàn)車在516小時內(nèi)行30千米.問它在公路上和小路上行了多少千米？

解法1根據(jù)題意，戰(zhàn)車在公路和小路上的速度是確定的，它所行的總路程和總時間也是已知的.若設(shè)戰(zhàn)車在公路上行駛x千米，則在小路上行駛（30-x）千米.根據(jù)行程的“三度量”關(guān)系求出戰(zhàn)車在公路和小路上分別用的時間.至此，就可用題目中已知的總時間516小時作為顯在不變量，并以它為標準列得方程：x140+30-x130=516，x=20.

解法2如設(shè)戰(zhàn)車在公路上行駛x小時，利用間接法同樣可以求出戰(zhàn)車在公路和小路行駛的里程數(shù).為此，就可用題目中已知的總路程30千米作為顯在不變量，并以之為標準列得方程：40x+30516-x=30，x=112.

比較兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)所設(shè)未知量的內(nèi)容不同，顯在不變量就不同，導致列方程的標準就有了改變，列方程和解方程也就因此有了繁簡和難易之分.所以，我們在列方程解應(yīng)用題時，首先，要考慮題目中是否有顯在不變量，若有多個，就可以一個恰當?shù)娘@在不變量作為列方程的標準，以簡化解題過程.

2.當確立量ξ（x）不是表現(xiàn)為一個常量，而是一個含有未知量x的量，不妨把這個確定量稱為潛在不變量.即在所給題目中雖然沒有直接表現(xiàn)出某個常量作為顯在不變量，但從已知量和未知量潛在的變化關(guān)系中可以確定出某個量是不變的，并可以用這個量作為標準列方程.

例2某學生騎自行車以12千米/時的速度下山，而后以9千米/時的速度過平路到達目的地，共耗時11112小時；他返回時，以8千米/時過平路，再以4千米/時上山回到家中，共耗時1.5小時.問學生家距目的地多遠？

解法1解此題目，只要分別求出山路和平路長后，全長就水到渠成.但根據(jù)題意，不管該學生騎車往返速度怎樣變化，題中雖然也未給出山路或平路的路程，但平路長和山路長總是個確定量，我們就可以用確定量山路長或平路長作為標準來列方程.

如果設(shè)山路長為x千米，因?qū)W生騎車往返所需的總時間是已知的，且騎車的速度變化也是已知的，這時路長就是個潛在不變量，通過學生往返的過程就可用平路長作為標準列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.

解法2如設(shè)平路長為x千米，就可用山路長作為標準列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.

通過這個例子可以看出，方程的兩邊必須是同類的量；同時從上述兩例也可得知，應(yīng)用題按列方程的標準可分為顯在不變量型和潛在不變量型兩類.因此，在分析題意時，著重從各種數(shù)量變化關(guān)系里找出標準不變量列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.

行文至此，我們完全可以明白，列方程的標準就是在審題過程中尋找到的某個確定的不變量，并以之作為列方程的依據(jù).

三、列方程要認真分析語句

我們在研究應(yīng)用題的過程中，不難發(fā)現(xiàn)題目陳述信息中包含了關(guān)于已知條件、結(jié)論、數(shù)量之間變化關(guān)系的三類語句，后者則是列方程的著眼點.因此，教師或?qū)W生在掌握了題目中的條件和結(jié)論的前提下，一定要從整體出發(fā)，認真思索，深入挖掘，著重分析有變化關(guān)系的語句，再從變化的形式里找出不變的因素，確定出列方程的標準依據(jù)，才能順利地解決問題.這也就是通常所說的抓主要矛盾的方法.

例3某個任務(wù)，由甲獨做，3天才能完成；由已獨做，6天才能完成.那么甲乙二人合做幾天可以完成？

解此題比較簡單，除了后面那個語句是關(guān)系語句和結(jié)論外，其他語句都是條件.但由于其中沒有說明任務(wù)的工作量是多少.傳統(tǒng)的教學法就把它看作單位1，這就比較抽象，使初學的人難于理解.實際上，它指的既可以是一件東西，也可以是一堆東西，多少雖然是不定的，但它有確定的內(nèi)容，這是一方面.其次，此題也暗示著這任務(wù)雖然也是一個條件，但是它在解題的最后過程中卻游離于題目之外，因此，它是一個參變量.為了把抽象事物具體化，便于理解，可以把它作為參數(shù)a考慮，使問題明朗化，并且具有直觀性.因此，筆者認為參數(shù)的引入，是理解題意的橋梁、思考問題的手段，應(yīng)該引起人們重視.

設(shè)這個任務(wù)的工作量為a，且兩人合作x天可以完成.根據(jù)“三度量”關(guān)系：工作量=效率×時間，得a13x+a16x=a，x=2.

例4某儀器制造廠按計劃每天生產(chǎn)20臺儀器，到預定期內(nèi)尚差100臺不能完成任務(wù).若提高工效25%，到期就將超額50臺完成任務(wù).問原計劃生產(chǎn)儀器多少臺？預定期限是多少天？

解如設(shè)原計劃生產(chǎn)儀器x臺，則根據(jù)題目中的關(guān)系語句，就須以預定天數(shù)做標準列方程，這是一般的想法.如果深挖題意，不難發(fā)現(xiàn)增加的150=（100+50）臺儀器是從提高工效25%獲得的，那么就要設(shè)預定期限為x天，以顯在不變量150臺為標準列出一個最簡方程20x·25%=100+50，x=30.

由此說明：列方程與選取未知量有著極為密切的關(guān)系；嚴格審題、深挖題意則是十分重要的.同時，還說明利用顯在不變量和潛在不變量做標準列方程是可以互相轉(zhuǎn)化和靈活運用的，也是有規(guī)律可循的.

以上文字，僅是筆者在列方程解應(yīng)用題教學時的初步嘗試和點滴體會，今不揣拙淺，托出與同行交流，但愿“吾山之石”能引得“他山之玉”.