壓縮映像原理在數(shù)列極限中的應(yīng)用

□楊 柳

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽 712046)

壓縮映像原理在數(shù)列極限中的應(yīng)用

□楊 柳

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 陜西 咸陽 712046)

波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動點定理，這一定理有著及其廣泛的應(yīng)用，像代數(shù)方程近似解、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問題均可以歸結(jié)為此定理的推論，另外，在遞推形式的數(shù)列極限問題中也有廣泛的應(yīng)用。

不動點定理；數(shù)列極限；應(yīng)用

巴拿赫不動點原理——壓縮映像原理，是建立在完備的距離空間上到自身的壓縮映射，存在唯一的不動點。數(shù)學(xué)分析中很多定理都是建立在壓縮映像原理的基礎(chǔ)上。壓縮映像原理實質(zhì)上是算子方程Tx=x的求解問題，是關(guān)于具體問題解的存在唯一性定理，它提供了線性方程解的最佳逼近，給出了解的構(gòu)造方式，在數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域都有著重要的地位和作用。

對一個方程而言，只要我們找到相應(yīng)的一個迭代公式，就能夠解出這個方程，當(dāng)然還會考慮到這個迭代公式的收斂性、收斂速度、解的穩(wěn)定性等問題。在迭代的過程中需要迭代序列是收斂序列。例如在數(shù)值計算中，求解多元方程組，可以構(gòu)造Jacobi迭代的序列，Gauss-Seide迭代序列等，不同的迭代序列的收斂速度不同，一旦收斂，即可求得在一定誤差范圍內(nèi)的近似解[1]。

求解方程f(x)的根，可令g(x)=f(x)-x，即把方程問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的不動點問題。

數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)定理，微分方程中Picard定理(微分方程解的存在唯一性定理)都是壓縮映像原理的具體形式，均是構(gòu)造出一個映像，證明此映像是收斂的。

“壓縮映像”原理

定理 (1) 對于任一數(shù)列{xn}而言，若存在常數(shù)r，使得?n?N，恒有|xn+1-xn|≤r|xn-xn-1|,0＜r＜1則數(shù)列{xn}收斂。

(2)特別，若數(shù)列{xn}利用遞推公式給出：

xn+1=f(xn) (n=1,2,…)，其中 f為某一個可微函數(shù)，且?r?R，使得 |f'(x)|≤r＜1 (?x?R)，則數(shù)列{xn}收斂[2]。

眾所周知，單調(diào)有界定理是研究遞推形式數(shù)列的有力工具，但在證明時比較復(fù)雜，而壓縮映像原理能夠利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判定數(shù)列極限是否存在，相對于單調(diào)有界原理，壓縮映像能更有效的判定數(shù)列極限存在，并且簡化計算過程，便于操作。

再證明數(shù)列有界：顯然1≤x0＜2，若假設(shè)1≤xn＜2，則，故對于一切n?N都有1≤xn＜2；

由單調(diào)有界定理可知，數(shù)列{xn}收斂，記在，A=0或A=2。因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以A=0不符合題意，故得中取極限得xn=2。

證2 利用壓縮映像定理，如證1，已經(jīng)證1≤ xn＜2，對有

滿足壓縮映像原理的第(2)個條件，因此數(shù)列{xn}收斂，其余同證1.

例2 設(shè)x1＞0，為常數(shù))，求

故xn+1=f(xn)為壓縮映像，數(shù)列{xn}收斂。設(shè)兩邊取極限得：A=

由例1和例2可以看出，在解決遞推數(shù)列的極限的問題時，可以先構(gòu)造一個壓縮映射f，由壓縮映射原理可以判定遞推數(shù)列的極限是否存在，若存在，設(shè)極限為A，則有A=f(A)，從方程中解得A，即為所求極限。由于數(shù)列的前有限項對極限沒有影響，因此，在構(gòu)造映射的時候可以選擇去掉前有限項。

[1]徐萃薇，孫繩武.計算方法引論[M].北京：高等教育出版社.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社.

1004-7026（2017）10-0127-02

G634.6

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10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.092