基于格子Boltzmann方法預(yù)測(cè)多孔介質(zhì)的滲透率

戰(zhàn)洪仁， 侯新春 ， 曹 穎， 李雅俠， 張先珍

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

基于格子Boltzmann方法預(yù)測(cè)多孔介質(zhì)的滲透率

戰(zhàn)洪仁， 侯新春 ， 曹 穎， 李雅俠， 張先珍

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

多孔介質(zhì)內(nèi)的流動(dòng)涉及許多工程應(yīng)用.文章采用不可壓縮的格子Boltzmann模型對(duì)多孔介質(zhì)中的流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，從微細(xì)尺度上得到多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性及分布情況;同時(shí)，獲得了多孔介質(zhì)的滲透率與孔隙率近似成指數(shù)的變化關(guān)系.根據(jù)達(dá)西定律和格子Boltzmann方法進(jìn)行數(shù)值模擬，成功獲得多孔介質(zhì)的滲透率，為有效研究孔隙尺度下的滲流問(wèn)題提供了方法，同時(shí)為多孔介質(zhì)的工程應(yīng)用及理論研究提供了依據(jù).

多孔介質(zhì)； 格子Boltzmann方法； 孔隙率； 滲透率

目前許多工程問(wèn)題都涉及到了流體在多孔介質(zhì)內(nèi)的流動(dòng)，比如在油氣藏開(kāi)發(fā)、地下水污染、地質(zhì)學(xué)等等[1]中都可以通過(guò)模擬來(lái)預(yù)測(cè)流體的平均、總體的流動(dòng)特性.滲透率是多孔介質(zhì)流體流動(dòng)特性中的重要參數(shù)之一.本文從流動(dòng)狀態(tài)出發(fā)，利用格子Boltzmann方法(LBM)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行分析.

近年來(lái)，LBM作為一種新穎的介觀(guān)數(shù)值模擬方法已經(jīng)成功地應(yīng)用在許多多孔介質(zhì)流的研究中.在描述連續(xù)介質(zhì)時(shí),LBM與傳統(tǒng)的宏觀(guān)方程描述有本質(zhì)的不同，該方法遵循從微觀(guān)層次描述內(nèi)部流動(dòng)，并連續(xù)取離散的新途徑，它將連續(xù)介質(zhì)看作大量位于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的離散流體質(zhì)點(diǎn)粒子,粒子按碰撞和遷移規(guī)則在網(wǎng)格上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)對(duì)各網(wǎng)格流體質(zhì)點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)特征的統(tǒng)計(jì)，獲得流體宏觀(guān)運(yùn)動(dòng)規(guī)律[2]，其最常用的數(shù)學(xué)模型為L(zhǎng)BGK模型.本文采用LBM模擬得到多孔介質(zhì)內(nèi)的流動(dòng)特性以及不同孔隙率下滲透率的變化特點(diǎn)，為成功獲得多孔介質(zhì)的滲透率提供了有效方法.

1 格子Boltzmann法

采用LBGK模型，其對(duì)應(yīng)的方程如下[3]：

(1)

以二維正方形格子D2Q9模型(DdQq命名規(guī)則，d代表維數(shù)，q代表離散的速度方向個(gè)數(shù))為例，其離散速度模型如圖1所示.

圖1 D2Q9模型

粒子的離散速度：

(2)

(3)

(4)

LBM的演化過(guò)程主要是由“流動(dòng)”和“碰撞”組成，這兩步交替循環(huán)進(jìn)行，直到流速收斂為止.

(5)

(6)

由此得到格子上粒子的局部平衡分布函數(shù)為：

(7)

式中：ωi為第i速度方向的權(quán)重系數(shù).

將式(7)與宏觀(guān)上描述流體流動(dòng)的二維N-S方程進(jìn)行類(lèi)比可得到如下關(guān)系：

(8)

(9)

(10)

采用的參數(shù)均為無(wú)量綱.此外，邊界條件的處理在格子方法中起著重要的作用，對(duì)LBM模型數(shù)值模擬的精度、穩(wěn)定性以及計(jì)算效率產(chǎn)生很大的影響.LBM的邊界處理方法簡(jiǎn)單易行，且靈活多變[7].

2 模擬結(jié)果與討論

2.1 計(jì)算模擬

采用的多孔介質(zhì)計(jì)算區(qū)域如圖2所示，由Nx×Ny=303×101的格子所劃分，高度H=101 mm，長(zhǎng)度L=3H，多孔介質(zhì)骨架為方柱型，邊長(zhǎng)為D，通過(guò)輸入不同數(shù)值D來(lái)確定多孔介質(zhì)的孔隙率.邊界條件:上下邊界取周期邊界條件，流體與固體骨架表面采用半步長(zhǎng)反彈格式的無(wú)滑移邊界[8]，出口為自由邊界.

圖2 方柱多孔介質(zhì)區(qū)域

2.2 達(dá)西定律的應(yīng)用

經(jīng)典的達(dá)西定律被廣泛用來(lái)描述多孔介質(zhì)內(nèi)流體的流動(dòng)問(wèn)題，并用來(lái)計(jì)算多孔介質(zhì)滲透率.達(dá)西定律公式為[9]：

(11)

圖3是方柱直徑取D=10、多孔介質(zhì)的孔隙率ε=82.02 %時(shí)，應(yīng)用LBM模擬得到的多孔介質(zhì)區(qū)域中的一部分速度場(chǎng)，流體是從左邊界流進(jìn)的，如圖3所示.從圖3中可以看出：X軸方向孔道中的流速明顯大于Y軸方向孔道中的流速，這是因?yàn)樵撨吔鐥l件下，壓力梯度主要存在于X方向.從圖3中可以獲得多孔介質(zhì)本身的特性，如介質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、孔隙和裂縫的分布情況，且可根據(jù)模擬結(jié)果，獲得如圖4所示的不同雷諾數(shù)和壓差的關(guān)系.從圖4中可以看出：模擬結(jié)果和Ergun、Burke and Plummer、Marcom等人公式所得出的數(shù)據(jù)趨勢(shì)基本符合.其中，當(dāng)Re/(1-ε)在小于10時(shí)，近似呈線(xiàn)性關(guān)系，而當(dāng)Re/(1-ε)大于10時(shí)，隨著Re的增大，壓降越來(lái)越小，減小趨勢(shì)變緩.

圖3 多孔介質(zhì)內(nèi)的速度矢量場(chǎng)

圖4 壓力梯度與雷諾數(shù)的關(guān)系

2.3 滲透率的確定

由上述模擬可以得到多孔介質(zhì)的滲透率.滲透率表征多孔介質(zhì)對(duì)流體的滲透能力，是多孔介質(zhì)的一個(gè)重要特性參數(shù)，是滲流力學(xué)計(jì)算中最重要的輸入?yún)?shù)之一，通過(guò)試驗(yàn)方法很難準(zhǔn)確得到多孔介質(zhì)的滲透率.

對(duì)于簡(jiǎn)單幾何構(gòu)造的結(jié)構(gòu)，可以用LBM數(shù)值模擬計(jì)算其滲透率.許多研究者都曾使用二維周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，其中包括Eidsath Coulaud Sahraoui、Kaviany Flower、Bejan以及Nakayama等.1995年，Nakayama等人對(duì)立方體晶格中的重復(fù)發(fā)展流體進(jìn)行了三維數(shù)值計(jì)算，并證明了Carman-kozeny提出的水力半徑理論完全能夠勝任立方體的滲透率估算[10]，立方體的滲透率估算如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

以上公式都接近于Carman-kozeny的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式：

(16)

在上述方程中K為滲透率，ε為孔隙率，D即表示方塊和立方體的大小，同時(shí)也表示橫流中球體和圓柱體的直徑.

圖5為由模擬結(jié)果根據(jù)式(16)繪制得到的孔隙率與滲透率的關(guān)系圖，并與已發(fā)表的結(jié)果作了對(duì)比.圖5可以反映出本文的數(shù)值結(jié)果，其孔隙率與滲透率近似成指數(shù)關(guān)系變化:K=AεB，與前人研究的結(jié)果相吻合.

圖5 滲透率與孔隙率之間的關(guān)系

用最小二乘法擬合數(shù)值模擬結(jié)果，得A=89.873 1，B=10.652 8，所以變化公式為K=89.873 1ε10.652 8.從圖5中可以看出：當(dāng)孔隙率大于0.78時(shí)，本文結(jié)果與Lee和Yang[11]所提出的公式發(fā)生偏離，隨著孔隙率的增大，偏離越來(lái)越大.這可能是由兩個(gè)原因造成的：一方面文獻(xiàn)中所采用的多孔介質(zhì)模型是圓柱，本文采用的是方柱；另一方面，本文的排列為規(guī)則排列，而文獻(xiàn)中是交錯(cuò)排列的.由上述結(jié)論可知，應(yīng)用LBM，通過(guò)上述計(jì)算得到的壓降可以簡(jiǎn)單地獲得多孔介質(zhì)的滲透率.

3 結(jié) 論

應(yīng)用格子Boltzmann方法的LBGK模型成功模擬了多孔介質(zhì)中流動(dòng)特性，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，多孔介質(zhì)內(nèi)流體的流動(dòng)狀態(tài)受到模型的影響.通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的詳細(xì)研究，得到如下結(jié)論：

(1) 通過(guò)計(jì)算得到多孔介質(zhì)內(nèi)壓降與雷諾數(shù)的關(guān)系，當(dāng)Re/(1-ε)小于10時(shí)，壓降隨雷諾數(shù)的增大而減小，近似呈線(xiàn)性關(guān)系；當(dāng)Re/(1-ε)大于10時(shí)，減小趨勢(shì)減緩.

(2) 經(jīng)過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果和相關(guān)分析：在本文的研究條件下，滲透率與孔隙率近似成指數(shù)關(guān)系變化，K=89.873 1ε10.652 8；根據(jù)LBM數(shù)值模擬和達(dá)西定律可以成功預(yù)測(cè)多孔介質(zhì)的滲透率，并與經(jīng)驗(yàn)公式值作對(duì)比，趨勢(shì)基本符合.

(3) 通過(guò)模擬獲得了一些多孔介質(zhì)本身特性，如介質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、孔隙和裂縫的分布情況.

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Prediction of Permeability in Porous Media Based on Lattice Boltzmann Method

ZHAN Hong-ren, HOU Xin-chun, CAO Ying, LI Ya-xia, ZHANG Xian-zhen

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 10142, China)

The fluid flow in porous media is involved in various engineering applications,e.g.permeability has significant research value in oil and gas exploration field.In this paper,the flow field in porous media is simulated using incompressible lattice Boltzmann model,by which structure characteristics and distributions of porous medium were obtained with micro scale.Meanwhile,the permeability of porous media varied exponentially with the porosity of porous media.The permeability of porous medium can be successfully and directly predicted basing on numerical simulation of lattice Boltzmann method and Darcy law.The simulation provide an effective method to study the interstitial flow in micro scale,and also a foundation for the theoretical research and engineering application of porous media.

porous media; lattice Boltzmann method; porosity; permeability

2014-12-08

遼寧省博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(20141085)

戰(zhàn)洪仁(1964-)，女，山東蓬萊人，副教授，博士，主要從事強(qiáng)化傳熱與節(jié)能技術(shù)的研究與應(yīng)用.

2095-2198(2017)01-0063-04

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.01.011

O357.3

A