復(fù)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

□陳 歡

（陜西國際商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西 咸陽 712046）

復(fù)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

□陳 歡

（陜西國際商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)部 陜西 咸陽 712046）

本文研究了復(fù)值函數(shù)的分析性質(zhì),提出了復(fù)值函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。給出了復(fù)值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。證明了復(fù)值函數(shù)在一點可導(dǎo)必連續(xù)。給出復(fù)值函數(shù)在求解中的應(yīng)用例子。

復(fù)值函數(shù)；復(fù)合復(fù)值函數(shù)；復(fù)值函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)；復(fù)值復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1 復(fù)值函數(shù)的概念

根據(jù)實值函數(shù)的概念，引入復(fù)值函數(shù)的概念與復(fù)合復(fù)值函數(shù)如下：

定義1.1[3]設(shè)y=φ(t)和y=ψ(t)是區(qū)間[α,b]上的實函數(shù)，是虛數(shù)單位. 如果對于區(qū)間[α,b]中的每一個實數(shù)t，有唯一復(fù)數(shù)z(t)=φ(t)+iψ(t)與它對應(yīng)，則稱在區(qū)間[α,b]上給定了一個復(fù)值函數(shù)，記作z=z(t)，t?[α, b].

定義1.2（復(fù)合復(fù)值函數(shù)）設(shè)有一個復(fù)值函數(shù)w=f(u)與實函數(shù)u=φ(t)

w=f(u),u?D?R,

u=φ(t),t?E?R,u?R

記E*={t|φ(t)?D}∩E。若E*不為空，則對每一個t ?E*，可通過實值函數(shù)u=φ(t)對應(yīng)D內(nèi)唯一的一個值u，而u又是通過復(fù)值函數(shù)f(u)對應(yīng)唯一的一個值w。這就確定了一個定義在E*上的復(fù)值函數(shù)，它以t為自變量，w為因變量，記作

w=f[φ(t)],t?E*或w=(f ?φ)(t)，t?E*

稱為復(fù)值函數(shù)f(u)和實值函數(shù)φ(t)的復(fù)合函數(shù)。并稱f(u)為外函數(shù)，φ(t)為內(nèi)函數(shù)，u為中間變量。復(fù)值函數(shù)f(u)和實值函數(shù)φ(t)的復(fù)合運算也可記為f ?φ。

定義1.3 設(shè)z(t)=φ(t)+iψ(t)是定義在區(qū)間α≤t≤b上的復(fù)值函數(shù)，若φ(t)和ψ(t)均是α≤t≤b上的有界函數(shù)，則稱z=z(t)是α≤t≤b上的有界復(fù)值函數(shù)。

2 復(fù)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義2.1（在一點可導(dǎo)） 設(shè)復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]的某個鄰域U(t0)上有定義，若極限

存在，則稱復(fù)值函數(shù)z=z(t)在t0處可導(dǎo)，并稱該極限為復(fù)值函數(shù)z=z(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)，記作z'(t0)或者dz(t0) /dt。

定義2.2（單側(cè)導(dǎo)數(shù)）設(shè)復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α, b]上一點t0的某右鄰域[t0,t0+δ]上有定義，若右極限

存在，則稱該極限值為z=z(t)在點t0的右導(dǎo)數(shù)，記作z'+(t0)。

右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

定義2.3（在區(qū)間上可導(dǎo)） 如果復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上每一點都可導(dǎo)，且在α點存在右導(dǎo)數(shù)，在b點存在左導(dǎo)數(shù)，那么就稱復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上可導(dǎo)。

設(shè)z1(t)，z2(t)是定義在區(qū)間α≤t≤b上的可導(dǎo)復(fù)值函數(shù)，c是復(fù)值常數(shù)，容易驗證下列復(fù)值函數(shù)的求導(dǎo)法則[3]：類似的，可定義左導(dǎo)數(shù)

3 復(fù)值復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定理4.1 設(shè)實函數(shù)u=r(t)在點t0可導(dǎo)，復(fù)值函數(shù)g=z(u)在點u0=r(t0)可導(dǎo)，則復(fù)值復(fù)合函數(shù)(z ?r)(t)在t0可導(dǎo)，且

(z ?r)'(t0)=z'(u0)r'(t0)=z'(r(t0))r'(t0)

定理4.2 復(fù)值函數(shù)z=z(t)在t0處可導(dǎo)，則它在t0處連續(xù)。

例4.1 討論復(fù)值函數(shù)z(t)=1/t2+iet在t=1的連續(xù)性。

解 因為實函數(shù)φ(t)=1/t2和實函數(shù)ψ(t)=et在t=1處均是可導(dǎo)的，所以z(t)=1/t2+iet在t=1處可導(dǎo)，根據(jù)定理3.4可知z(t)=1/t2+iet在t=1的連續(xù)性。

結(jié)束語

本文首先引入復(fù)值函數(shù)的概念，給出了復(fù)值函數(shù)連續(xù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念以及復(fù)值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。可導(dǎo)性是復(fù)值函數(shù)的一個重要性質(zhì)，本文還給出了復(fù)值函數(shù)在一點可導(dǎo)必連續(xù)，具有重要的應(yīng)用價值。

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

1004-7026（2017）10-0126-01

O174.1

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.091

陜西國際商貿(mào)學(xué)院校級項目（SMXY201642）。

陳歡（1989-），女，陜西漢中人，碩士，助教,從事小波分析的研究。